卡爾曼濾波簡(jiǎn)介和實(shí)例講解

1、卡爾曼，美國(guó)數(shù)學(xué)家和電氣工程師。1930年5月 19日生于匈牙利首都布達(dá)佩斯。1953年在美國(guó)麻省理工學(xué)院畢業(yè)獲理學(xué)士學(xué)位,1954年獲理學(xué)碩士學(xué)位,1957年在哥倫比亞大學(xué)獲科學(xué)博士學(xué)位。19571958年在國(guó)際商業(yè)機(jī)器公司(IBM)研究大系統(tǒng)計(jì)算機(jī)控制的數(shù)學(xué)問(wèn)題。19581964年在巴爾的摩高級(jí)研究院研究控制和數(shù)學(xué)問(wèn)題。19641971年到斯坦福大學(xué)任教授。1971年任佛羅里達(dá)大學(xué)數(shù)學(xué)系統(tǒng)理論研究中心主任，并兼任蘇黎世的瑞士聯(lián)邦高等工業(yè)學(xué)校教授。1960年卡爾曼因提出著名的卡爾曼濾波器而聞名于世。卡爾曼濾波器在隨機(jī)序列估計(jì)、空間技術(shù)、工程系統(tǒng)辨識(shí)和經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)建模等方面有許多重要應(yīng)用。1960

2、年卡爾曼還提出能控性的概念。能控性是控制系統(tǒng)的研究和實(shí)現(xiàn)的基本概念，在最優(yōu)控制理論、穩(wěn)定性理論和網(wǎng)絡(luò)理論中起著重要作用。卡爾曼還利用對(duì)偶原理導(dǎo)出能觀測(cè)性概念，并在數(shù)學(xué)上證明了卡爾曼濾波理論與最優(yōu)控制理論對(duì)偶。為此獲電氣與電子工程師學(xué)會(huì)(IEEE)的最高獎(jiǎng)榮譽(yù)獎(jiǎng)?wù)隆？柭袛?shù)學(xué)系統(tǒng)概論(1968)等書(shū)。什么是卡爾曼濾波最佳線(xiàn)性濾波理論起源于40年代美國(guó)科學(xué)家Wiener和前蘇聯(lián)科學(xué)家等人的研究工作，后人統(tǒng)稱(chēng)為維納濾波理論。從理論上說(shuō)，維納濾波的最大缺點(diǎn)是必須用到無(wú)限過(guò)去的數(shù)據(jù)，不適用于實(shí)時(shí)處理。為了克服這一缺點(diǎn)，60年代Kalman把狀態(tài)空間模型引入濾波理論，并導(dǎo)出了一套遞推估計(jì)算法，后人稱(chēng)之

3、為卡爾曼濾波理論?？柭鼮V波是以最小均方誤差為估計(jì)的最佳準(zhǔn)則，來(lái)尋求一套遞推估計(jì)的算法，其基本思想是：采用信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時(shí)刻地估計(jì)值和現(xiàn)時(shí)刻的觀測(cè)值來(lái)更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)，求出現(xiàn)時(shí)刻的估計(jì)值。它適合于實(shí)時(shí)處理和計(jì)算機(jī)運(yùn)算?？柭鼮V波的實(shí)質(zhì)是由量測(cè)值重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)向量。它以“預(yù)測(cè)實(shí)測(cè)修正”的順序遞推，根據(jù)系統(tǒng)的量測(cè)值來(lái)消除隨機(jī)干擾，再現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)，或根據(jù)系統(tǒng)的量測(cè)值從被污染的系統(tǒng)中恢復(fù)系統(tǒng)的本來(lái)面目。釋文：卡爾曼濾波器是一種由卡爾曼（Kalman）提出的用于時(shí)變線(xiàn)性系統(tǒng)的遞歸濾波器。這個(gè)系統(tǒng)可用包含正交狀態(tài)變量的微分方程模型來(lái)描述，這種濾波器是將過(guò)去的測(cè)量估計(jì)誤差合并到新的測(cè)

4、量誤差中來(lái)估計(jì)將來(lái)的誤差?？柭鼮V波的應(yīng)用斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次實(shí)現(xiàn)了卡爾曼濾波器.卡爾曼在NASA埃姆斯研究中心訪(fǎng)問(wèn)時(shí),發(fā)現(xiàn)他的方法對(duì)于解決阿波羅計(jì)劃的軌道預(yù)測(cè)很有用,后來(lái)阿波羅飛船的導(dǎo)航電腦使用了這種濾波器. 關(guān)于這種濾波器的論文由Swerling (1958), Kalman (1960)與 Kalman and Bucy (1961)發(fā)表.目前,卡爾曼濾波已經(jīng)有很多不同的實(shí)現(xiàn).卡爾曼最初提出的形式現(xiàn)在一般稱(chēng)為簡(jiǎn)單卡爾曼濾波器.除此以外,還有施密特?cái)U(kuò)展濾波器,信息濾波器以及很多Bierman, Thornton 開(kāi)發(fā)的平方根濾波器的變種.也行最常見(jiàn)的卡爾曼濾

5、波器是鎖相環(huán)，它在收音機(jī),計(jì)算機(jī)和幾乎任何視頻或通訊設(shè)備中廣泛存在.卡爾曼濾波的一個(gè)典型實(shí)例是從一組有限的，對(duì)物體位置的，包含噪聲的觀察序列預(yù)測(cè)出物體的坐標(biāo)位置及速度. 在很多工程應(yīng)用(雷達(dá), 計(jì)算機(jī)視覺(jué))中都可以找到它的身影. 同時(shí)，卡爾曼濾波也是控制理論以及控制系統(tǒng)工程中的一個(gè)重要話(huà)題.比如,在雷達(dá)中,人們感興趣的是跟蹤目標(biāo),但目標(biāo)的位置,速度,加速度的測(cè)量值往往在任何時(shí)候都有噪聲.卡爾曼濾波利用目標(biāo)的動(dòng)態(tài)信息,設(shè)法去掉噪聲的影響,得到一個(gè)關(guān)于目標(biāo)位置的好的估計(jì)。這個(gè)估計(jì)可以是對(duì)當(dāng)前目標(biāo)位置的估計(jì)(濾波),也可以是對(duì)于將來(lái)位置的估計(jì)(預(yù)測(cè))，也可以是對(duì)過(guò)去位置的估計(jì)(插值或平滑).擴(kuò)展卡爾

6、曼濾波（EKF）EXTEND KALMAN FILTER擴(kuò)展卡爾曼濾波器是由kalman filter考慮時(shí)間非線(xiàn)性的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，常應(yīng)用于目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)?？柭鼮V波是一種高效率的遞歸濾波器(自回歸濾波器), 它能夠從一系列的不完全包含噪聲的測(cè)量(英文:measurement)中，估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。  簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，卡爾曼濾波器是一個(gè)“optimal recursive data processing algorithm（最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法）”。對(duì)于解決很大部分的問(wèn)題，他是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的。他的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過(guò)30年，包括機(jī)器人導(dǎo)航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事

7、方面的雷達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來(lái)更被應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖像處理，例如頭臉識(shí)別，圖像分割，圖像邊緣檢測(cè)等等?？柭鼮V波的命名  這種濾波方法以它的發(fā)明者魯?shù)婪?E.卡爾曼（Rudolf E. Kalman）命名. 雖然Peter Swerling實(shí)際上更早提出了一種類(lèi)似的算法.  卡爾曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利數(shù)學(xué)家，1930年出生于匈牙利首都布達(dá)佩斯。1953，1954年于麻省理工學(xué)院分別獲得電機(jī)工程學(xué)士及碩士學(xué)位。1957年于哥倫比亞大學(xué)獲得博士學(xué)位。我們現(xiàn)在要學(xué)習(xí)的卡爾曼濾波器，正是源于他的博士論文和1960年發(fā)表的論文A N

8、ew Approach to Linear Filtering and Prediction Problems（線(xiàn)性濾波與預(yù)測(cè)問(wèn)題的新方法）。如果對(duì)這編論文有興趣，可以到這里的地址下載：/welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf卡爾曼濾波的應(yīng)用  斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次實(shí)現(xiàn)了卡爾曼濾波器.卡爾曼在NASA埃姆斯研究中心訪(fǎng)問(wèn)時(shí),發(fā)現(xiàn)他的方法對(duì)于解決阿波羅計(jì)劃的軌道預(yù)測(cè)很有用,后來(lái)阿波羅飛船的導(dǎo)航電腦使用了這種濾波器. 關(guān)于這種濾波器的論文由Swerling (1958),

9、Kalman (1960)與 Kalman and Bucy (1961)發(fā)表.  目前,卡爾曼濾波已經(jīng)有很多不同的實(shí)現(xiàn).卡爾曼最初提出的形式現(xiàn)在一般稱(chēng)為簡(jiǎn)單卡爾曼濾波器.除此以外,還有施密特?cái)U(kuò)展濾波器,信息濾波器以及很多Bierman, Thornton 開(kāi)發(fā)的平方根濾波器的變種.也行最常見(jiàn)的卡爾曼濾波器是鎖相環(huán)，它在收音機(jī),計(jì)算機(jī)和幾乎任何視頻或通訊設(shè)備中廣泛存在.  卡爾曼濾波的一個(gè)典型實(shí)例是從一組有限的，對(duì)物體位置的，包含噪聲的觀察序列預(yù)測(cè)出物體的坐標(biāo)位置及速度. 在很多工程應(yīng)用(雷達(dá), 計(jì)算機(jī)視覺(jué))中都可以找到它的身影. 同時(shí)，卡爾曼濾波也是控

10、制理論以及控制系統(tǒng)工程中的一個(gè)重要話(huà)題.  比如,在雷達(dá)中,人們感興趣的是跟蹤目標(biāo),但目標(biāo)的位置,速度,加速度的測(cè)量值往往在任何時(shí)候都有噪聲.卡爾曼濾波利用目標(biāo)的動(dòng)態(tài)信息,設(shè)法去掉噪聲的影響,得到一個(gè)關(guān)于目標(biāo)位置的好的估計(jì)。這個(gè)估計(jì)可以是對(duì)當(dāng)前目標(biāo)位置的估計(jì)(濾波),也可以是對(duì)于將來(lái)位置的估計(jì)(預(yù)測(cè))，也可以是對(duì)過(guò)去位置的估計(jì)(插值或平滑).實(shí)例分析  為了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器，這里會(huì)應(yīng)用形象的描述方法來(lái)講解，而不是像大多數(shù)參考書(shū)那樣羅列一大堆的數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)符號(hào)。但是，他的5條公式是其核心內(nèi)容。結(jié)合現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)，其實(shí)卡爾曼的程序相當(dāng)?shù)暮?jiǎn)單，只

11、要你理解了他的那5條公式。  在介紹他的5條公式之前，先讓我們來(lái)根據(jù)下面的例子一步一步的探索。  假設(shè)我們要研究的對(duì)象是一個(gè)房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)判斷，這個(gè)房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設(shè)我們用一分鐘來(lái)做時(shí)間單位）。假設(shè)你對(duì)你的經(jīng)驗(yàn)不是100%的相信，可能會(huì)有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（White Gaussian Noise），也就是這些偏差跟前后時(shí)間是沒(méi)有關(guān)系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我們?cè)诜块g里放一個(gè)溫度計(jì)，但是這個(gè)溫度計(jì)也不準(zhǔn)確的，測(cè)量值會(huì)比實(shí)際

12、值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。  好了，現(xiàn)在對(duì)于某一分鐘我們有兩個(gè)有關(guān)于該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測(cè)值（系統(tǒng)的預(yù)測(cè)值）和溫度計(jì)的值（測(cè)量值）。下面我們要用這兩個(gè)值結(jié)合他們各自的噪聲來(lái)估算出房間的實(shí)際溫度值。  假如我們要估算k時(shí)刻的是實(shí)際溫度值。首先你要根據(jù)k-1時(shí)刻的溫度值，來(lái)預(yù)測(cè)k時(shí)刻的溫度。因?yàn)槟阆嘈艤囟仁呛愣ǖ?，所以你?huì)得到k時(shí)刻的溫度預(yù)測(cè)值是跟k-1時(shí)刻一樣的，假設(shè)是23度，同時(shí)該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差(估計(jì)值誤差)是3，你對(duì)自己預(yù)測(cè)的不確定度（預(yù)測(cè)誤差）是4度，他們平方

13、相加再開(kāi)方，就是5）。然后，你從溫度計(jì)那里得到了k時(shí)刻的溫度值（測(cè)量值），假設(shè)是25度，同時(shí)該值的偏差是4度（測(cè)量誤差）。  由于我們用于估算k時(shí)刻的實(shí)際溫度有兩個(gè)溫度值，分別是23度和25度。究竟實(shí)際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計(jì)呢？究竟相信誰(shuí)多一點(diǎn)，我們可以用他們的協(xié)方差（covariance）來(lái)判斷。因?yàn)镵g2=52/(52+42)，所以Kg=0.78，我們可以估算出k時(shí)刻的實(shí)際溫度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度?？梢钥闯觯?yàn)闇囟扔?jì)的covariance比較?。ū容^相信溫度計(jì)），所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計(jì)的值。  

14、現(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時(shí)刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進(jìn)入k+1時(shí)刻，進(jìn)行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒(méi)看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對(duì)了，在進(jìn)入k+1時(shí)刻之前，我們還要算出k時(shí)刻那個(gè)最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法如下：(1-Kg)*52)0.5=2.35。這里的5就是上面的k時(shí)刻你預(yù)測(cè)的那個(gè)23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進(jìn)入k+1時(shí)刻以后k時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對(duì)應(yīng)于上面的3）。  就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運(yùn)行的很快，而且它只保留了上一時(shí)刻的covariance。上面的Kg，就是卡爾曼增益（Kal

15、man Gain）。他可以隨不同的時(shí)刻而改變他自己的值，是不是很神奇！在學(xué)習(xí)卡爾曼濾波器之前，首先看看為什么叫“卡爾曼”。跟其他著名的理論（例如傅立葉變換，泰勒級(jí)數(shù)等等）一樣，卡爾曼也是一個(gè)人的名字，而跟他們不同的是，他是個(gè)現(xiàn)代人！卡 爾曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利數(shù)學(xué)家，1930年出生于匈牙利首都布達(dá)佩斯。1953，1954年于麻省理工學(xué)院分別獲得電機(jī)工程學(xué)士及碩士學(xué)位。1957年于哥倫比亞大學(xué)獲得博士學(xué)位。我們現(xiàn)在要學(xué)習(xí)的卡爾曼濾波器，正是源于他的博士論文和1960年發(fā)表的論文A New Approach to Linear Filtering and Predict

16、ion Problems（線(xiàn)性濾波與預(yù)測(cè)問(wèn)題的新方法）。如果對(duì)這編論文有興趣，可以到這里的地址下載：/welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf簡(jiǎn) 單來(lái)說(shuō)，卡爾曼濾波器是一個(gè)“optimal recursive data processing algorithm（最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法）”。對(duì)于解決很大部分的問(wèn)題，他是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的。他的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過(guò)30年，包括機(jī)器人導(dǎo)航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來(lái)更被應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖像處理，例如頭臉識(shí)別，圖像分割，圖像邊緣檢測(cè)等

17、等。2卡爾曼濾波器的介紹（Introduction to the Kalman Filter）為了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器，這里會(huì)應(yīng)用形象的描述方法來(lái)講解，而不是像大多數(shù)參考書(shū)那樣羅列一大堆的數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)符號(hào)。但是，他的5條公式是其核心內(nèi)容。結(jié)合現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)，其實(shí)卡爾曼的程序相當(dāng)?shù)暮?jiǎn)單，只要你理解了他的那5條公式。在介紹他的5條公式之前，先讓我們來(lái)根據(jù)下面的例子一步一步的探索。假設(shè)我們要研究的對(duì)象是一個(gè)房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)判斷，這個(gè)房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設(shè)我們用一分鐘來(lái)做時(shí)間單位）。假設(shè)你對(duì)你的經(jīng)驗(yàn)不是100%的相信，可能會(huì)有上下偏差幾度

18、。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（White Gaussian Noise），也就是這些偏差跟前后時(shí)間是沒(méi)有關(guān)系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我們?cè)诜块g里放一個(gè)溫度計(jì)，但是這個(gè)溫度計(jì)也不準(zhǔn)確的，測(cè)量值會(huì)比實(shí)際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。好了，現(xiàn)在對(duì)于某一分鐘我們有兩個(gè)有關(guān)于該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測(cè)值（系統(tǒng)的預(yù)測(cè)值）和溫度計(jì)的值（測(cè)量值）。下面我們要用這兩個(gè)值結(jié)合他們各自的噪聲來(lái)估算出房間的實(shí)際溫度值。假如我們要估算k時(shí)刻的是實(shí)際溫度值。首先你要根據(jù)k-1時(shí)刻的溫度值，來(lái)預(yù)測(cè)k時(shí)刻的溫度。因?yàn)槟阆嘈艤囟仁呛愣ǖ模阅銜?huì)得到k時(shí)刻的

19、溫度預(yù)測(cè)值是跟 k-1時(shí)刻一樣的，假設(shè)是23度，同時(shí)該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，你對(duì)自己預(yù)測(cè)的不確定度是4度，他們平方相加再開(kāi)方，就是5）。然后，你從溫度計(jì)那里得到了k時(shí)刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時(shí)該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時(shí)刻的實(shí)際溫度有兩個(gè)溫度值，分別是23度和25度。究竟實(shí)際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計(jì)呢？究竟相信誰(shuí)多一點(diǎn)，我們可以用他們的 covariance來(lái)判斷。因?yàn)镵g2=52/(52+42)，所以Kg=0.78，我們可以估算出k時(shí)刻的實(shí)際溫度值是：23+0.78* (25-23)=24.56度?？梢?/p>

20、看出，因?yàn)闇囟扔?jì)的covariance比較?。ū容^相信溫度計(jì)），所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計(jì)的值?，F(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時(shí)刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進(jìn)入k+1時(shí)刻，進(jìn)行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒(méi)看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對(duì)了，在進(jìn)入k+ 1時(shí)刻之前，我們還要算出k時(shí)刻那個(gè)最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法如下：(1-Kg)*52)0.5=2.35。這里的5就是上面的k時(shí)刻你預(yù)測(cè)的那個(gè)23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進(jìn)入k+1時(shí)刻以后k時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對(duì)應(yīng)于上面的3）。就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運(yùn)行的很快，

21、而且它只保留了上一時(shí)刻的covariance。上面的Kg，就是卡爾曼增益（Kalman Gain）。他可以隨不同的時(shí)刻而改變他自己的值，是不是很神奇！下面就要言歸正傳，討論真正工程系統(tǒng)上的卡爾曼。3 卡爾曼濾波器算法（The Kalman Filter Algorithm）在 這一部分，我們就來(lái)描述源于Dr Kalman 的卡爾曼濾波器。下面的描述，會(huì)涉及一些基本的概念知識(shí)，包括概率（Probability），隨即變量（Random Variable），高斯或正態(tài)分配（Gaussian Distribution）還有State-space Model等等。但對(duì)于卡爾曼濾波器的詳細(xì)證明，這里不能

22、一一描述。首先，我們先要引入一個(gè)離散控制過(guò)程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個(gè)線(xiàn)性隨機(jī)微分方程（Linear Stochastic Difference equation）來(lái)描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系統(tǒng)的測(cè)量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上兩式子中，X(k)是k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，U(k)是k時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù)，對(duì)于多模型系統(tǒng)，他們?yōu)榫仃?。Z(k)是k時(shí)刻的測(cè)量值，H 是測(cè)量系統(tǒng)的參數(shù)，對(duì)于多測(cè)量系統(tǒng)，H為矩陣。W(k)和V(k)分別表示過(guò)程和測(cè)量的噪聲。他們被假設(shè)成高斯白噪聲(White Gaussian Noise)，他們的covariance

23、 分別是Q，R（這里我們假設(shè)他們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化）。對(duì)于滿(mǎn)足上面的條件(線(xiàn)性隨機(jī)微分系統(tǒng)，過(guò)程和測(cè)量都是高斯白噪聲)，卡爾曼濾波器是最優(yōu)的信息處理器。下面我們來(lái)用他們結(jié)合他們的covariances 來(lái)估算系統(tǒng)的最優(yōu)化輸出（類(lèi)似上一節(jié)那個(gè)溫度的例子）。首先我們要利用系統(tǒng)的過(guò)程模型，來(lái)預(yù)測(cè)下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設(shè)現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)是k，根據(jù)系統(tǒng)的模型，可以基于系統(tǒng)的上一狀態(tài)而預(yù)測(cè)出現(xiàn)在狀態(tài)：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) . (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一狀態(tài)預(yù)測(cè)的結(jié)果，X(k-1|k-1)是上一狀態(tài)最優(yōu)的結(jié)果，U(k)為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量，如果沒(méi)有控制量，它

24、可以為0。到現(xiàn)在為止，我們的系統(tǒng)結(jié)果已經(jīng)更新了，可是，對(duì)應(yīng)于X(k|k-1)的covariance還沒(méi)更新。我們用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A+Q (2)式(2) 中，P(k|k-1)是X(k|k-1)（預(yù)測(cè)值）對(duì)應(yīng)的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)（最優(yōu)值）對(duì)應(yīng)的covariance，A表示 A的轉(zhuǎn)置矩陣，Q是系統(tǒng)過(guò)程的covariance。式子1，2就是卡爾曼濾波器5個(gè)公式當(dāng)中的前兩個(gè)，也就是對(duì)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)?，F(xiàn)在我們有了現(xiàn)在狀態(tài)的預(yù)測(cè)結(jié)果，然后我們?cè)偈占F(xiàn)在狀態(tài)的測(cè)量值。結(jié)合預(yù)測(cè)值和測(cè)量值，我們可以得到現(xiàn)在狀態(tài)(k

25、)的最優(yōu)化估算值X(k|k)：X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1) (3)其中Kg為卡爾曼增益(Kalman Gain)：Kg(k)= P(k|k-1) H / (H P(k|k-1) H + R) (4)到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)得到了k狀態(tài)下最優(yōu)的估算值X(k|k)。但是為了要另卡爾曼濾波器不斷的運(yùn)行下去直到系統(tǒng)過(guò)程結(jié)束，我們還要更新k狀態(tài)下X(k|k)的covariance：P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) (5)其中I 為1的矩陣，對(duì)于單模型單測(cè)量，I=1。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入k+1狀態(tài)時(shí)，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。

26、這樣，算法就可以自回歸的運(yùn)算下去?？柭鼮V波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 個(gè)基本公式。根據(jù)這5個(gè)公式，可以很容易的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)的程序。下面，我會(huì)用程序舉一個(gè)實(shí)際運(yùn)行的例子。4 簡(jiǎn)單例子（A Simple Example）這里我們結(jié)合第二第三節(jié)，舉一個(gè)非常簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明卡爾曼濾波器的工作過(guò)程。所舉的例子是進(jìn)一步描述第二節(jié)的例子，而且還會(huì)配以程序模擬結(jié)果。根據(jù)第二節(jié)的描述，把房間看成一個(gè)系統(tǒng)，然后對(duì)這個(gè)系統(tǒng)建模。當(dāng)然，我們見(jiàn)的模型不需要非常地精確。我們所知道的這個(gè)房間的溫度是跟前一時(shí)刻的溫度相同的，所以A=1。沒(méi)有控制量，所以U(k)=0。因此得出：X(k|k-1)=X(k-1|k-1) . (6)式子（2）可以改成：P