立體幾何的面積和體積問題(羅)

1、題問積面與題問積體常用體積公式常用體積公式常用體積公式常用體積公式abcV長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體= a b c長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體引申：引申：長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)=？長(zhǎng)方體的表面積長(zhǎng)方體的表面積=？s常用體積公式常用體積公式常用體積公式常用體積公式hV棱柱棱柱= hs底底V柱體柱體= ？引申：引申：常用體積公式常用體積公式常用體積公式常用體積公式V棱錐棱錐= hs底底31=？V錐體錐體引申：引申：=？V球體球體=？V臺(tái)體臺(tái)體例例1若正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為若正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2、4，高為，高為3，則此正四棱臺(tái)的表面積為，則此正四棱臺(tái)的表面積為_； 例例1變式變式1一個(gè)圓柱的側(cè)面

2、展開圖是一個(gè)正方形，一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比為這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比為_； 例例1變式變式2如圖，半徑為如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)的半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正六棱錐接正六棱錐P-ABCDEF，則此正六棱錐的側(cè)面，則此正六棱錐的側(cè)面積為積為_； PABCDEF?A?B?C?D?D?C?B?A 1 1 1 1例例2若正四棱柱的底面積為若正四棱柱的底面積為P，過相對(duì)兩側(cè)棱，過相對(duì)兩側(cè)棱的截面面積是的截面面積是Q，則該四棱柱的體積是（，則該四棱柱的體積是（ ? ） （A） （B） （C） （D）22QP22P QQPP Q直接法直接法2143例例3在邊長(zhǎng)為在邊長(zhǎng)

3、為a的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M、N、P分別是棱分別是棱A1B1、A1D1、A1A上的點(diǎn)，滿足上的點(diǎn)，滿足A1M= A1B1，A1N=2ND1，A1P= A1A，如圖，試求三棱錐，如圖，試求三棱錐A1MNP的體積的體積11AMNPP A MNVV解：11131132111231.3223424AM AN APaaaa轉(zhuǎn)換法轉(zhuǎn)換法ABCD1A1B1C1DE變式變式1：如圖，在邊長(zhǎng)為如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方體的正方體 中，點(diǎn)中，點(diǎn)E為為AB上的任意一點(diǎn)，求三棱錐上的任意一點(diǎn)，求三棱錐 的體積的體積。1111DCBAABCD11DEBA DASEBA 1131aa 2213136

4、1a解法分析解法分析：V = 11DEBA 11EBAD V轉(zhuǎn)換法轉(zhuǎn)換法BBCACAMABC-A BCMCCM-ABBA2 三棱柱的體積為36，點(diǎn)在側(cè)棱上，求四棱柱變式 、的體積解：2436323231CBAABCAABBMCBAABCAABBMABCMAABBMCBAABCVVVVVVVBBACACM轉(zhuǎn)移頂點(diǎn)轉(zhuǎn)移頂點(diǎn)法法轉(zhuǎn)換法轉(zhuǎn)換法變式變式3.3.已知三棱錐已知三棱錐P-ABCP-ABC中，中，PA=1PA=1， AB=AC=2AB=AC=2，PAB=PAC=BAC=60PAB=PAC=BAC=60， 求三棱錐求三棱錐P-ABCP-ABC的體積？的體積？ABCP轉(zhuǎn)換法轉(zhuǎn)換法點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)換頂

5、點(diǎn)和底面是求三棱錐體積的一種常用轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)和底面是求三棱錐體積的一種常用的方法，也是求后面要學(xué)習(xí)到的求點(diǎn)到平面距離的的方法，也是求后面要學(xué)習(xí)到的求點(diǎn)到平面距離的一個(gè)理論依據(jù)，相應(yīng)的方法叫等積法一個(gè)理論依據(jù)，相應(yīng)的方法叫等積法例例4.4.正方體正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為a,Ea,E、F F分別是分別是BBBB1 1，DDDD1 1的中點(diǎn)，求四的中點(diǎn)，求四棱錐棱錐D D1 1-AEC-AEC1 1F F的體積？的體積？ABDCA1B1D1C1EF分割法分割法例例4 4已知已知ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1

6、1是棱長(zhǎng)為是棱長(zhǎng)為a a的正方體，的正方體，E E、F F分別是棱分別是棱AAAA1 1與與CCCC1 1的中點(diǎn)，求四棱錐的中點(diǎn)，求四棱錐A A1 1-EBFD-EBFD1 1的的體積？體積？BB1CDAC1D1A1EF易證四邊形EBFD1為菱 形，連結(jié)EF，則解法分析：解法分析：EBFAEFDAEBFDAVVV 11111EDAFEFDAVV1111 aSEDA 1131EBAFEBFAVV11 aSEBA 131或者或者：11112EFDAEBFDAVV 變式變式1： 如右圖，在多面體如右圖，在多面體ABCDEF中，中，已知已知ABCD是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為1的正方形，且的正方形，且ADE、BC

7、F均為正三角形，均為正三角形，EFAB，EF=2，則該多面體的體積為，則該多面體的體積為.GH21,23HCBHGDAG由題意得.32221221213112212112221BHCAGDBHCFAGDEABCDEFBHCAGDVVVV，SS點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)P變式變式2：已知三棱錐已知三棱錐PABC中，中， , , PA=BC=a且且ED=b求三棱錐的體積求三棱錐的體積BCPA PAED BCED PABCEDPADCPADBABCPVVV CDSBDSPADPAD 3131CBSPAD 31aba 2131ba261 解法分析：解法分析：abaBCED BCPA PADBC平面平面 垂面法垂面法變式

8、變式3.3. 將邊長(zhǎng)為將邊長(zhǎng)為a a的正方形的正方形ABCDABCD沿對(duì)沿對(duì)角線角線ACAC折起，使平面折起，使平面ADCADC平面平面ABCABC，求所得三棱錐求所得三棱錐D-ABCD-ABC的體積？的體積？ABCDABCDOO翻折類問題翻折類問題注意立體圖形與平面注意立體圖形與平面圖形的關(guān)系圖形的關(guān)系例例5：四面體四面體SABC的三組對(duì)棱分別相等，且依的三組對(duì)棱分別相等，且依次為次為2 、 、5，求該四面體的體積，求該四面體的體積513, 3, 2, 4,5,)13(,)52(222222222zyxxzzyyx解得則6131練習(xí)：練習(xí)：已知：長(zhǎng)方體已知：長(zhǎng)方體 中，中，AB=4 ，BC=

9、2， =3，求三棱錐求三棱錐 的體積的體積1BBCADB11解法分析：解法分析：111111DCBAABCDCADBVV 111BADAV 11BADBV 111BADCV 11BADDV 3241111 DCBAABCDV= 243242131111 BADAV= 48442411 CADBV1111DCBAABCD 1A1D1C1BABCD 返回返回 C1.設(shè)棱錐的底面面積為設(shè)棱錐的底面面積為8cm2，那么這個(gè)棱錐的中截面，那么這個(gè)棱錐的中截面(過棱錐的中點(diǎn)且平行于底面的截面過棱錐的中點(diǎn)且平行于底面的截面)的面積是的面積是( ) (A)4cm2 (B) cm2 (C)2cm2 (D) cm

10、2222A2. 設(shè)長(zhǎng)方體三條棱長(zhǎng)分別為設(shè)長(zhǎng)方體三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c，若長(zhǎng)方體所有棱的，若長(zhǎng)方體所有棱的長(zhǎng)度之和為長(zhǎng)度之和為24，一條對(duì)角線長(zhǎng)度為，一條對(duì)角線長(zhǎng)度為5 ，體積為，體積為2，則，則 等于等于 ( ) (A) (B) (C) (D)cba111411211112114ACBA1C1B13.3.正三棱柱正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的底面邊長(zhǎng)為的底面邊長(zhǎng)為3 3， 側(cè)棱長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為4 4，求四面體，求四面體ABBABB1 1C C1 1的體積的體積. .用用等體積法等體積法 點(diǎn)到面的距離點(diǎn)到面的距離問題問題解解 決決PPPA過平面 外一點(diǎn) 有唯一的一條直

11、線垂直于 ，設(shè)A為垂足，一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。則則PA的長(zhǎng)就是點(diǎn)的長(zhǎng)就是點(diǎn)P到平面的距離。到平面的距離。P引申：引申：直線到平面的距離呢？直線到平面的距離呢？ 在棱長(zhǎng)為在棱長(zhǎng)為a a的正方體的正方體ACAC1 1中中:（1）點(diǎn)）點(diǎn)A A到面到面BCCBCC1 1B B1 1的距離為的距離為 ；（2）B B1 1D D1 1到面到面ABCDABCD的距離為的距離為 ； （3）點(diǎn)）點(diǎn)A A到面到面BBBB1 1D D1 1D D的距離為的距離為 aa2a2例例1.1.在棱長(zhǎng)為在棱長(zhǎng)為a a的正

12、方體的正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中， 求點(diǎn)求點(diǎn)C C到截面到截面C C1 1BDBD的距離的距離. .ABCDA1B1C1D1 等體積法等體積法 定義法定義法例題變式例題變式1. 如圖，如圖，AB是是 O的直徑，的直徑，PA平面平面 O，C為圓周上一點(diǎn)，若為圓周上一點(diǎn)，若AB5，AC2，求點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面到平面PAC的距離的距離.ABCDPFEG例題變式例題變式2.2.已知已知:ABCD:ABCD是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為4 4的正方的正方形形,E,F,E,F分別是分別是ADAD，ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，PCPC面面ABCDABCD，PC=2PC=2，求點(diǎn)，求點(diǎn)B B到平面到平面PEFPEF的距離的距離. . 1、如圖，已知在長(zhǎng)方體、如圖，已知在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，棱中，棱AA1=5，AB=12，求直線，求直線B1C1到平面到平面A1BCD1的距離的距離.補(bǔ)充作業(yè)（二選一）：補(bǔ)充作業(yè)（二選一）：C1B1A1DABCD12.2