2019秋高中數(shù)學(xué)第一章解三角形單元評估驗(yàn)收一含解析新人教A版必修5

1、 1 單元評估驗(yàn)收(一) (時(shí)間：120分鐘 滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1在ABC中，ak，b 3k(k>0)，A45°，則滿足條件的三角形有( ) A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D無數(shù)個(gè) 解析：由正弦定理得asin Absin B， 所以sin Bbsin A a 62>1，即sin B>1，這是不成立的所以沒有滿足此條件的三角形 答案：A 2在ABC 中，已知a2，b2，B45°，則角A( ) A30°或150° B60°或120&#

2、176; C60° D30° 解析： 由正弦定理asin A bsin B得，sin Aabsin B 22sin 45°12，又因?yàn)閎a，故A30°. 答案：D 3已知三角形三邊之比為578，則最大角與最小角的和為( ) A90° B120° C135° D150° 解析：設(shè)最小邊為5，則三角形的三邊分別為5，7，8，設(shè)邊長為7的邊對應(yīng)的角為，則由余弦定理可得49256480cos ，解得cos 12，所以60°.則最大角與最小角的和為180°60°120°. 答案：B 4

3、在ABC中，a15，b20，A30°，則cos B( ) A ±53 B.23 C 53 D.53 2 解析：因?yàn)閍sin Absin B， 所以15 sin 30°20sin B， 解得sin B23. 因?yàn)閎>a，所以B>A，故B有兩解， 所以cos B ±53. 答案：A 5在ABC中，已知cos Acos Bsin Asin B，則ABC是( ) A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形 解析：由cos Acos Bsin Asin B，得 cos A·cos Bsin Asin Bcos (AB)0， 所以A

4、B90°，所以C90°，C為鈍角 答案：C 6如圖所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，與O相距15海里的C處現(xiàn)甲船以35海里/時(shí)的速度沿直線CB去營救位于中心O正東方向25海里的B處的乙船，則甲船到達(dá)B 處需要的時(shí)間為( ) A.12小時(shí) B1小時(shí) C.32小時(shí) D2小時(shí) 解析：在OBC中，由余弦定理，得CB2CO2OB22CO·OBcos 120°15225215×25352，因此CB 35，35351(小時(shí))，因此甲船到達(dá)B處需要的時(shí)間為1小時(shí) 答案：B 7已知ABC中，sin Asin Bsin Ck(k1)2k，則k

5、的取值范圍是( ) A(2，) B(，0) C.?12，0 D.? ?12， 3 解析：由正弦定理得：amk，bm(k1)，c2mk(m0)， 因?yàn)?ab c，acb，即?m（2k1）2mk，3mkm（k1）， 所以k1 2. 答案：D 8ABC的兩邊長分別為2，3，其夾角的余弦值為13，則其外接圓的直徑為( ) A.922 B.924 C.92 8 D92 解析：設(shè)另一條邊為x，則x222322×2×3×13， 所以x29，所以x3. 設(shè)cos 13，則sin 223. 所以2R3sin 322 3924. 答案：B 9已知ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為

6、a ，b，c，若A3，b2acos B，c1，則ABC 的面積等于( ) A. 32 B. 34 C. 36 D.38 解析：由正弦定理得sin B2sin Acos B，故 tan B 2sin A2sin 33，又B (0，)，所以B 3，又AB3，則ABC是正三角形，所以SABC12bcsin A12 ×1×1 ×3234. 答案：B 10在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a ，b，c，且sin2 A2cb2c，則ABC的形狀為( ) 4 A等邊三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 解析：由已知可得1cos A 212b2 c， 即cos

7、Abc，bccos A. 法一 由余弦定理得 cos Ab2c2a22 bc， 則bc·b2c2a22 bc， 所以c2a2b2，由此知ABC為直角三角形 法二 由正弦定理，得sin Bsin Ccos A. 在ABC中，sin Bsin(AC)， 從而有sin Acos Ccos Asin Csin Ccos A， 即sin Acos C0. 在ABC中，sin A0， 所以cos C0.由此得C 2， 故ABC為直角三角形 答案：B 11一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，如圖，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一鐵塔底部C在西偏北30°的方向上，行駛200 m后到達(dá)B處，測得此鐵

8、塔底部C在西偏北75°的方向上，塔頂D的仰角為30°，則此鐵塔的高度為( ) A.1006 3 m B 506 m C 1003 m D1002 m 解析： 設(shè)此鐵塔高h(yuǎn)(m)，則BC3h，在ABC中，BAC30°，CBA105°，BCA45°，AB 200. 根據(jù)正弦定理得 3hsin 30°200sin 45°，解得 h10063(m) 5 答案：A 12在ABC中，AB7，AC6，M是BC的中點(diǎn)，AM4，則BC等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 解析：設(shè)BCa，則BMMCa 2. 在ABM中，AB2

9、BM2AM22BM·AM·cosAMB， 即7214a2422×a2×4×cosAMB， 在ACM中，AC2AM2CM22AM·CM·cosAMC， 即624214a22×4×a2×cosAMB， 得726242421 2a2，所以a 106. 答案：B 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上) 13已知ABC中，3a22ab3b23c20，則cos C_ 解析：由3a22ab3b23c20， 得c2a2b22 3ab. 根據(jù)余弦定理，得 cos Ca2b2c22

10、ab a2b2a2b22 3ab2 ab 13， 所以cos C13. 答案：13 14設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若bc2a，3sin A5sin B，則角C_ 解析：由已知條件和正弦定理得：3a5b，且bc2a， 則a5b 3，c2ab7b 3， 6 cos Ca2b2c22 ab12， 又0C，因此角C2 3. 答案：2 3 15在ABC中，A 滿足3sin Acos A1，AB2，BC 23，則ABC的面積為_ 解析：由? ?3sin Acos A1，sin2 Acos2 A1， 得?sin A 32，cos A12. 所以A120°， 由正弦定理得2

11、sin C 23sin A， 所以sin C12. 因?yàn)锳B<BC， 所以C30°，所以B30°， 所以S12AB×BC×sin B 12× 2× 23×sin 30°3. 答案：3 16太湖中有一小島C，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車在公路A處測得小島在公路的南偏西15°的方向上，汽車行駛1 km到達(dá)B處后，又測得小島在南偏西75°的方向上，則小島到公路的距離是_ km. 解析：如圖所示，CAB15°， CBA180°75°105°，ACB1

12、80°105°15°60°，AB 1 km. 由正弦定理得BCsin CABABsinACB， 7 所以BC1 sin 60° ·sin 15°6223 (km) 設(shè)C到直線AB的距離為d， 則dBC ·sin 75°622 3·6 24 36 (km) 答案：36 三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 17(本小題滿分10分)設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acos B3，bsin A4. (1)求邊長a； (2)若ABC的面

13、積S10，求ABC的周長 l. 解：(1)由題意得：acos Bbsin A34 ， 由正弦定理得：absin Asin B， 所以cos Bsin B 34， cos2 B916sin2B916(1cos2 B)， 即cos2B925， 由題意知：a2cos2B9， 所以a225，得a5或a5(舍去) 所以a5. (2)因?yàn)镾12bcsin A2c， 所以，由S10 得c5， 應(yīng)用余弦定理得： ba2 c22accos B25. 故ABC的周長 labc2(55) 18(本小題滿分12分)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、 c，且a2，cos B35. (1)若b4，求sin A

14、的值； 8 (2)若ABC的面積SABC4，求b、c的值 解：(1)因?yàn)閏os B35>0，0<B<， 所以sin B 1cos2B4 5. 由正弦定理得asin Absin B， 所以sin Aab sin B25. (2)因?yàn)镾ABC12acsin B45c4， 所以c5. 由余弦定理得b2a2c22accos B 22522×2×5×3 517， 所以b 17或b 17(舍去) 所以b 17. 19(本小題滿分12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(abc)(abc)ac. (1)求B； (2)若sin Asin C 31

15、4，求C. 解：(1)因?yàn)?abc)(abc)ac， 所以a2c2b2ac， 由余弦定理得cos Ba2c 2b22ac12， 又B(0°，180°)，因此B120°. (2)由(1)知AC60°， 所以cos(AC)cos Acos Csin Asin C cos Acos Csin Asin C2sin Asin C cos(AC)2sin A sin C 122 ×31 432， 又因?yàn)?0°<AC<60°， 故AC30°或AC30°. 由得C15°或C45°. 9

16、20(本小題滿分12分)某觀測站在城A南偏西20°方向的C處，由城A出發(fā)的一條公路，走向是南偏東40°，在C處測得公路距C處31千米的B處有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到達(dá)D處，此時(shí)C、D間的距離為21千米，問這人還要走多少千米可到達(dá)城A? 解：如圖所示，設(shè)ACD， CDB. 在CBD中，由余弦定理得cos BD2CD2CB22BD· CD 2022123122×20× 2117， 所以sin 437. 而sin sin(60°)sin cos 60°sin 60°cos 437×1 232&#

17、215;1 753 14. 在ACD中， 21sin 60°ADsin ， 所以 AD21×sin sin 60°15(千米) 所以這人還要再走15千米可到達(dá)城A. 21(本小題滿分12分)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c ，cos 2C22cos C20. (1)求角C 的大?。?(2)若b2a ，ABC的面積為22sin Asin B，求sin A及c的值 解： (1)因?yàn)閏os 2C22cos C20， 所以2cos2C22cos C1 0， 即(2cos C1)20， 10 所以cos C 22. 又C(0，)，所以C 34. (2)因?yàn)閏2a2b22abcos C3a22a25a2， 所以c5a，即 sin C5sin A， 所以sin A 15sin C1010. 因?yàn)?SABC12absin C， 且S ABC22sin Asin B， 所以12absin C22sin Asin B， 所以absin Asin Bsin C2， 由正弦定理得? ?csin C2sin C2，解得c1. 22(本小題滿分12分)在ABC中，AC6，cos B4 5，C4. (1)求AB的長； (2)求cos? ?A6的值 解： 因?yàn)閏os B450，所以0<B<， 所以sin B1cos2 B 1?4 523 5， 由正弦