定積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、第五章 定積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)、基本內(nèi)容（一）定積分的定義設(shè)f x在a,b上有界，在a,b 1上任意插入若干個分點a =x° ： X! ： x2 :Xn丄：:：Xn =b ，把a,b 分成n個小區(qū)間Xi,Xi丨，小區(qū)間的長度為* = X - x/i =1,2/ n），在每個小區(qū)間上取點， X_ i _ Xi，作和式nS = v f i Xi。i=4證，二maxi* ?,若當(dāng)，> 0時，對區(qū)間的任意分法及每個小區(qū)間中< 的任i意取法，s均有確定的極限i，則稱f x在a,b】上可積，極限i為f x在a,b i上b的定積分，記為f x dx。Laanb f x dx =lim0'

2、; f i *（二 ）有關(guān)定積分的重要性質(zhì)和定理2.可加性：bcbf x dxf x dx 亠 i f x dx a' a' c1 .線性性:aaabkf x Igx dx 二 k J xdx l bg xdx3. 比較性：若在a,b 上 f X -g X，則bf xdx 丨X dx，取g X =0得aa若 f X -0，貝U bf Xdx 0T a4. 估值性：設(shè)M和m是f x在a,b上的最大值和最小值，則bmb- a fxdx_Mb-a。* a5. 積分中值定理：若f x在a,b上連續(xù)，則 a,b】，使 f稱為f x在a,的平均值。6. 可變上限的定積分及其性質(zhì)設(shè)f x在a

3、,b 上連續(xù)，尬Xf x dx（a ： x ：b），則尬x在'a, b】連續(xù)、a可導(dǎo)且處IX = f x，即址ix是f x的一個原函數(shù)。由此可得：若 Fxftdt 則 Fx=fbxbxFaxa，x。a（X）（三）定積分的計算1 牛頓-萊布尼茲公式：若F x是f x的一個原函數(shù)，貝U2 換元積分法：略bbb3.分部積分法： udv=uVa - udvu aI a * a（四）廣義積分1. 無窮區(qū)間上的廣義積分設(shè)f x在a, ：吶連續(xù)，取b a若Jim _ & f x dx存在，則稱廣義積分亠.bif xdx收斂，否則為發(fā)散，同理可定義f x dx和f x dx。a2. 無界函數(shù)的

4、廣義積分設(shè)f X在a,b上連續(xù)，在點a的某鄰域內(nèi)無界，??；.0，若lim b f x dxb存在，稱廣義積分 f xdx收斂，否則為發(fā)散。同理可定義瑕點在右端點和區(qū)間* a內(nèi)部的廣義積分。二、基本要求1. 掌握定積分的定義，了解定積分概念產(chǎn)生的背景；2. 掌握變積分限函數(shù)的性質(zhì)及求導(dǎo)方法；3. 掌握牛頓萊布尼茲公式，熟練掌握定積分換元積分法和分部積分法；4 .理解定積分的有關(guān)性質(zhì)并注意解題與證題中的應(yīng)用；5.了解廣義積分的定義，并能計算一些簡單的廣義積分。三、重點與難點1. 重點：定積分的定義、牛頓萊布尼茲公式與定積分的計算；2. 難點：利用定積分的一些定義和性質(zhì)來解題或證明。四、學(xué)習(xí)中應(yīng)注意

5、的幾個問題b1 理解定積分的幾何意義：f x dx（ f x - 0）由曲線y = f x及直線x = a，ax二b和y = 0所圍曲邊梯形的面積，這是用定積分解決有關(guān)面積問題的基礎(chǔ);b2. 積分限問題。在a f x dx中一般b . a，但為討論問題的方便，規(guī)定a二bbba時，a f x dx = 0 ; a b 時，& f x dx =© f x dx;3. 遇到函數(shù)絕對值的定積分，應(yīng)將絕對值去掉，即分區(qū)間進行討論；4. 用換元法積分時，應(yīng)牢記換元應(yīng)換限；5. 解題或證題中，若遇有變限定積分，可以優(yōu)先考慮用導(dǎo)數(shù)來處理；a6. 二個公式：若f x是奇函數(shù)則.丄f x dx=

6、0aa若f x是偶函數(shù)則f x dx = 2 f x dx.a 0v五、典型例題e例1計算Ji | I n x dxe解:1In xdx-xl nx- x dx=x| nxx C x原式1e=In xdx 亠 i In xdxesinx 1例2求極限limT 3 x2 ' xsinx 1解：原式二則31 si nx lim3T x2、x例3證明：若fx是奇函數(shù)，貝Ufxdx = O aa0a證：f(xdx=匚 f(xdx+j0 f (xdx0而 f X dx -a0 0_f -t -dt f t dt = - f x dx a' aaaaf x dx f x dx 亠 i f

7、x dx = 0。-a- 0- 0m5ex -1dx例4計算0 ex 3 2t解：令 ex =t , x =ln 1 t2 , dx =2 dt1 +t2x=0 時，t=0, x=l n5 時 t=2，代入得：原式=0 t2 +4 t2 +12 2t2o嚴(yán)dt4-例5計算 xe xdxJo_244242解：原式 x t2et - tetd - tdet0 2t2 "02 L0xe* , x £ 04例 6 f(x)=<-，計算t(x-2)dxIcxcOtJ + cosx解:x-2=t 20-f tdtUdx2xe» dxa例7 f(x是以l為周期的連續(xù)函數(shù)，

8、證明Jf(x)dx的值與a無關(guān)*aad0la ：；l證：f X dx 二 f X dxf X dxf x dxa“t a"0"la 十x=fc4x aa0而 j f xdx 0f t ld.0f t dt 二-.xdxa: ；ll a f X dx = J0 f x dx即 f x dx的值與a無關(guān)。-a例8設(shè)f x在a,b 1上連續(xù)且f x 0，證明:(1)F x -2 ;方程F x =0在a,b內(nèi)有且僅有一個根。證：1)F x；=f x 1-2 f x 1=2f(x) Y f(x)aa 1b 12)F a 二 f xdxdx = -iadx ： 0ab f(X )a f (x