整體思想的解題策略

1、整體思想的解題策略人們在考慮問題時，通常把一個問題分成若干個簡單的小問題，盡可能地分散難點(diǎn)，然后再各個擊破，分而治之。本文所要介紹的解題方法與上述習(xí)慣方法恰恰相反。在解題時，細(xì)察命題的外形，把握問題的特征，展開聯(lián)想，將各個局部因素合而為一，創(chuàng)設(shè)整體或整體處理，從而達(dá)到問題的解決，此方法稱為整體思想方法。這種方法運(yùn)用得當(dāng)，常能化難為易，使解題思路出現(xiàn)豁然開朗的情景，達(dá)到快捷、簡便的解題目的。一、構(gòu)造整體在解題中，注意到問題的特征、創(chuàng)設(shè)整體，從而使問題得到解決。例1：證明×××證：設(shè)M=×××，N=×××，顯

2、然MN則MN=(×××)(×××)=M2MN M2 故M評注：本解法抓住M，N這兩個整體，使問題得到解決。本題還可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但顯然較為繁瑣。例2：設(shè)三個方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a、b、c之間的關(guān)系。解：設(shè)三個方程的公共實(shí)數(shù)根為x0，則ax02+bx0+c=0 bx02+cx0+a=0 cx02+ax0+b=0 + (a+b+c)( x02+x0+1)=0x02+x0+1=(x0+)+0，a+b+c=0評注：本題欲求a、b、c關(guān)系，似乎難以下手，若能構(gòu)造a+b+c

3、這一整體，使問題的解決豁然開朗。二、整體求解解題過程中，視所求問題為一整體，根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特征，合理變形，直接得到問題的答案。例3：設(shè)有四個數(shù),其中每三個數(shù)之和分別為22、20、17、25，求此四個數(shù)。解：設(shè)此四個數(shù)之和為x，則得方程(x22)+(x20)+(x17)+(x25)=x，解得x=28四數(shù)依次為8、3、6、11評注：本題解法考慮到四數(shù)之和問題的整體，可使問題中四個數(shù)變?yōu)橹皇且粋€未知數(shù)，從而使問題得到有效的解決。本題若按通常解題習(xí)慣，須分別設(shè)四個數(shù)，然后列出四個方程所組成方程組，解題較繁。例4：已知2sincos=1，求的值解：設(shè)=k，則(1k)sin+(1+k)cos=k1又2si

4、ncos=1 解得sin= cos=(k3)由()2+()2=1 解得k=0或k=2故原式的值為0或2評注：本解法利用=k這一整體進(jìn)行求解，能簡捷解決問題。本題若由已知條件2sincos=1及sin2+cos2=1聯(lián)立解得sin、cos的值，再代入求值，計(jì)算較為繁瑣。例 5、三棱錐S-ABC的個側(cè)面互相垂直，它們的面積分別是6m2,4m2,和3m2，求它的體積。S解 如圖，設(shè)S-ABC的三側(cè)棱長分別為xm,ym,zm,體積為Z，則由題意得CA xy=6, yz=4, zx=3B得(xyz)2=(24)2, 則V=xyz=×24=4m3注 本題沒用解方程組的方法，先求x,y,z，而將x

5、yz視為一整體求值，故簡捷而巧妙。例 6、球面內(nèi)接圓臺的高為h，球心到母線的距離為p,則球內(nèi)接圓臺的側(cè)面積DCCDS=2ph分析與證明：如圖，需求的BABA是S=(r+r)l ,但r,r,l均未知，下面尋找它們與已知量h,p的關(guān)系。為此作輔助線，將r,r,l,h,p都集中到有聯(lián)系的圖形之中。（1） 作DDAB DD=h（2） 作EOAD E為AD的中點(diǎn)（垂直于弦的半徑平分弦）（3） 作EEOO EE=在Rt DDA和Rt EEO中DAOEDDEE ADD=OEEADD，OEE為銳角DDAEEO 即 （r+r）l=2ph 代入得 S=2ph注 按常規(guī)解法，必須把r,r,l分別用p,h表示出來，但

6、這樣做相當(dāng)困難，且?guī)缀跏遣豢赡艿?。此時我們便該調(diào)整思路，用整體思想，將（r+r）l視為一整體來求值，這樣問題便巧妙的得到解答。三、整體換元在解題中，往往巧設(shè)某一整體為輔助元或未知元，或?qū)⒛澄粗w用另一些未知元整體代換，尋求解題思路。例7：等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若=求的值。解：，=，評注：本解法是根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，m、n、p、qN，且m+n=p+q時，則am+an=ap+qq，再將其作為一個整體代入，靈活又簡便。例8、：已知f（x）=x5+ax3+bx- 8，且f（- 2）=10，求f（2）解： 設(shè)g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx注意到g（x）= -g（-

7、 x），即g（x）是奇函數(shù)，因此， g（2）=- g（- 2）f（2）=g（2）- 8=- g（- 2）- 8=- f（- 2）+8- 8=- 26 評注：本題將f(- 2)看作一個整體，注意到g（x）=f（x）+8= x5+ax3+bx是一個奇函數(shù)。使計(jì)算過程大大簡化。將x5+ax3+bx看作整體而用g（x）代換，過程簡捷明了。如用一般思路則會一籌莫展,這是因?yàn)?，其一，a,b未知,其二，要解5次方程,而5次方程無法解.四、整體變形解題中，將條件等式看成一個整體，根據(jù)題目特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)變形，以助解題進(jìn)行。例9：求函數(shù)f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大

8、值解：f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+20°) +60°=3sin(x+20°)+sin(x+20°)+ cos(x+20°)= sin(x+20°)+ cos(x+20°)= sin(x+20°+)(其中=arc tan)因此f(x)的最大值為評注：此題若按角形式展開,就沒有思路了。本解法抓住x+80°=（x+20°）+60°這一整體，巧妙變形，使得問題得到解決。例10：已知Z是虛數(shù)，Z2+2是實(shí)數(shù)，且arg(3z)= ，求復(fù)數(shù)Z。解：將Z2+2視為一個復(fù)數(shù)，

9、利用Z2+2RZ2+2=2+2Z，故(Z)(Z+)=2(Z)Z是虛數(shù) Z0 Z+=2故可設(shè)Z=1+yi(yR，且y0)arg(3Z)=arg(2yi)= ，故y=2，于是Z=12i評注：本解法將Z2+2將為一個整體，然后利用復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件是Z=，從而得到問題的解決?？梢园l(fā)現(xiàn)，運(yùn)用整體思維方法，分析復(fù)數(shù)問題常能得到事半功倍之效。五、整體代入在問題解決過程中，往往涉及到較多的幾個變量，但我們不必分別求出各個量的具體值，而是將它們的某些關(guān)系作為一個整體，達(dá)到順利而又簡捷地解決問題的目的。例11：三棱錐的三個側(cè)面兩兩互相垂直，它們的側(cè)面積分別是6cm2，4cm2，3cm2，求此三棱錐的體積。解：

10、設(shè)三條棱長分別為x、y、z，則xy=6，xz=4，yz=3V=xyz=cm2評注：本解法著重抓住xy=6，xz=4，yz=3，而不是具體求出x、y、z的值，從而達(dá)到簡捷解決問題的目的。例12：已知P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，F(xiàn)PF=30°，求FPF的面積。解：易知a=5,b=4,c=3在FPF中，由余弦定理可知=+2|P F|P F|cos30°=(|P F|+| P F|)2|P F|P F|2|P F|P F|cos30°由橢圓定義可知|P F|+| P F|=10，從而有|P F|P F|=16（1）因此，S=|P F|P F|=8（1）例13、解不等式：

11、4x2-10x-0分析 本題按一般的解法，移項(xiàng)，使不等式一邊為有理項(xiàng)，一邊為無理項(xiàng)，然后兩邊同時平方，去無理項(xiàng)，問題將變得復(fù)雜，但將視為一整體求解，問題便得到簡潔、有效的解答。解：令t=，則原不等式化為 2t2-2t-210 解之得 t（舍） 或 t3 即 3 即 2x2-5x-70 解之得 x 或 x-1例14、解方程組 x+y=2 xy-z2=1分析 兩個方程，求三個未知數(shù)，似不可求，但由于x+y=2，所以可令x=1+t,y=1-t ,并將其視為整體，用均值整體代換便可。解：令x=1+t, y=1-t （t為實(shí)數(shù)） (1-t)(1+t)-z2=1 t2+z2=0 t=0 且 z=0 原方程

12、組的解為 x=1 y=1 z=0六、整體思維解決問題過程中，需要將要解決問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式，整體結(jié)構(gòu)，整體功能，以便達(dá)到解題目的。例15：雙曲線過原點(diǎn)，實(shí)軸長為2，它的一個焦點(diǎn)F1(4,0)，求雙曲線中心的軌跡方程：解：設(shè)雙曲線另一個焦點(diǎn)為F2，則|OF2|OF1|=±2a=±2設(shè)雙曲線中心為P(x,y)，則另一個焦點(diǎn)F2(2x4,2y)，化簡得(x2)2+y2=9或(x2)2=1評注：題設(shè)給定雙曲線的一個焦點(diǎn)和一支上的一個特殊點(diǎn)，如果僅用這些條件，按常規(guī)方法很難求得中心的軌跡方程。但若整體研究所給雙曲線及兩焦點(diǎn)與中心的位置關(guān)系，再利用原點(diǎn)在雙曲線上，

13、則解題思路豁然開朗。例16：橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP、OQ斜率之積為。求證：|OP|2+|OQ|2為定值求PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(x1、y1)，Q(x2、y2)P、Q分別在橢圓上，且KOP·KOQ=，故×得16y12y22=16216(x12+x22)x12x22 代入得x12+x22=16+得y12+y22=8 ( x12+x22)=4|OP|2+|OQ|2= x12+y12+ x22 +y22=20設(shè)P、Q中點(diǎn)為M(x，y)，則有x1+x2=2x y1+y2=2y+x2得 4(y12 +y22+ 2y1y2)=32(x12+ x22+2 x1x2)4(y1+y2)2=32(x1+x2)24x2+16y2=32，即故PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為：評注：在處理曲線與直線的關(guān)系時，往往運(yùn)用問題中整體與部分關(guān)系，通過整體代入，整體運(yùn)算，整體消元，整體合并等方法，常?？梢院喕\(yùn)算過程，提高解題速度，并從中感受到整體思維的和諧美。七、整體配湊運(yùn)用數(shù)學(xué)的對稱性，整體配湊，構(gòu)造對稱形式，使解題方便。例17、計(jì)算 sin210°+cos240°+sin10°cos40°分析 本題可運(yùn)用常規(guī)解法，先降冪，然后運(yùn)用積化和差，和差化積求解，但解題過程復(fù)雜。因此，我們可將所求的