高考數(shù)學(xué)常用結(jié)論

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載高考數(shù)學(xué)常用結(jié)論1. 德摩根公式 CU ( AB)CU ACU B;CU (A B)CU ACUB.2ABAABBAB CUBCUAACUBCUABR3. 若 = a1 ,a2 , a3an ,則的子集有 2n 個(gè), 真子集有 ( 2n 1)個(gè), 非空真子集有 ( 2n 2) 個(gè)4. 二次函數(shù)的解析式的三種形式一般式 f (x)ax2bxc(a0); 頂點(diǎn)式f (x) a( x h)2k( a 0); 零點(diǎn)式f ( x)a( xx1 )( xx2 )(a 0).三次函數(shù)的解析式的三種形式一般式f ( x)ax3bx2cxd (a0)零點(diǎn)式 f ( x)a( xx1 )( x

2、 x2 )( x x3 )(a0)5. 設(shè) x1 x2a, b , x1x2 那么( x1x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )0f (x1 )f ( x2 )0在a,bx1x2上是增函數(shù)；( x1x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )0f (x1 )f ( x2 )0在a,bf ( x)x1x2上是減函數(shù) .設(shè)函數(shù)6. 函數(shù)函數(shù)yf ( x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f ( x)0 ，則 f ( x) 為增函數(shù)；如果f ( x)0 ，則 f ( x) 為減函數(shù) .y f ( x) 的圖象的對(duì)稱性 :yf ( x) 的圖象關(guān)于直線xa 對(duì)稱f (ax)f (ax)f (2 ax)f

3、( x)函數(shù) y f ( x) 的圖象關(guān)于直abf (a x) f (b x) f (a b x) f (x) .x對(duì)稱2函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) ( a,0) 對(duì)稱函數(shù) yf ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (a, b) 對(duì)稱f (x)f (2a x)f (x)2bf (2ax)7. 兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性 :函數(shù) yf ( x) 與函數(shù) y f (x) 的圖象關(guān)于直線 x0 ( 即 y 軸 ) 對(duì)稱 .函數(shù) yf (mx a) 與函數(shù) yf (b mx) 的圖象關(guān)于直線abx對(duì)稱 .2m特殊地 :函數(shù)函數(shù)函數(shù)yf ( x a) 與函數(shù) yf (a x) 的圖象關(guān)于直線xa 對(duì)稱yf ( x

4、) 的圖象關(guān)于直線 xa 對(duì)稱的解析式為yf (2ax)yf ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) ( a,0) 對(duì)稱的解析式為yf (2 ax)yf ( x) 和 yf 1 ( x) 的圖象關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱 .mn am （ a8. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a n0, m, nN，且 n1 ）.m1a n0, m, n N，且 n 1 ）.m （ aa nab9. logaNbN (a0, a1, N0).log a Mlog a Nlog a MN( a0.a1,M0, N0)log a Mlog a Nlog a M( a0.a1,M0, N0)N10. 對(duì)數(shù)的換底公式log m Nlog a Nlog m

5、a對(duì)數(shù)恒等式 alog a NN （ a 0, a 1nn. 推論log am blog a b .）11. as1 ,n1 的前 n 項(xiàng)的和為 sn a1 a2an ).( 數(shù)列 annsnsn 1, n2優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載12. 等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式 ana1( n 1)ddn a1d ( nN*)；13. 等差數(shù)列an的變通項(xiàng)公式 anam(nm) d對(duì)于等差數(shù)列an ，若 nmpq ，(m,n,p,q 為正整數(shù) )則 anama paq 。14.若數(shù)列 an 是等差數(shù)列， Sn 是其前 n 項(xiàng)的和， kN * ，那么 Sk ， S2 kSk ， S3kS2k 成等差數(shù)列。如下圖所示

6、：S3ka1a2a3akak 1a2 ka2k 1a3kSkS2 kSkS3 kS2 k其前 n 項(xiàng)和公式sn(a1an )nan(n1) dd n2(a1 d)n .n21221215.數(shù)列 an是等差數(shù)列anknb ,數(shù)列an 是等差數(shù)列Sn = An 2Bn16設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列， S奇 是奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶 是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，Sn 是前 n 項(xiàng)的和，則有如下性質(zhì)：1前 n 項(xiàng)的和 SnS奇S偶2當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， S偶S奇n d ，其中 d 為公差；2n1n1S奇n 1SnS奇S3當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，則 S奇S偶a中 ， S奇a中 ， S偶a中 ，偶n （其中 a中是等n 1S奇S偶S奇S

7、偶22S偶差數(shù)列的中間一項(xiàng)） 。17若等差數(shù)列an 的前 2n 1項(xiàng)的和為 S2 n1 ，等差數(shù)列bn的前 2n 1 項(xiàng)的和為 S2n'1，則 anS2n1 。bnS2'n118. 等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式 ana1qn1a1qn (nN*) ；q等比數(shù)列 an 的變通項(xiàng)公式 a nam qn ma (1q n )1aaq其前 n 項(xiàng)的和公式 sn11, q1n,q 1q或 sn1 q.na1, q 1na1 ,q 119.對(duì)于等比數(shù)列an，若 nmuv (n,m,u,v 為正整數(shù) )，則 an amauava1 an也就是： a1ana2a n 1a3an 2。如圖所示： a1

8、 , a2 , a3 ,an2 , an 1 ,ana2 an 120. 數(shù)列 an是等比數(shù)列，Sn 是其前 n 項(xiàng)的和， kN*，那么 Sk ， S2 kSk ， S3kS2 k 成等比數(shù)列。如下圖所示：S3ka1a2a3akak 1a2 ka2k 1a3kSkS2 kSkS3 kS2 k21.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2cos21 ， tan= sin， tancot1.1 tan21coscos222. 正弦、余弦的誘導(dǎo)公式nsin( n)( 1)2 sin, n為偶數(shù)n 12( 1)2co s, n為奇數(shù)nco s( n)( 1) 2 cos, n為偶數(shù)n12( 1)2sin, n

9、為奇數(shù)優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載cos()cos ,sin()sin即 : 奇變偶不變 , 符號(hào)看象限 , 如22sin()sin ,cos()cos23. 和角與差角公式sin()sincoscossin ; cos()coscossinsin;tan()tantan. sin()sin()sin2sin 2( 平方正弦公式 );1tantancos()cos()cos2sin 2.a sinb cos=a2b2 sin() (輔助角所在象限由點(diǎn) (a, b) 的象限決定 ,tanb).24. 二倍角公式sin 2sincos .acos2cos2sin 22cos211 2sin 2. （升冪公

10、式）cos21cos2,sin 21cos2（降冪公式） tan 212 tan.22tan2tan225. 萬能公式 : sin 22tan,cos 211tan21tan226. 半角公式 : tansin1cos21cossin27. 三函數(shù)的周期公式函數(shù) yAsin(x) ，x R 及函數(shù) yAcos(x) ，x R(A, ,為常數(shù)，且 A 0， 0) 的周期 T2；若未說明大于0,則T2|函數(shù)ytan(x)，xk,kZ (A,A 00)的周期T.為常數(shù)，且 ， 228.ysin x 的單調(diào)遞增區(qū)間為2k, 2k2k Z 單調(diào)遞減區(qū)間為22k, 2k3kZ ，對(duì)稱軸為xk(k Z )

11、, 對(duì)稱中心為k ,0( kZ )22229.ycosx 的單調(diào)遞增區(qū)間為2k,2 kkZ 單調(diào)遞減區(qū)間為2k,2 kkZ ，對(duì)稱軸為 x k(kZ ) , 對(duì)稱中心為 k2,0(kZ )30.ytan x 的單調(diào)遞增區(qū)間為k2, k2kZ ，對(duì)稱中心為 ( k,0)( kZ )2a31.正弦定理sin A32.余弦定理 a2b2bc2Rsin Bsin Cc22bc cosA ; b2c2a22ca cos B ; c2a2b22ab cosC .33.面積定理（ 1） S1 aha1 bhb1 chc （ ha、 hb、 hc 分別表示222（ 2） S1 ab sin C1 bc sin

12、 A1 ca sin B .222a、 b、 c 邊上的高） .(3) S OAB1(|OA| |OB|)2(OA OB)2=1 OA OB tan ( 為 OA, OB 的夾角 )2234. 三角形內(nèi)角和定理在 ABC中，有優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載A B CCCA B(A B)22C 2 2(A B).2235. 平面兩點(diǎn)間的距離公式dA,B = | AB |AB AB( x2x1 )2( y2y1 )2 (A ( x1 , y1 ) ， B (x2 , y2 ) ).36. 向量的平行與垂直 設(shè) a= (x1, y1 ) , b= ( x2 , y2 ) ，且 b 0，則abb= ax 1 y

13、2x2 y10 .ab(a0)a·b=0x1 x2y1 y20.37.線段的定比分公式設(shè) P (x , y ) ，P ( x , y )，P(x, y)是線段 PP 的分點(diǎn) ,是實(shí)數(shù)，且 PPPP ，則1 1 12221 212xx1x2OP1OP211OPtOP1(1t )OP2OP） .y1y21（ t1y138.若 OAxOByOB 則 A,B,C 共線的充要條件是x+y=139.三角形的重心坐標(biāo)公式 ABC 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x 1,y 1 ) 、 B(x 2 ,y2 ) 、 C(x3 ,y 3 ) , 則 ABC 的重心的坐標(biāo)是G ( x1x2x 3 , y 1 y

14、2 y 3).3340.點(diǎn)的平移公式x'xhxx'hOP 'OPPP'( 圖形 F 上的任意一點(diǎn) P(x ，y) 在平移后圖形 F ' 上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)y'ykyy'k為 P' ( x' , y' ) ，且 PP' 的坐標(biāo)為 (h, k) ).41. 常用不等式：（1） a,bRa2b22ab ( 當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)取“ =”號(hào) ) （2） a,bRabab (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“ ”號(hào)2a b=)（3） a3b3c33abc(a0,b0, c0).（4） ababab 注意等號(hào)成立的條件(5)1ababa2b2(a0,

15、 b0)1122a b42. 極值定理 已知 x, y 都是正數(shù)，則有（1）如果積 xy 是定值 p ，那么當(dāng) xy 時(shí)和 xy 有最小值 2p ；（2）如果和 xy 是定值 s ，那么當(dāng) xy 時(shí)積 xy 有最大值1 s2.443. 一元二次不等式 ax2bxc 0(或0) (a0,b24ac 0) ，如果 a 與 ax 2bxc 同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果 a 與 ax2bxc 異號(hào)，則其解集在兩根之間. 簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.x1x x2( x x1 )( x x2 ) 0( x1x2 ) ；x x1 ,或 x x2( x x1 )( x x2 ) 0( x1x2 )

16、.44. 含有絕對(duì)值的不等式當(dāng) a> 0時(shí)，有xax22axa .ax ax2a2x a 或 xa .優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載f ( x)045. 無理不等式（ 1） f ( x)g ( x)g (x)0f ( x)g( x)（ 2）（ 3）f ( x)0或 f ( x)0f ( x)g( x)g ( x)0.f ( x) g( x) 2g( x)0f ( x)0f ( x)g( x)g (x)0.f ( x) g( x)246.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式(1) 當(dāng) a1 時(shí),f ( x)0a f ( x)ag ( x)f ( x)g( x) ; log a f ( x) log a g (x)

17、g ( x)0 .f ( x)g( x)(2)當(dāng) 0a1時(shí),a f ( x)ag ( x)f ( x)g( x) ; log a f (x)log a g ( x)f ( x)0g ( x)0f ( x)g( x)y247.斜率公式kx248.直線方程的五種形式（ 1）點(diǎn)斜式 y y1（ 2）斜截式 y kxy1 （ P1( x1, y1) 、 P2 ( x2 , y2 ) ）直線的方向向量v=(a,b),則直線的斜率為 k = b ( a 0)x1a:k ( xx1 )( 直線 l 過點(diǎn) P1( x1 , y1) ，且斜率為 k )b (b為直線 l 在 y 軸上的截距 ).（ 3）兩點(diǎn)式y(tǒng)

18、y1xx1 ( y1 y2 )( P1( x1 , y1) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 ).y2y1x2x1（ 4）截距式（ 5）一般式xy1(a, b分別為 x軸 y軸上的截距 , 且a 0,b 0)abAxByC0 (其中 A 、 B 不同時(shí)為 0).49.兩條直線的平行和垂直（ 1）若 l1 : yk1 xb1 ， l2 : yk2 xb2 l1 l2k1k2 , b1b2 ; l1l2k1k21.(2)若 l1 : A1xB1 yC10 , l2 : A2 xB 2 yC2 0, l1 l2A1B2A2 B10且AC1 2A2C10 ； l1l2A1 A2B1B2

19、0 ；50.夾角公式tan| k2k1 | .( l1 : yk1 xb1 ， l2 : yk2 xb2 , k1k21)1 k2 k1tanA1 B2A2 B1 ( l1 : A1 xB1 yC10 , l 2 : A2 xB 2 yC 20 , A1A2B1B2 0 ).A1 A2B1B2直線 l1l 2 時(shí)，直線 l1 與 l2 的夾角是.2直線 l1 到 l 2 的角是 tank2k1 ( l1: yk1xb1 ， l 2 : yk2 x b2 , k1 k21)1k2k151.點(diǎn)到直線的距離| Ax0By0C |(點(diǎn)P(x0 , y0 ) ,直線 l： AxByC0 ).dA2B2優(yōu)

20、秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載52兩條平行線的間距離| C2C1 |： Ax By C10, l2 Ax By C20,C1 C2) ).d( 直線 l 1A2B253. 圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2( y b)2r（2）圓的一般方程x2y2Dx EyFxar cos（3）圓的參數(shù)方程b.yr sin2.0 ( D2E24F 0).（4）圓的直徑式方程( xx1 )( xx2 )( yy1 )( yy2 )0( 圓的直徑的端點(diǎn)是A(x1, y1) 、 B(x2 , y2 ) ).54. 圓中有關(guān)重要結(jié)論 :(1) 若 P( x0 ,y0 ) 是圓 x2y2r 2 上的點(diǎn) ,則過點(diǎn) P( x0

21、,y0 ) 的切線方程為 xx0yy0r 2(2) 若 P( x0 ,y0 ) 是圓 ( xa) 2( yb) 2r 2上的點(diǎn) , 則過點(diǎn) P( x0 , y0 ) 的切線方程為 ( x0a)( x a)( y0b)( y b) r 2(3)若 P( x0 ,y0 ) 是圓 x2y2r 2 外一點(diǎn) , 由 P( x0 ,y0 ) 向圓引兩條切線 ,切點(diǎn)分別為 A,B則直線 AB的方程為 xx0yy0r 2(4)若 P( x0 , y0 ) 是圓 ( xa)2( yb)2r 2 外一點(diǎn) ,由 P( x0 , y0 ) 向圓引兩條切線 ,切點(diǎn)分別為A,B 則直線 AB 的方程為( x0a)( x

22、a) ( y0b)( y b) r 255. 橢圓 x2y2xacos1(ab0)的參數(shù)方程是.ybsina2b256. 橢圓 x2y21(ab0)焦半徑公式PF1e( xa 2)， PF2e( a 2x) .a2b2cc56. 橢圓 x2y21(ab0)的準(zhǔn)線方程為xa2, 橢圓 x2y21(ab0) 的準(zhǔn)線方程為ya2a2b2cb2a2cx2y21(ab0) 的通徑 ( 過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦2b257. 橢圓2b2) 長(zhǎng)為aa58.P 是橢圓 x2y21(ab0) 上一點(diǎn) ,F1 ,F 2 是它的兩個(gè)焦點(diǎn) , F1 P F 2 =a2b2則PF1 F 2的面積 = b2 tan259.

23、 雙曲線 x2y2a21(a0, b0)的準(zhǔn)線方程為 xa2b2c雙曲線 x2y21(a0, b0) 的準(zhǔn)線方程為ya2b2a2c60.雙曲線 x2y21(a0, b0) 的漸近線方程為yb xa2b2a雙曲線 x2y21(a0, b0) 的的漸近線方程為ya xb2a2b61.P 是雙曲線 x2y21(a0, b0) 上一點(diǎn) ,F 1,F 2是它的兩個(gè)焦點(diǎn) , F 1 P F 2 =a2b2則PF1 F 2的面積 = b2 cot222 px 上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為 P ( yy262. 拋物線 y 2, y ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt )或 P ( x , y ) ，其中2px .2 p

24、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載63. P(x0 ,y0 ) 是拋物線 y 22 px 上的一點(diǎn) ,F 是它的焦點(diǎn) , 則 |PF|= x0+p2 p264. 拋物線 y 22 px 的焦點(diǎn)弦長(zhǎng) l, 其中 是焦點(diǎn)弦與 x 軸的夾角sin 265. 直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式AB( x1x2 ) 2( y1 y2 ) 2或AB| x1x2 |1 k 2a1 k2（弦端點(diǎn) A (x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ，由方程0, k 為直線的斜率） .ykxb若 （弦端 點(diǎn) A ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由方 程F(x , y )消去 x 得 到 ay 20AB| y1y

25、2 |1111k2ak2y kxb2bx c0 ，F(xiàn)(x , y)消去 y 得到 ax0byc 0 ，0 , k 為 直線的斜 率） . 則66.圓錐曲線 F (x, y)0 關(guān)于點(diǎn) P(x0 , y0 ) 成中心對(duì)稱的曲線是F (2 x0 -x, 2y0 y) 0 .67.共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量 a、 b( b 0 )， ab存在實(shí)數(shù) 使 a=b68.對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn) A、B、 C，滿足 OPxOAyOB zOC ，則四點(diǎn) P、 A、 B、C是共面xyz169. 空間兩個(gè)向量的夾角公式cos a， b=a1b1a2b2a3b3（a (a1 , a2 , a3 ) ， b

26、(b1,b2, b3 ) ）.a22a32b12b22b32a1270.直線 AB 與平面所成角arc sin AB m( m 為平面的法向量 ).| AB | m |71.二面角lm nm n（ m ， n 為平面的法向量） .的平面角arc cos或arc cos，| m | n | m | n |72. 設(shè) AC是 內(nèi)的任一條直線， 且 BC AC，垂足為 C，又設(shè) AO與 AB 所成的角為1 ，AB 與 AC所成的角為2 ，AO與 AC所成的角為則coscos1 cos2 .73. 若夾在平面角為的二 面角間 的 線段與 二面角 的兩個(gè) 半平面 所成的 角是 1 , 2 , 與二 面角

27、的 棱所 成的 角是 ，則 有sin 2sin 2sin21sin 22 2sin 1 sin2 cos ;| 12 |180(12) (當(dāng)且僅當(dāng)90 時(shí)等號(hào)成立 ).74. 空間兩點(diǎn)間的距離公式 若 A ( x1, y1 , z1) ， B (x2 , y2 , z2 ) ，則dA, B = | AB |AB AB( x2x1 )2( y2y1 )2(z2 z1 )2.75. 點(diǎn) Q 到直線 l 距離 h1(| a | b |)2(a b)2( 點(diǎn) P 在直線 l 上，直線 l 的方向向量 a= PA ，向量 b= PQ ).| a |76.異面直線間的距離d|CDn |( l1 ,l 2

28、是兩異面直線，其公垂向量為n ， C、D 分別是 l1, l2 上任一點(diǎn)， d 為 l1 ,l2 間的距離 ).| n |77.點(diǎn) B 到平面的距離| ABn |n 為平面的法向量， AB 是經(jīng)過面的一條斜線， A）.d（| n |78. l 2l12l22l32cos21cos22cos231（長(zhǎng)度為 l 的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為l1、 l 2、 l3 ，夾角分別為 1、 2、 3 ）（立幾中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例） .79. 面積射影定理 SS'( 平面多邊形及其射影的面積分別是S、 S'，它們所在平面所成銳二面角的為).cos優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載80.球的半徑是 R，則其體積是 V4R3, 其表面積是 S4 R21 Sh,V柱381.V錐Sh,382.分類計(jì)數(shù)原理（ 加法原理） Nm1m2mn .83.分步計(jì)數(shù)原理（ 乘法原理 ） Nm1m2mn .84.m= n(n1)(nm1) =n！*n )排列數(shù)公式An.( n ， m N，且 m(nm)！85.排列恒等式（ 1 ） Anm(nm1)Anm 1; （ 2） AmnnmAm; （ 3） AnmnAnm11;（ 4） nAnnAnn11Ann ; （ 5 ）Anm 1AnmmAnm 1 .nn186.mAnmn(n1)(nm1