高考數(shù)學(xué)經(jīng)典題解

1、（ 1）數(shù)學(xué)精英解“集合題”與“函數(shù)題”1（ 07 安徽理5）若 A xZ 222 x8， B x Rlog 2x 1 ，則 A(B)的元R素個數(shù)為（）A 0B 1C 2D 3【解答 】： C 由 A xZ 222x23 ，故 A xZ 1x1 ，解 B x Rlog2 x1得 B xR log2 x1或 log 2 x1 得B x R x 2 或 0x1 ，2所以 RB= x1x 2或 x0，則 A(RR |B)=0 ， 1 ，故有兩個元素 .2【說明 】 對于指數(shù)的考查利用單調(diào)性來脫去“底” 從而比較 “冪” 的大小是?？嫉闹R點，在第二題中也要注意對數(shù)的定義域，不少的同學(xué)因忽視定義域而選

2、擇B.2（ 07 山東理6）給出下列三個等式：f ( xy)f ( x)f ( y) ， f ( xy)f ( x) f ( y) ，f (x)f ( y)f ( xy)1f (x) f ( y)，下列函數(shù)中不滿足其中任何一個等式的是（）A f ( x)3xB f (x)sin xC f ( x) log 2 xD f ( x)tan x【分析 】解決本題的關(guān)鍵是正確熟練的記住這些運算性質(zhì)，把選項中函數(shù)代入驗證即可.【解析 】Bf ( xy)f ( x)f ( y) 是對數(shù)模型，f ( x y)f ( x) f ( y) 是指數(shù)模型，f ( x y)f (x)f ( y)是正切的兩角和公式的模

3、型.故選 B1f (x) f ( y)10.213 (07 天津文， c 23 ，則（4)設(shè) a log 1 3 ， b）23A a b cB c b aC c a bD b a c【解答 】 解決的關(guān)鍵是選好關(guān)鍵值，如0，1 等.0.21A 由 alog 131， 0b11， c 231 可得 abc .324（ 07 湖北理15）為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進yy （毫克）行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量1（毫克）與時間t （小時）成正比；藥物釋放完畢后，y 與 t 的函O0.1t （小時）ta數(shù)關(guān)系式為y1（ a 為常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，回答下列

4、問題：16（I ）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y （毫克）與時間 t （小時）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（II ）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進教室，那么藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時后，學(xué)生才能回到教室【分析】本題以應(yīng)用題的形式考查學(xué)生的閱讀能力，識圖能力，本題的關(guān)鍵是(0.1,1) 這點，通過此點求兩個函數(shù)關(guān)系式，即可迎刃而解.【解答 】：通過讀題可以發(fā)現(xiàn)這是一個分段函數(shù)前段是正比例函數(shù)，后段是指數(shù)函數(shù)，所以，0t 1，10t10把 (0.1,1)分別代入兩個解析式可得： y；第二問通過 y0.25 代t1110116，t10入指數(shù)函數(shù)解析式可得求

5、得0.6【說明 】：本題的題目簡單但是要求審題細(xì)致，否則第二問很容易錯填23.405.（ 07 江蘇 6）設(shè)函數(shù)f ( x) 定義在實數(shù)集上，它的圖像關(guān)于直線x 1對稱，且當(dāng) x1時，f ( x) 3x 1，則有（）1f32 ff3232f13 ff332231fff323321fff233【解答 】B 由題當(dāng) x1時 f ( x)3x 1是單調(diào)遞增函數(shù)又它的圖像關(guān)于直線x1 對稱，所以當(dāng)x1f ( x) 是單調(diào)遞減函數(shù)，且f ( )f (1) f (1 )f () ，因為時，函數(shù)311122221121 ，所以 f ( 1)f ( 1)f ( 2) 即 f ( 2 )f ( 3 ) f (

6、1)323323323【說明 】解決的關(guān)鍵是放到一個單調(diào)區(qū)間上比較.比較大小是考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)靈活運用的常見題型，利用單調(diào)性比較或是選擇關(guān)鍵值進行比較是常用的方法.x22axa1 的定義域為R ，則的取值范圍為 _6（ 07 重慶理 13）若函數(shù) f ( x)2【分析 】 解題關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化題干的含義.【 解 答 】 f (x)2x2 2 ax a1的定義域為R，可知xR ， 2x2 2 ax a1恒成立，即x22ax a 0 恒成立，即4a24a0得 a10， .7.（ 07 上海理 4）方程 9x6 ? 3x7 0的解是【解答 】令 t 3x ， t0 ，則方程變?yōu)?t 26t 70 ，

7、解得 t1(舍去）, t7 ，故3x7, xlog 3 7【說明 】指數(shù)方程不等式在利用換元法解決問題時應(yīng)特別注意換元后的新元的取值范圍.指數(shù)與對數(shù)的相互轉(zhuǎn)化是高考命題的一大熱點.8 (07 天津理5)函數(shù) ylog2 ( x4 2)( x0) 的反函數(shù)是（） y 4x2x 1( x 2) y 4x2x 1 (x 1) y 4x2x 2 ( x 2) y 4x2x 2 ( x 1)【解答】C 由 ylog 2 (x 4 2)( x0)，解得x 4 y2 y 2 ( x 0) 得y 4x2x 2 ( x2) .9（. 07 全國卷 1 理 14）函數(shù) yf (x) 的圖像與函數(shù)ylog 3 x(

8、 x 0)的圖像關(guān)于直線 y x對稱，則 f ( x)【 解 答 】3x ( x R )函 數(shù) y log 3 x( x0)關(guān) 于 直 線 yx 對 稱 的 函 數(shù) 就 是y log3 x(x 0) 的反函數(shù)，故應(yīng)填 3x ( x R ) ，請注意定義域 .10.（ 07 四川理 2）函數(shù) f(x)=1+log 2x 與 g(x)=2 -x+1 在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是【解答 】 C 通過特殊點來判斷圖像f (x) 過點 (1,1) ， g(x) 過點 (0, 2) 可得選 C.考場精彩(2) 數(shù)學(xué)精英解 “不等式”題1.（北京卷第 7 題）如果正數(shù)a,b,c,d 滿足 a+b=cd=4

9、, 那么A.abc+d，且等號成立時，a,b,c,d 的取值唯一B.abc+d，且等號成立時，a,b,c,d 的取值唯一C.abc+d，且等號成立時，a,b,c,d 的取值不唯一D.abc+d，且等號成立時，a,b,c,d 的取值不唯一解答： 由平均值不等式知.答案A.【說明】 平均值不等式等號成立的條件，而且又給定了具體的數(shù)值，所以 a,b,c,d 取值唯一 .2（ 湖南卷第 2 題）不等式 x2 0的解集是（）x1A (， 1)U( 1，2B 1，2C (， 1)U 2， )D ( 1，2解答：原不等式可化為x2x1 01 x 2, 故選 D.x10（山東卷第7題）命題“對任意的xR， x

10、3x21 0 ”的否定是（）3.A 不存在 xR ， x3x21 0B存在C存在xR ， x3x21 0xR ， x3x21 0D對任意的xR ， x3x210解答：全稱命題的否定是存在性命題.答案為 C.【說明】命題是新課標(biāo)的內(nèi)容，只要理解其內(nèi)涵，就不難了.4. （ 江 蘇 卷 第10題 ） 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系xOy 中 ， 已 知 平 面 區(qū) 域A( x，y) xy 1，且 x 0，y 0，則平面區(qū)域 B(x y，x y) ( x， y) A的面積為（） 2 1 1124解答：令 x+y=x,x-y=t, 由題意可得平面區(qū)域B= （ x,t） |s1,s+t 0,s-t 0.

11、畫出可行域可得. S AOB12 11. 答案為 B.25.（全國卷第x16 題）不等式 :>0 的解集為x 24(A)( - 2, 1)(B) (2, +)(C) ( - 2, 1)( 2, +)(D)( -, - 2)( 1, +)解答：令 x0 ，原不等式成立，即可排除B 、 D，再令 x3 ，原不等式仍成立，故再排除 A ，所以選 C.【說明】本題的選擇支中，區(qū)間端點值只有涉及原不等式相應(yīng)的方程的根，所以主要的錯點在于解不等式過程中求并或求交過程中的丟解，這樣的結(jié)果可能選錯為A或B.bb ， 1c6（.天津卷第9 題）設(shè) a，b，c 均為正數(shù)，且 2alog 1 a ，1log

12、1log2 c 則2222（） a bc cb a c a b b a c解答：2 alog 1 a0a1 ;22b11b 1;log 1 b222c1c1log 2 c2故有 a<b<c .答案為 A.7.（重慶卷第 2 題）命題“若 x21，則1 x1 ”的逆否命題是（）若 x2 1，則 x 1 或 x 1若1 x 1 ，則 x21若 x1 或 x1，則 x21若 x 1 或 x 1，則 x2 1解答：A 是已知命題的否命題，B 是逆命題，比較 C、D 易知 .答案為 D.8.（福建卷第7 題）已知 f ( x) 為 R 上的減函數(shù)，則滿足 f1的實數(shù) x 的取值范f (1)x

13、圍是（）A (11)，B (0，1)C ( 1，0) U (01)，D (， 1)U (1， )解答：因為 f (x)為 R 上的減函數(shù) .所以111解得或 11 ，即 -1<x<0 或 0<x<1.答案為 C.x1?,?xx9.（湖北卷第21 題）已知 m，n 為正整數(shù) .（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>-1 時， (1+ x)m 1+mx；nnm（）對于 n6，已知 111 ，求證1m1，m=1,1,2， n；n32n32（）求出滿足等式 3n +4m+ +(n+2) m=(n+3)n 的所有正整數(shù) n.【分析 】一題多問的試題，后面的各問往往需要應(yīng)用前此各問的結(jié)

14、論.本題第（）問不難，但第（）問卻令人相當(dāng)棘手.我們猜想：第（）問是否可以利用第（）問的結(jié)論？第（）問更難，是否又可以利用第（）問的結(jié)論？解題實踐證明：這個猜想是對的.解答：（）略（） n 6, 且 m1,2,Ln, 知 mn. 令1x , 則1p x p 0 .n 31 0 p 1 x p 1，即 0 p 1（注：這是利用第（）問的前提條件）p 1n3m1mm根據(jù)（）， 11 mx ,即 11f0 .xn 3n3nmnmnm但 m n. 時，仍有 1m0,1 ，1m11p1p1.n3n3n322（注：這里連續(xù)利用放縮法達(dá)到了證題的目的）（）當(dāng) 0 p n p 6 時，直接驗算：顯然 n=2

15、符合條件： 324222 3n=3 時，左邊 =33+4 3+53=216，右邊 =（ 3+3 ） 3=216， n=3 也符合條件 .n=4 時，左邊 = 34445464，而右邊= 4 3373 .注意到：兩個奇數(shù)之和必是奇數(shù)，而任意多個偶數(shù)之和還是偶數(shù)，那么左邊=偶數(shù)，而右邊 =奇數(shù)，故兩邊必不相等，n=4 不符合條件 .n=5 時，左邊 = 3545556575 ，而右邊 = 53.383注意到：任一整數(shù)的5 次冪與其本身，其個位數(shù)相同，容易判斷左邊的個位為5，而右邊的個位是 2，仍為左奇右偶，n=5 也不符合條件 .故當(dāng) 0 p n p 6 時， n=2 或 3.（注：在數(shù)學(xué)高考中，

16、也用到了與整數(shù)論有關(guān)的課外基本知識，這個動向值得注意）當(dāng) n6 時，假定存在 n0 , 使得 3n04n0Ln2n0n 3n0 成立，則有：00n04n0n03n0211n0 3n0 3L3n0n0n0n0n0但是：3423Ln03n0n0 3n0n0n0n0n01L11= 113.n0 3n0n03n0根據(jù)（），右式 p1122n0 111nL1p 12220（ 1）與（ 2）矛盾，故當(dāng)不存在滿足等式3n+4 m+ +(n+2)m=(n+3) n 的正整數(shù) .（注：當(dāng) 0 p n p 6時，只有 2 與 3 兩個數(shù)符合條件，據(jù)此我們已經(jīng)猜想到n 6 時，符合條件的正整數(shù)不存在.而證題的策略是

17、，先假定存在，然后用反證法推翻這個假定.）綜上，適合該等式的所有正整數(shù)只有2與3.考場精彩（ 3）數(shù)學(xué)精英解“三角函數(shù)”題1（北京卷第 1 題） 已知 cos? tan0 ，那么角是A. 第一或第二象限角B. 第二或第三象限角C第三或第四象限角D.第一或第四象限角解答 cos ? tan0 cossinsin0 是第三或第四象限角 .?cos答案為 C.2（山東卷第5 題） 函數(shù) ysin2xcos 2x的最小正周期和最大值分別為63（）A ，1B，2C2 ，1D 2， 2解答：ysin 2x3cos 2x1cos2 x 1sin 2x3cos2 x2222 T=， ymax=1答案為 A.3

18、（江蘇卷第 1 題） 下列函數(shù)中，周期為的是（） y sin x2cos x y sin 2x y y cos4x224解答： 逐一驗證， T4 ，只有 D.2答案為 D.4（浙江卷第2 題）若函數(shù)f ( x)2sin(x) ， xR （其中0 ，）的最小2正周期是，且 f (0)3 ，則（）A C解答：1 ，6B1 ，3222，D2，2632, f ( 0) 2 sin3,.,3答案為 D.5（福建卷第5 題）已知函數(shù)f ( x)sinx(0) 的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象（）A 關(guān)于點，對稱B 關(guān)于直線x對稱0C關(guān)于點，0 對稱D 關(guān)于直線x對稱解答：由題意知=2，所以解析式為f ( x

19、)sin 2 x，3經(jīng)驗證可知它的一個對稱中心為?,?0 .?3答案為 A.6（江蘇卷第 5 題） 函數(shù) f ( x)sin x3cos x(x，0 ) 的單調(diào)遞增區(qū)間是（），55，6660036解答：f ( x)2 sinx3令2k2x32k2(k Z ),得2k6x2k5( kZ ),6令k0,得x566由此可得,0符合題意 .6答案為 D.7（湖北卷第2 題） 將 y 2 cos x6的圖象按向量a=,2平移，則平移后所得34圖象的解析式為A. y2 cosx2B.y2 cosx23434C. y2 cosx2D.y2cosx2331212解答：看向量 a=, 2 的數(shù)據(jù)“符號” ，指令

20、圖象左移和下移，按“同旁相減，異旁相4加”的口訣，立可否定B、 C、 D.答案為 A.8（全國卷第2 題） 函數(shù) ysin x 的一個單調(diào)增區(qū)間是（），3C ，D3，A B，2解法一： 函數(shù) y=|sinx|的一個單調(diào)遞增區(qū)間為0,，又函數(shù) y=|sinx|是以為周期的函數(shù)，2函數(shù) y=|sinx|的單調(diào)遞增區(qū)間為k , k（ k Z ） .2當(dāng) k=1 時，函數(shù) y=|sinx|的一個單調(diào)增區(qū)間為3,.故選 C.2解法二： 作出函數(shù) y=|sinx|的圖象，由圖易知y=|sinx|的一個單調(diào)增區(qū)間為, 3.故選 C.2解法三： 將每個選擇支中區(qū)間的兩個端點值代入函數(shù)表達(dá)式，A 、B 兩個選擇

21、支的端點值相等，而選擇支D 的左端點值大于右端點值，所以根據(jù)單調(diào)遞增的概念判斷，可排除A 、B 、D，故選 C.9.（全國卷第12 題） 函數(shù) f ( x) cos2 x 2cos2x 的一個單調(diào)增區(qū)間是（）2A 2B，C 0，D，3362366解法一 ：fxcos2 x1cos x2cosx1524以下將各選項中的兩個數(shù)據(jù)依次代入估算，只有A 項是遞增的，故選A.解法二： 由 f (x)= -2cosx· sinx+4cos xsin x1sin x(1 2 cos x) 0 ，得222sin x0或 sin x0,0.12 cosx01 2 cos x當(dāng)- <x<時，

22、上面不等式組的解集為,0, .故選 A.33解法三： 令 cosx=t，則 f(t)=cos 2x-cosx-1=t2-t+1.f(t)在 1 ,上遞增，在, 1上遞減，而當(dāng) x, 2時， cosx<1且 t=cosx 遞22332減.由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)一個單調(diào)遞增區(qū)間為2.故選 A.，33考場精彩(4) 數(shù)學(xué)精英解 “圓錐曲線”題1.(2007 年湖北卷第x2y21 （ a>0,b>0）的左準(zhǔn)線為 l,左焦點和右焦7 題) 雙曲線 C1：b2a2點分別為 F1 和 F2；拋物線C2 的準(zhǔn)線為l ，焦點為F2.C1 和 C2 的一個交點為M ，則|F1F2 |M

23、F1 |等于|MF1 |MF2 |A.-1B.111C.D.e,如圖：22解答： 設(shè)雙曲線的離心離為|F1F2 | |MF1 |2ce | MN |2ae=|MN |e|MF1| |MF2 | |MF1|e | MF1 |e? | MF1 | | MF 2|ee(1| MN | ) e e 1 e1|MF1 |e | MN |答案為 A.【說明】 MN 是轉(zhuǎn)換的中介，巧用定義.2.( 湖南卷第 9題 ) 設(shè) F1，F(xiàn)2 分別是橢圓x2y21（ a b0 ）的左、右焦點，若在其右a2b2準(zhǔn)線上存在 P, 使線段 PF1 的中垂線過點F2 ，則橢圓離心率的取值范圍是（）， 2B， 3C2 ，D3

24、，A 02032113xa2c,0, F2 c,0, Pa2, PF1 的中垂線過F2, 則解： 橢圓的右準(zhǔn)線方程為, F1, ycca 22a4 ，F(xiàn)1 F2F2 P, 2ccy2y 23c 22a2cc 2當(dāng) y22120e331. 故選 D.0時， y最少，即： 3e23ee3答案為 D.【說明】充分利用圓錐曲線的性質(zhì)尋找解題的突破口.3.( 全國卷第4 題 )已知雙曲線的離心率為2 ，焦點是 (4，0) ， (4，0) ，則雙曲線方程為（）x2y21B x2y2Cx2y21x2y21A 12121106D 10446解答： c=4， e=2，則 a=2. 焦點在 x 軸上 .答案為 A

25、.【說明】ec ,a 2b 2c2 .a4.( 全國卷第11 題 ) 拋物線 y24x 的焦點為 F ，準(zhǔn)線為 l ，經(jīng)過 F 且斜率為3 的直線與拋物線在 x 軸上方的部分相交于點A ， AK l ，垂足為 K ，則 AKF 的面積是（）A 4B3 3C4 3D 8解答：聯(lián)立y 24xA(3,23) ,|AK |=3-（ -1）=4，y3(x1)S ABC142 343 .2答案為 C.【說明】A 點是突破點，只要求出它，便迎刃而解.5.( 浙江卷第4 題 )要在邊長為16 米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個草坪都能噴灑到水假設(shè)每個噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6 米的圓面， 則需安裝這種噴

26、水龍頭的個數(shù)最少是（） 3 4 5 6解答：每一條邊上至少得2 個，則對稱性知，最少得安裝4 個 .【而答】答案為 B.6.( 浙江卷第9 題 )已知雙曲線x2y21(a0， b0)的左、右焦點分別為F1 ，F(xiàn)2 ，P 是a2b2準(zhǔn)線上一點，且PF1PF2 ， PFgPF24ab，則雙曲線的離心率是（）1 232 3解答： PF1PF2 , PFPF0 .12設(shè) P a 2 , y ,則 ca 2 , yca2, y0 解得 | y |c 4a4,cccc又由 SPF F1PF|PF2ab及 SPF F1F F2| |yab2|1| 2|1| 212122得 12c 4a42, 解得c3 ,e

27、3.2ccaba答案為 B.【說明】用向量解決解析幾何 .7.( 江蘇卷第3 題 ) 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在y 軸上，一條漸近線的方程為x2y0 ，則它的離心率為（） 553 22a , e2解答：漸近線的斜率11b1 225 .2ba答案為 A.ca 2b22【說明】離心率 e1baa2.a8.( 全國卷第12x2y21的左、右焦點。若雙曲線上存在11題) 設(shè) F ，F(xiàn)分別是雙曲線b2a2點 A，使 F 1AF2=90o，且 |AF 1|=3|AF 2|，則雙曲線離心率為5(B)10(C)15(D) 5(A)222F1 AF2 9002AF2222c 代解

28、答：由題設(shè)知AF1F1 F2 ，將|AF1 |=3|AF 2|以及 F1F2入后解得 AF3 10 c, AF210 c ，155又由雙曲線定義知3 10 c10 c 2aec1055a2答案為 B.【說明】本題除了將題設(shè)部分看錯以外，不會出現(xiàn)選錯情況， 比如將條件 |AF1 |=3|AF 2|看錯為|AF 1|=2|AF 2|，就可能選錯為 A 等 .9.( 全國卷第 12 題 ) 設(shè) F 為拋物線y2=4x 的焦點， A 、 B、 C 為該拋物線上三點，若FAFBFC =0，則 |FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B) 6(C)4(D) 3解答： 欲求 |FA|+|FB|+|FC| ，

29、根據(jù)拋物線的定義，只需求A 、 B、 C 三點的橫坐標(biāo)之和即可。設(shè)拋物線 y2=4x 上的三點 A 、B 、 C 的坐標(biāo)分別為A( x1, y1 ) 、 B(x2 , y2 ) 、 A( x3 , y3 )由于拋物線 y2=4x 的焦點坐標(biāo)為uuur(xuuur( x1, y)F (1,0) ，所以 FA1, y ) ， FB1122uuur(x1, y) ，又由 FAFBFC =0 得， x1x2x3 3FC33進而得 |FA|+|FB |+|FC|= ( x1 1)( x21)(x3 1)336 ，故選 B.答案為 B.【說明】若把拋物線的焦點坐標(biāo)錯求為F (2,0)（這種錯誤比較容易出現(xiàn)） ，則選錯為 A ；uuur uuur uuur0 ，則選錯為 D 。若將向量