第講 直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算PPT課件

1、定義定義. 設(shè)設(shè),),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在存在,),(zyxfvzyxfd),(稱為稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx若對若對 作作任意分割任意分割: 任意取點(diǎn)任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在在 上的上的三重積分三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì)性質(zhì): 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列下列“乘乘中值定理中值定理.),(zyxf設(shè)在有界閉域在有界閉域 上連續(xù)上連續(xù),則存在,),(使得使得vzyxfd),(Vf),(V 為為 的的體積體積, 積

2、和式積和式” 極限極限記作記作第1頁/共25頁思考題思考題則則上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為為面對稱的有界閉區(qū)域，面對稱的有界閉區(qū)域，中關(guān)于中關(guān)于為為若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(:)1(dvzyxfzyxf為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí)關(guān)于關(guān)于當(dāng)當(dāng) 1),(_),(,_),(:)2(dvzyxfdvzyxfzyxf為偶函數(shù)時(shí)為偶函數(shù)時(shí)關(guān)于關(guān)于當(dāng)當(dāng).1面上方的部分面上方的部分在在為為其中其中xy zz2.)2(,yz)1(3的相關(guān)結(jié)論的相關(guān)結(jié)論二重積分計(jì)算中對稱性二重積分計(jì)算中對稱性？上述結(jié)論該怎么樣呢上述結(jié)論該怎么樣呢面對稱的有界閉區(qū)域面對稱的有界閉區(qū)域面或面或中關(guān)于中關(guān)于為為問題

3、：若問題：若zxR 第2頁/共25頁 011222222 dzdydxzyxzyxzln例例 dzdydxzyxzyxz11222222ln計(jì)算積分| ),(1222 zyxzyx其中積分區(qū)域解,的奇函數(shù)被積函數(shù)是z,的球體半徑等于是球心在原點(diǎn)積分區(qū)域1所以原積分,對稱平面關(guān)于積分區(qū)域xoy)(0 z方程第3頁/共25頁二、直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)二、直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算算方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù)先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體并將它看作某物體 通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下

4、列各計(jì)算通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算最后最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算. 的密度函數(shù)的密度函數(shù) , 方法方法:第4頁/共25頁zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后先一后二二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21該物體的質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為細(xì)長柱體微元的質(zhì)量為),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元線

5、密度記作記作第5頁/共25頁得得 ,以以 的邊界為的邊界為準(zhǔn)線母線平行于準(zhǔn)線母線平行于z軸軸的柱面把的柱面把 分為下上分為下上兩個(gè)邊界：兩個(gè)邊界：xyD12,zzx yzzx y設(shè)設(shè) 如圖如圖,將將 向向xoy面投影，面投影，xyDxOyzab( , )x y1( )yy x2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x yOyzab( , )x y1( )yy x2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x yOyzab( , )x y2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x

6、yxOyzab( , )x y1( )yy x2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x yOyzab( , )x y1( )yy x2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x yOyzab( , )x y2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x yxOyzab( , )x y1( )yy x2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x yOyzab( , )x y1( )yy x2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz

7、x y2( , )zz x yOyzab( , )x y2( )yy xxyD1z2z1S2S1( , )zz x y2( , )zz x y12,xyx yDzzx yzx y從變到第6頁/共25頁21( , )( , )( , , )( , , )xyzx yzx yDf x y z dvf x y z dz dxdy 則則 12:,xyzx yzzx yx yD于是，積分區(qū)域可表示為于是，積分區(qū)域可表示為(先一后二）先一后二）第7頁/共25頁根據(jù)根據(jù)D是是X型域或型域或Y型域確定二重積分的型域確定二重積分的積分限，就得到三重積分公式積分限，就得到三重積分公式.2211( )( , )(

8、)( , )( , , )( , , )bxzx yaxzx yf x y z dvdxdyf x y z dz 若若D為為X型域，則有型域，則有這是先對這是先對z，次對，次對y，最后對，最后對x的三次積分的三次積分21( , )( , )( , , )( , , )xyzx yzx yDf x y z dvf x y z dz dxdy 第8頁/共25頁ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后先二后一一”)bzaDyxz),(:為底為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為為高的柱形薄片質(zhì)量為zD以xyz該物體的質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzy

9、xfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度面密度zd記作記作第9頁/共25頁ZDZD 設(shè)區(qū)域 的z值的最大值和最小值為 和 ， 過 內(nèi)任一點(diǎn)z，作水平平面與 交出截面 ， 就是二重積分的積分區(qū)域.12,c c1c2cxyzOzDz1c2c 先在先在 上對上對x,y積分然后在積分然后在 上對上對z積分積分.12,c czD第10頁/共25頁這樣得到這樣得到21( , , )( , , )zccDf x y z dvdzf x y z dxdy先求出先求出 上的二重積分再求定積分上的二重積分再求定積分.ZD12:,Zx yDczc先二后一先二后一此法常用于此法常

10、用于 上的二重積分易求的情形上的二重積分易求的情形zD第11頁/共25頁小結(jié)小結(jié): 三重積分的計(jì)算方法三重積分的計(jì)算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)vzyxfd),(被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇. 第12頁/共25頁xdv例例1 計(jì)算計(jì)算 ,其中其中 為三個(gè)坐標(biāo)面為三個(gè)坐標(biāo)面及平面及平面x2yz1所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。 xyzO(0,0,1)C1(0,0)2B(1,0,0)Axy

11、D:012 ,xyzxyx yD :012 ,xyzxyx yD 解解 在在xoy面上的投影為面上的投影為xyD若若 看成看成X型域，則型域，則xyD12xy12zxy , x y第13頁/共25頁123011(2)448xxx dx10:012 ,:201xyxyzxy Dx 120 xyDxdvdxdyxdz 11122000 xxydxdyxdz 11200(12 )xxdxxy dy第14頁/共25頁例例2 計(jì)算計(jì)算 ，其中，其中 是由橢球是由橢球面面 所圍成的空間閉區(qū)域。所圍成的空間閉區(qū)域。 2222221xyzabc2z dxdydzczc 222222:1-zxyzDczcabc

12、 （)解解 z的最小值和最大值為的最小值和最大值為 和和 ，即，即ccabcxyzzO0DzDc第15頁/共25頁222zzccccDDz dxdydzdzz dxdyz dzdxdy的面積為的面積為zzDdxdyD22222211(1)zzzababccc22224232(1)4()15cccczz dxdydzzabdzczabzdzabcc第16頁/共25頁 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖，積分順序積分順序再對再對后對后對先對先對yzx思考：思考：第17頁/共25頁例例4 將將 化為直角坐標(biāo)系下的化為直角坐標(biāo)系下的

13、三次積分，其中三次積分，其中 是由平面是由平面 xyz1，xy1，x0，y0，z1圍成的區(qū)域。圍成的區(qū)域。 ( , , )f x y z dv 的下底是的下底是xyz1，上底是上底是z1，x0y1xyxyD1解解 的投影的投影 是是x+y=1，x=0，y=0圍成的三角形域圍成的三角形域，xyD第18頁/共25頁11( , , )( , , )xyx yDf x y z dvdxdyf x y z dz 111001( , , )xx ydxdyf x y z dz 01:11,:01xyyxxyzDx 第19頁/共25頁解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 122 yx第20頁/共25頁故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI第21頁/共25頁例例 6 6 計(jì)計(jì)算算 dxdydzxy 21，其其中中 由由221zxy ，122 zx，1 y圍圍成成. 解解dxdzzxxzxD21222 dxzzxxxzxz| )3(121221132112 .4528 dzzxxdxxx21221111222 111 :2),(22221zxzxDxzyydydx