2016中國西部數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 2016中國西部數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽 1.設(shè)實(shí)數(shù)abcd、滿足0abcd?，證明：存在abcd、的一個(gè)排列xyzw、，有?222222()xzywxyzw?. 1取,xz為abcd、中最大的兩個(gè)，yw、為abcd、中最小的兩個(gè)。 下面證明這樣的排列滿足要求。 事實(shí)上，由?222222()()xyzwxzywxwyz?， 只需證明：22()()xzywxwyz?，即證：|xzywxwyz?. 因?yàn)?xyzw?，所以，xz、的符號(hào)相同，yw、的符號(hào)相同。 注意到，當(dāng)同時(shí)改變xz、或yw、的符號(hào)時(shí)，式不變。 因此，可不妨設(shè)xyzw、均大于0. 此時(shí)，|max,|xzywxzywxzxw

2、yzxwyz? 2.如圖1，設(shè)1 O與2 O交于點(diǎn)PQ、，它們的一條外公切線分別與1 O、2 O切于點(diǎn)AB、，過點(diǎn)AB、的圓?分別與1 O、2 O交于點(diǎn)DC、. 證明：CPDPCQDQ? 2.如圖3，聯(lián)結(jié),ADPQBCAPAQBPBQ, 由蒙日定理，知ADQPBC、交于一點(diǎn)，設(shè)為K. 由DPKPKPDCKAQAQKA?, 由APKAKPAKDQDQKQ? 于是，APDPKPAQDQKQ? 同理：BPCPKPBQCQKQ?， 從而APDPBPCPAQDQBQCQ? 延長PQ，與AB交于點(diǎn)M 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 由AQMPAM? 2AQAMQMAQAMQMQMAPPMAMAPPMAMPM? 同

3、理：2BQQMBPPM? ，從而AQBQAPBP? 由式，得DPCPDQCQ? 3.給定正整數(shù)2nkkn?、（）.設(shè)實(shí)數(shù)集?12,naa a的任意k元子集的元素和的絕對(duì)值不超過1，證明：若1|1a?，則對(duì)任意的(2)iin?，有12iaa? 3.不妨設(shè)11a?，此時(shí)要證結(jié)論成立，只要證明對(duì)任意的(2)jjn?， 有12jaa?，且12jaa? 記?12,nn ?，. 先證12jaa?，設(shè)2jn?，取?n的兩個(gè)k元子集IJ、，使得1,IJJIj?. 由條件知11,1sssIsJaa?. 將這兩個(gè)不等式作差得：1122jjaaaa?. 再證12jaa? 記|0iSina?.則1S?，假設(shè)|Sk?，

4、取S的一個(gè)k元子集I，使得1I?. 由條件知：?11010ssIaa?矛盾，則|1Sk?. 從而，()|2nSjnk? ?. 這樣，存在1,ijnj?，使得0,0ijaa?. 現(xiàn)選取?n的兩個(gè)k元子集II?、，使得?1,IIjIIij?. 由條件知1,1sssIsIaa?. 以上兩個(gè)不等式相減得：12jijaaaa? 故1122jijaaaaa?. 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 4.定義n元整數(shù)組的一次變換為?121122311,nnnnnaaaaaaaaaaaa? ?. 求所有的正整數(shù)對(duì)?2nknk?，、，滿足對(duì)任意的n元整數(shù)數(shù)組?12,naa a，在有限次變換后所得數(shù)組中每一個(gè)數(shù)均為k的倍數(shù)（張

5、新澤供題） 4.?(,)2,2,pqnkpq?Z. 先證明一個(gè)引理 引理：記n元整數(shù)數(shù)組?12,naa a 經(jīng)過t次變換后所得的數(shù)組為?()()()12,ttntaa a，則()0(1,2,)ttjiijtjaaCin? ?. 證明：用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)1t?時(shí)，結(jié)論顯然成立. 設(shè)()0(1,2,)ttjiijtjaaCin? ?. 則(1)()()1100CCtttttjjiiiijtijtjjaaaaa? ?1011110ttjjtjitijttiitijtjjaCaCCaCaC? 引理得證. 接下來證明,nk均為2的冪。 注意到，每次變換后所得的n個(gè)數(shù)之和為原n個(gè)數(shù)之和的2倍. 令1231

6、,0naaaa? ?，由題設(shè)，經(jīng)過有限次（不妨設(shè)為m次）變換后所得的每個(gè)數(shù)均為k的倍數(shù)，由前可知m次變換后所得的n個(gè)數(shù)之和為2m.故|2mk，即k為2的冪。 于是，m次變換后所得的每個(gè)數(shù)均為2的倍數(shù).進(jìn)而，以后的每次變換后所得的數(shù)均為2的倍數(shù). 取?2sms?Z. 注意到，?412212121ssiisCCii?為偶數(shù) 則經(jīng)過2s次變換后，?211120(mod2)ssaaa? 所以：1121saa? 于是，即|2sn，從而n為2的冪 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 下面說明當(dāng)：?(,)2,2,pqnkpq?Z時(shí)，任意n元整數(shù)數(shù)組?12,naa a均能經(jīng)過有限次變換后使得到的每個(gè)數(shù)均為k的倍數(shù). 事實(shí)

7、上，結(jié)合引理與結(jié)論，對(duì)數(shù)組?12,naa a經(jīng)過2pn?次變換后，有()0(mod2)(1,2,)niiinaaain? ? 再將()()()1211 1,222nnnnaaa?經(jīng)過2p n?次變換得到的每個(gè)數(shù)也均為偶數(shù)， 即(2)0(mod4)(1,2,)niain? . 由歸納原理有：?()0mod2(1,2,)qnqiain?，即每個(gè)數(shù)均為2qk?的倍數(shù). 綜上，結(jié)論成立. 5.證明：存在無窮多個(gè)正整數(shù)數(shù)組?,abc，滿足abc、兩兩互素，且abcbcacab?、兩兩互素.（張端陽供題） 5.取正整數(shù)k滿足1k?不為5的倍數(shù). 下面證明正整數(shù)數(shù)組?21221kkk?，滿足題中要求. 事實(shí)

8、上，顯然21221kkk?、兩兩互素， 222(21)2(21)41,2(21)(21)441,(21)(21)2421kkkkkkkkkkkkkk? 而241k?為奇數(shù)，則?222241,44141,4241,21(2,21)1kkkkkkkk? 又1k?不為的倍數(shù)， 所以：?222241,42141,2241,1(5,1)1kkkkkkkk? 注意到：?222441,421441,21kkkkkkk? 從而(21,2,21)k kk?確實(shí)滿足題中要求. 因此，滿足題中要求的正整數(shù)數(shù)組有無窮多個(gè). 6.設(shè)12,naaa為n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，記1(1)kkiiSakn?.證明：?2211nnniij

9、iiijiiaSaaS? 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 6.注意到：22111jnnniijjiiijijiaSaaaS? 故要證不等式，只要證明222111jnnjiijjjijaaSaS?. 對(duì)1jn?，比較上式兩端2ja的系數(shù)，要使得上式成立，只要21jiijiaSS? 事實(shí)上：211jjiiijjiiaSaSS?，所以成立， 從而，不等式成立. 7.如圖2，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BACDAC?，設(shè)1 O、2 O，分別為ABCADC?、 的內(nèi)切圓。證明：1 O與2 O的某一條外公切線與BD平行. 7.如圖4，設(shè)I為ABD?的內(nèi)心，聯(lián)結(jié)BI. 過I作1 O的一條切線，切點(diǎn)為E，與AB交于點(diǎn)M

10、. 由熟知的結(jié)論及圓外切四邊形對(duì)邊長度之和相等，知 ,CICBCIMBCBMIMBMIMBIMIB? 注意到，I為ABD?的內(nèi)心. 則/MBIDBIMIBDBIIEBD?. 類似地，過點(diǎn)I作2 O的一條切線，切點(diǎn)為F，有/IFBD. 因此，EIF、三點(diǎn)共線，即1 O與2 O的一條外公切線EF與BD平行. 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 8.給定整數(shù)?21mnmnmn?、，求最小的整數(shù)k，滿足對(duì)集合?1,2, ,n的任意m元子集I，若iIik?，則存在n個(gè)實(shí)數(shù)12naaa? ? ，使得111niiiIiaamn? 8. 滿足條件的最小整數(shù)為12mnmnk? 先證明：當(dāng)12mnmnk?時(shí)滿足條件. 對(duì)集合

11、?12, n，的滿足iIik?的m元子集I， 設(shè)?1212,1mmIiiiiiin? ?. 記?x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù). 由?,1mn? ，得：1111111(1)()(1)(1)22mmmirrnnnrrmrnmmmm? 11(1)1mmrrrnrkim? 從而，存在1rm? ，使得(1)1rnirm? 取1110,1rriiiinaaaaa? ?， 則11iiImramm? ，111nriiniann? 由(1)1rnirm?及ri 為整數(shù)得：(1)1rnirm?， 于是111niiiIiaamn?結(jié)論成立 再證明：當(dāng)12mnmnk?時(shí)不滿足條件 取(1)1(1,2,)rnirrmm

12、? ?，則?12,1,2,mIiiin? ?， 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 且與前面類似得112imnmnik? 對(duì)n個(gè)實(shí)數(shù)12naaa? ?，有?111111111rrmrminmnmiiiirrimiriiiiraaaaiiani? 1mijjnam? 于是，111niiiiIaanm?，結(jié)論不成立， 綜上，所求最小整數(shù)12mnmnk? 附本屆邀請(qǐng)賽預(yù)選題 1.證明：存在無窮多個(gè)正整數(shù)n，使得12nnn?、均無平方因子. 1.考慮集合()An? 1,mmnm?Z，存在奇素?cái)?shù)p，使得2|pm， 則2222|()|11111111135711Ann? ? 2282448111925491113?

13、? 8244811111925491011131482448931925491041000? 其中，第二個(gè)不等式用到了伯努利不等式 所以：|()|1141000Ann? 考慮所有1(mod4)k?的正整數(shù)（,1,2kkk?均不大能被4整除） 下面用反證法證明：形如1(mod4)k?的數(shù)中，存在無窮多個(gè)使得,1,2kkk?均無平方因子。 假設(shè)形如1(mod4)k?的正整數(shù)中，使得,1,2kkk?均無平方因子的數(shù)只有有限個(gè)，不妨設(shè)有l(wèi)個(gè)。則對(duì)充分大的正整數(shù)m，在數(shù)組?123,567,434241mmm? ?，中，至少有ml?個(gè)數(shù)組中有一個(gè)數(shù)在集合?4Am 中，此時(shí)，|(4)|1444Ammllmm

14、m? ? ?1111122(1)1(1)11jjnmmmijiiiiijijijjniaiaanaajaanam?實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 當(dāng)m 充分大時(shí)，111441000lm?，結(jié)合式知矛盾。 從而，存在無窮多個(gè)正整數(shù)n，使得12nnn?、均無平方因子. 2.如圖5，在ABC?中，P為BAC?平分線上的一點(diǎn).設(shè)12HH、分別為APBAPC?、的垂心，M為線段12HH的中點(diǎn)。證明：AMBC? 2.如圖6，過點(diǎn)A作AHBC?于點(diǎn)H 原題等價(jià)于證明：直線AH經(jīng)過線段12HH的中點(diǎn)，這只需證明點(diǎn)12,HH到直線AH的距離相等，即 2211sinsinAHHAHAHHAH? 事實(shí)上，由垂心的性質(zhì)得 2

15、tantan2PCPCAHBACPAC?（1） 1tantan2PBPBAHBACPAB? 又由2,CPAHAHBC?，知2HAHPCB? 類似地，1HAHPBC? 于是，在PBC?中應(yīng)用正弦定理得 2211sinsintan2sinsintan2PCPCBAHHAHBACPBBBCAHHAHBAC? 3.將66?方格表的部分結(jié)點(diǎn)（單位正方形的頂點(diǎn)）染紅，使得任意一個(gè)由單位正方形構(gòu)成的子方格表16kkk?（）邊界上至少有一個(gè)紅點(diǎn)，求滿足條件的紅點(diǎn)數(shù)的最小值 3.最小值為12. 一方面，將結(jié)點(diǎn)用坐標(biāo)表示為? 3210123ijij?，、，將以下12個(gè)點(diǎn)(3,0),(0,3)(1,?染成紅色，逐一

16、檢驗(yàn)知其滿足條件. 另一方面，用反證法證明若只有11個(gè)紅點(diǎn)時(shí)，存在一個(gè)子方格表的邊界上無紅點(diǎn). 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全 假設(shè)恰有11個(gè)紅點(diǎn)的一種染法滿足條件. 注意到，一個(gè)22?子方格表的結(jié)點(diǎn)中至少有兩個(gè)紅點(diǎn) 如圖7，由四個(gè)C組成的22?子方格表至少有兩個(gè)紅點(diǎn)，每個(gè)A至少一個(gè)紅點(diǎn)，相鄰的兩個(gè)B至少一個(gè)紅點(diǎn)，則至少已有10個(gè)紅點(diǎn).故圖中四個(gè)相鄰的兩個(gè)B的紅點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為4或5. （1）若為4個(gè)，則每相鄰的兩個(gè)B的紅點(diǎn)數(shù)恰一個(gè)，顯然，只能出現(xiàn)在它們的公共結(jié)點(diǎn)上.此時(shí)，再考慮四個(gè)角上含A的22?子方格表，每個(gè)中至少有兩個(gè)紅點(diǎn).于是，紅點(diǎn)數(shù)至少有44212?個(gè)，與假設(shè)矛盾. （2）若為5個(gè)，則恰有一個(gè)相

17、鄰的兩個(gè)B的紅點(diǎn)數(shù)為2，不妨設(shè)為上方的兩個(gè)B.于是，其余的三個(gè)相鄰的兩個(gè)B的紅點(diǎn)數(shù)均為1，顯然，只能出現(xiàn)在它們的公共結(jié)點(diǎn)上.再考慮下方的兩個(gè)角上含A的22?子方格表，每個(gè)中至少有兩個(gè)紅點(diǎn)，這些紅點(diǎn)均未出現(xiàn)在上方的兩個(gè)C格中，這兩個(gè)C格也至少有一個(gè)紅點(diǎn).于是，紅點(diǎn)總數(shù)至少有326112?個(gè)，與假設(shè)矛盾. 4.對(duì)正整數(shù)k，設(shè)其在十進(jìn)制表示下所有數(shù)字之和為?Sk. （1）證明：對(duì)任意正整數(shù)n，存在正整數(shù)等差數(shù)列12,naa a，使得?12nSaSaSa? ?； （2）是否存在無窮項(xiàng)正整數(shù)等差數(shù)列?na，使得?12nSaSaSa? ?？ 4.（1）對(duì)10kn?，構(gòu)造如下正整數(shù)等差數(shù)列：?1,2,10k

18、iai ?為將10ki?到41012i? 這10k個(gè)數(shù)在十進(jìn)制表示下依次連接在一起組成的一個(gè)?110kk?位數(shù). 此時(shí)，該數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的對(duì)應(yīng)部分之差均為1，為等差數(shù)列。 又對(duì)比ia和1ia?的各位數(shù)字，恰有一個(gè)數(shù)字從1變成了2. 故?111,2,101kiiSaSai? ?. 由于k可以任意大，從而，對(duì)任意正整數(shù)n，存在滿足要求的等差數(shù)列. （2）不存在。 若存在這樣的等差數(shù)列，不妨設(shè)首項(xiàng)為1a，公差為d.顯然，0d? 取正整數(shù)k，使得110ka? 由該等差數(shù)列有無窮多項(xiàng)，知1110kad?、2110kad?均在該數(shù)列中. 于是，?12111010kkSadSad?. 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案 文檔大全