概率論 第八講二維離散隨機(jī)變量的概率分布

1、 教學(xué)目的教學(xué)目的： 1.講解二維離散隨機(jī)變量的概率分布 （聯(lián)合、邊緣）； 2. 講解二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) (聯(lián)合、邊緣；離散連續(xù)） ; 3. 講解隨機(jī)變量的獨(dú)立性. 教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容： 2.9 2.11(與書上不同)第八講 二維離散隨機(jī)變量的概率 分布多多維維分分布布在實(shí)際問題中在實(shí)際問題中, 試驗(yàn)結(jié)果有時(shí)需要同試驗(yàn)結(jié)果有時(shí)需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的 r.v.來描述來描述. 例如例如 用溫度和風(fēng)力來描述天氣情況用溫度和風(fēng)力來描述天氣情況. 通過對(duì)含碳、含硫、含磷量的測(cè)定來研究通過對(duì)含碳、含硫、含磷量的測(cè)定來研究需考慮多維需考慮多維 r.v.及其取值規(guī)律及其取值規(guī)律多維分

2、布多維分布.鋼的成分鋼的成分. 要研究這些要研究這些 r.v.之間的聯(lián)系之間的聯(lián)系, 就就二維隨機(jī)變量及其分布定義定義 設(shè)設(shè) 為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，2)(),(RYX一定法則則稱則稱( X , Y )為為二維二維r.v.或或二維隨機(jī)向量二維隨機(jī)向量討論：討論： 二維二維r.v.作為一個(gè)整體的概率特性作為一個(gè)整體的概率特性 其中每一個(gè)其中每一個(gè)r.v.的概率特性與整體的概率特性與整體 的概率特性之間的關(guān)系的概率特性之間的關(guān)系定義定義 若二維若二維 r.v.(X ,Y )所有可能的取值所有可能的取值 為有限多個(gè)或無窮可列多個(gè)為有限多個(gè)或無窮可列多個(gè), 則稱則稱 (X ,Y )

3、為為二維離散型二維離散型 r.v.要描述二維離散型要描述二維離散型 r.v.的概率特性及的概率特性及其與每個(gè)其與每個(gè) r.v.之間的關(guān)系常用其之間的關(guān)系常用其聯(lián)合聯(lián)合概率分布概率分布和和邊緣概率分布邊緣概率分布二維離散型二維離散型 r.v.及其概率特性及其概率特性解析表示法解析表示法設(shè)( X ,Y )的所有可能的取值為則稱為二維 r.v.( X ,Y ) 的聯(lián)合概率分布也簡(jiǎn)稱 概率分布 或 分布律性質(zhì):, 2 , 1,),(jipyYxXPijji, 2 , 1,),(jiyxji, 2 , 1, 0jipij111ijijp聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律x1 xi 11pjp11 ipijpXY (

4、X ,Y ) 的聯(lián)合分布律表y1yj二維離散二維離散 r.v.的邊緣分布律的邊緣分布律, 2 , 1,)(1ippxXPijiji記作, 2 , 1,)(1jppyYPjiijj記作由聯(lián)合分布可確定邊緣分布由聯(lián)合分布可確定邊緣分布, ,其逆不真其逆不真. .1x1 xi 11pjp11 ipijppip1pip jp1p jyjy1XY 聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律及邊緣分布律及邊緣分布律),(jiijyYxXPp的求法的求法 利用古典概型直接求；利用古典概型直接求； 利用乘法公式利用乘法公式. )()(ijiijxXyYPxXPp例例1 1 某校新選出的學(xué)生會(huì)某校新選出的學(xué)生會(huì) 6 名女委員名女委員

5、, 文、文、理、工科各占理、工科各占1/6、1/3、1/2，現(xiàn)從中隨機(jī)，現(xiàn)從中隨機(jī)指定指定 2 人為學(xué)生會(huì)主席候選人人為學(xué)生會(huì)主席候選人. 令令X , Y 分分別為候選人中來自文、理科的人數(shù)別為候選人中來自文、理科的人數(shù). 解解 X 與與Y 的可能取值分別為的可能取值分別為0 , 1與與0 , 1 , 2. 求求(X, Y) 的聯(lián)合分布律和邊緣分布律的聯(lián)合分布律和邊緣分布律.,15/325232625CCCC) 00() 0() 0, 0(XYPxPYXP由乘法公式由乘法公式,15/ 3/) 0, 1(261311CCCYXP,15/2/) 1, 1(261211CCCYXP. 0) 2, 1

6、( YXP,15/6/) 1, 0(261312CCCYXP;15/ 1/) 2, 0(2622CCYXP,15/3/)0, 0(2623CCYXP或由古典概型或由古典概型相仿有相仿有故聯(lián)合分布律與邊緣分布律為 0 10 1 23/15 6/15 1/153/15 2/15 0XY pip j1/32/316/15 8/15 1/15例例2 2 二元兩點(diǎn)分布XY pijp jpi1 010p 00 qp qpq1p + q = 1 ，0 p 1例例3 3 設(shè)設(shè) X的分布為的分布為1(1)(0)(1)3P XP XP X 2,YX求求(X, Y) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布的聯(lián)合分布律及邊緣分布.(

7、1,0)(1) (01) 0P XYP XPYX 1(1,1)(1) (11)3P XYP XPYX 1(0,0)(0) (00)3P XYP XPYX(0,1) 0P XY(X, Y) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布為的聯(lián)合分布律及邊緣分布為XY pij0 1-11000 01313131313131323p jpi 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)定義定義 設(shè)設(shè)( X , Y ) 為二維為二維 r.v. 對(duì)任何一對(duì)對(duì)任何一對(duì))()(yYxX定義了一個(gè)二元定義了一個(gè)二元實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù) F ( x , y )，稱為二維，稱為二維 r.v.( X ,Y ) 的分布函數(shù)，即的分布函數(shù)，即

8、yYxXPyxF,),(記為記為 )yYxX ,的概率的概率yYxXP ,實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)( x , y ), 事件事件分布函數(shù)的幾何意義如果用平面上的點(diǎn)如果用平面上的點(diǎn) (x, y) 表示二維表示二維r.v. (X , Y )的一組可能的取值，則的一組可能的取值，則 F (x, y) 表示表示 (X , Y ) 的取值落入圖所示角形區(qū)域的概率的取值落入圖所示角形區(qū)域的概率.(x, y)xy(,) 聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)(,) 0F ),(xy(x, y)xy),(1),(0yxF(,) 1F ( ,)0F x xyxy(, )0Fy固定 x , 對(duì)任意的 y1 y2 , 固定 y ,

9、對(duì)任意的 x1 x2 , F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )對(duì)每個(gè)變量單調(diào)不減對(duì)每個(gè)變量單調(diào)不減對(duì)每個(gè)變量右連續(xù)對(duì)每個(gè)變量右連續(xù)F (x, y1) F (x, y2)F (x1,y) F (x2, y)F (b,d) F (b,c) F (a,d) + F (a,c) 0事實(shí)上事實(shí)上對(duì)于任意對(duì)于任意 a b , c 2)解解 (1)122),(CBAF022),(CBAF022),(CBAF21,2,2ACB(2),()(xFxFX.,2arctan121xx),()(yFyFY.,2arctan121yy(3

10、) 2(1) 2(XPXP22arctan1211.4/1可以將二維可以將二維 r.v.及其邊緣分布函數(shù)的及其邊緣分布函數(shù)的概念推廣到概念推廣到 n 維維 r.v.及其聯(lián)合分布函及其聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)數(shù)與邊緣分布函數(shù)隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性 將事件獨(dú)立性推廣到將事件獨(dú)立性推廣到 r.v.設(shè)(X,Y )為二維 r.v. 若對(duì)任何)()(),(yYPxXPyYxXP則稱 r.v. X 和Y 相互獨(dú)立 兩個(gè)兩個(gè) r.v. 的相互獨(dú)立性的相互獨(dú)立性實(shí)數(shù) x, y 都有定義由定義知二維 r.v. ( X, Y ) 相互獨(dú)立)()(),(yFxFyxFYX)()(),(,dYcPbXaPd

11、YcbXaPdcba)()(),(,cYPaXPcYaXPRcaX與Y 獨(dú)立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP即jiijppp對(duì)一切 i , j 有離散型例例6 6 例例3 3中中求求(X, Y) 的聯(lián)合分布律及的聯(lián)合分布律及 邊緣分布為邊緣分布為XY pij0 1-11000 01313131313131323p jpi不獨(dú)立不獨(dú)立X, Y是否獨(dú)立是否獨(dú)立?若 X ,Y 為相互獨(dú)立的 r.v.則aX + b, cY + d 也相互獨(dú)立；X 2, Y 2 也相互獨(dú)立；隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念可以推廣到可以推廣到 n n 維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量)()()(2211nn

12、xXPxXPxXP),(2211nnxXxXxXP若則稱 r.v. X 1, X 2 , , X n 相互獨(dú)立由命題知由命題知 若兩隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且又有相同 的分布, 不能說這兩個(gè)隨機(jī)變量相等. 如XP-1 10.5 0.5Y P-1 10.5 0.5X ,Y 相互獨(dú)立，則X-1 1 -1 10.25 0.25Y pij0.25 0.25故不能說 X = Y .注意注意由左表易得 ：) 1, 1(YXP )(YXP) 1, 1(YXP5 . 0 例例7 7 袋中5球,2白3黑,先后任取一球,取到的白球個(gè)數(shù)分別為X、Y,如果（1）無放回,(2）有放回。求(1)的聯(lián)合概率函數(shù)(2)聯(lián)合分布函數(shù)(3)邊緣分布函數(shù)(4)討論獨(dú)立性（1）無放回解解3 23(0,0)(0) (00)5 410P XYP XP YX2 11(1,1)(1) (11)5 410P XYP XP YX3(0,0)10P XY3(1,0)10P XY(X，Y) 分布YX pijp jpi0 1011310310310110610410610410(2）有放回YX pijp jpi0 10119256256254251525102515251025000301,01103( , )01,152