誤差原理 最小二乘法PPT課件

1、注意到方程組形式上有如下特點(diǎn)： (1)沿主對(duì)角線分布著平方項(xiàng)系數(shù) ,aabbhh (2)以主對(duì)角線為對(duì)稱線，對(duì)稱分布的各系數(shù)彼此兩兩相等。都為正數(shù)。0 C0y例4.1 在不同溫度下測(cè)定銅捧的長(zhǎng)度如下表，試估計(jì)時(shí)的銅棒長(zhǎng)度 和銅的線膨脹系數(shù)。二.T個(gè)未知量的情況第1頁(yè)/共25頁(yè)ilit0102,yxyx解 列出誤差方程式中 在溫度下銅捧長(zhǎng)度的測(cè)得值； 銅棒的線膨脹系數(shù)。 為兩個(gè)待求估計(jì)參數(shù)，則誤差方程可寫為令第2頁(yè)/共25頁(yè)根據(jù)誤差方程，我們可列出正規(guī)方程又第3頁(yè)/共25頁(yè)將以上計(jì)算的相應(yīng)系數(shù)值代入上面的正規(guī)方程得解得即因此銅棒長(zhǎng)度隨溫度的線性變化規(guī)律為第4頁(yè)/共25頁(yè)三、不等精度測(cè)量線性參數(shù)最

2、小二乘法處理 不等精度誤差方程轉(zhuǎn)化為等精度誤差方程為 例4-2 已知測(cè)量方程第5頁(yè)/共25頁(yè)iY對(duì)的測(cè)量數(shù)據(jù)及其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差為試列出最小二乘估計(jì)的正規(guī)方程。解 列出殘余誤差方程確定各測(cè)量數(shù)據(jù)的權(quán)。第6頁(yè)/共25頁(yè)根據(jù)誤差方程及各測(cè)量數(shù)據(jù)的權(quán)，我們寫出正規(guī)方程式中第7頁(yè)/共25頁(yè)則正規(guī)方程為四、非線性參數(shù)最小二乘法非線性轉(zhuǎn)化為線性：第8頁(yè)/共25頁(yè) 為獲得非線性函數(shù)的展開式必須首先確定待求估計(jì)量的近似值，其方法有二個(gè)： (1)直接測(cè)量：若條件允許，可直接測(cè)量待求量，rx (2)利用部分方程式進(jìn)行計(jì)算。即可作為其近似值。所得結(jié)果例4-3 將下面的非線性殘余方程組化成線性的形式。第9頁(yè)/共25頁(yè)12

3、0,0vv1R2R1020,RR取方程組中前二式，令，則可得與的近似值，即處展開，取一次項(xiàng)，有將函數(shù)在第10頁(yè)/共25頁(yè)代入殘差方程，得線性殘差方程五、對(duì)同一量重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)的最小二乘法 第11頁(yè)/共25頁(yè)4.2精度估計(jì) 一、測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)1. 等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) 例4-4 試求例4-1中銅棒長(zhǎng)度的測(cè)量精度。解 已知?dú)堄嗾`差方程可得殘余誤差為第12頁(yè)/共25頁(yè)則標(biāo)準(zhǔn)差為2不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì) 第13頁(yè)/共25頁(yè)二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)1.等精度測(cè)量時(shí)最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì) 標(biāo)準(zhǔn)差為式中 測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差 2. 不等精度測(cè)量的情況不等精度測(cè)量的情況與等精度的類似 第14頁(yè)/共

4、25頁(yè)例4-5 試求例4-1中銅棒長(zhǎng)度和線膨脹系數(shù)估計(jì)量的精度。解 已知正規(guī)方程為測(cè)量數(shù)據(jù)il的標(biāo)準(zhǔn)差為求解不定乘數(shù)的方程為第15頁(yè)/共25頁(yè)解得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為因故 第16頁(yè)/共25頁(yè)例4-6 已知 135.3x ，測(cè)得 ijxx的值為 ijl，并已知 1269.5l 134.4,l1428.3,l2364.4,l 2442.1,l 3421.9l試用最小二乘法求 234,x x x及其誤差。 解 第一步，殘余誤差方程組已知 135.3,x 代入上式得第17頁(yè)/共25頁(yè)第二步，正規(guī)方程第18頁(yè)/共25頁(yè)第19頁(yè)/共25頁(yè)則解得第三步，測(cè)量數(shù)據(jù)精度估計(jì)第20頁(yè)/共25頁(yè)則測(cè)量數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差為第四步，估計(jì)量精度估計(jì)求解不定乘數(shù)第21頁(yè)/共25頁(yè)解得則估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為第22頁(yè)/共25頁(yè)4.3矩陣最小二乘法 一、線性模型二、最小二乘法解1.等精度情況下的矩陣形式的正規(guī)方程 0TA V 2.不等精度測(cè)量時(shí)，正規(guī)方程可表示為0TA PV 1TXCA L *1()TXC