北師大版高中數(shù)學(xué)(必修5)2.1《正弦定理與余弦定理》(第1課時)

1、 11正弦定理 二、解三角形 1解三角形時常用的結(jié)論 (1)在abc中，ab_；(即在一個三角形中大邊對大角) (2)abc，bca，_；(即在一個三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊) (3)內(nèi)角和定理：abc中，abc_. 2正弦定理的應(yīng)用 利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題： (1)已知兩角和任意一邊，求其他_和_； (2)已知兩邊和其中一邊的對角，求_，從而進(jìn)一步求出其他的邊和角 對于第(1)類，其解是唯一確定的，一般先由三角形內(nèi)角和為180求得_，再利用正弦定理求其余兩邊； 對于第(2)類，其解不一定唯一，由于三角形的形狀不能唯一確定，因而會出現(xiàn)_三種情況 友情提

2、示：在abc中，如果已知邊a，b和角a，解的情況討論如下： 一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解和無解三種情況 a為銳角，如下圖： absinaabsinabsinaabab _解_解_解_解 a為直角或鈍角，如下圖 _解_解_解_解 歸納列表如下： 1.正弦定理的推導(dǎo)方法 對正弦定理的推導(dǎo)，我們可以從幾何的角度進(jìn)行推導(dǎo)如圖，以abc的頂點a為原點，邊ac所在的射線為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系 另外，我們也可以從abc的外接圓來進(jìn)行推導(dǎo)，如圖 當(dāng)abc為直角三角形時，如圖所示，其外接圓的圓心o位于rtabc的斜邊ab上，r為外接圓的半徑 2已知兩邊與其中一邊的對角時，怎樣確

3、定三角形解的個數(shù)？ 利用數(shù)形結(jié)合和三角函數(shù)知識來分析例如：已知abc的兩邊a，b和角a解三角形時，有以下方法： 方法一：可以作圖，利用數(shù)形結(jié)合加以說明如下表所示： 具體解題時，作出已知角a，邊長b，以點c為圓心，以邊長a為半徑畫弧，與射線ab的公共點(除去頂點a)的個數(shù)即為三角形解的個數(shù) 分析：從方程的觀點看，正弦定理有三個等式，可視為三個方程，每個方程都含有四個量，知其三個量，便可求得第四個量本題已知abc的兩邊和其中一邊的對角，運用正弦定理可求出角a，然后再利用三角形內(nèi)角和公式求得角c，進(jìn)而求出邊c. 變式訓(xùn)練1在abc中，c10，a45，c30，求a、b和b. 例2abc中，內(nèi)角a、b、

4、c的對邊分別為a，b，c，已知b5，b30，若c ，解此三角形分析：主要考查用正、余弦定理解三角形及三角形中三角變形的技巧 例3在abc中，若b2sin2cc2sin2b2bccosbcosc，試判斷三角形的形狀 分析：已知條件中有邊和角的混合關(guān)系，可考慮利用邊化角，從角的關(guān)系判斷，也可考慮角化邊，從邊的關(guān)系判斷 變式訓(xùn)練3在abc中，若acosabcosb，求證：abc是等腰三角形或直角三角形 分析：判斷三角形形狀通常從三角形內(nèi)角的關(guān)系確定，也可以從三角形三邊關(guān)系確定本題可考慮把邊化為角，尋找三角形角與角之間的關(guān)系，然后予以判定 例4如圖，d是直角abc斜邊bc上一點，abad，記cad，a

5、bc. (1)證明sincos20； (2)若ac dc，求的值 分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，結(jié)合三角公式，正、余弦定理即可解決 解三角形的應(yīng)用問題，通常都要根據(jù)題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得出三角形的邊和角的大小，從而得出實際問題的解 例5(2009遼寧卷)如圖，a，b，c，d都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，b，d為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面a處測得b點和d點的仰角分別為75，30，于水面c處測得b點和d點的仰角均為60，ac0.1 km.試探究圖中b，d間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求b，d的距離(計算結(jié)果精確到0.01 km， 1.414， 2.449) 分析：本題考查了應(yīng)用三角形知識求解實際問題的能力求解此類解三角形問題首先要能夠讀懂題意，分析清楚題意，要能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即解三角形問題在具體求解過程中要能夠明確三角形中的邊角關(guān)系，同時要注意多解情況和計算的準(zhǔn)確性 解析：在acd中，dac30，adc60dac30， 所以cdac0.1， 又bcd180606060， 故cb是cad底邊ad的中垂線，所以bdba. 變式訓(xùn)