第九章1二重積分的概念和性質79589

1、二重積分的概念和性質二重積分的概念和性質 在一元函數積分學中，我們已經知道，定積在一元函數積分學中，我們已經知道，定積分是定義在某一區(qū)間上的一元函數的某種特定形分是定義在某一區(qū)間上的一元函數的某種特定形式的和式的極限，由于科學技術和生產實踐的發(fā)式的和式的極限，由于科學技術和生產實踐的發(fā)展，需要計算空間形體的體積、曲面的面積、空展，需要計算空間形體的體積、曲面的面積、空間物體的質量、重心、轉動慣量等，定積分已經間物體的質量、重心、轉動慣量等，定積分已經不能解決這類問題，另一方面，從數學邏輯思維不能解決這類問題，另一方面，從數學邏輯思維的規(guī)律出發(fā)，必然會考慮定積分概念的推廣，從的規(guī)律出發(fā)，必然會考

2、慮定積分概念的推廣，從而提出了多元函數的積分學問題。而提出了多元函數的積分學問題。 當人們把定積分解決問題的基本思想當人們把定積分解決問題的基本思想“分分割、近似代替、求和、取極限割、近似代替、求和、取極限”用于解決這類問用于解決這類問題時發(fā)現是完全可行的。把解決的基本方法抽象題時發(fā)現是完全可行的。把解決的基本方法抽象概括出來，就得到多元函數積分學。概括出來，就得到多元函數積分學。 具體地說就是推廣到：定義在平面區(qū)域上的二元具體地說就是推廣到：定義在平面區(qū)域上的二元函數、定義在空間區(qū)域上的三元函數、定義在一段函數、定義在空間區(qū)域上的三元函數、定義在一段平面曲線弧上的二元函數、定義在空間一段曲線

3、弧平面曲線弧上的二元函數、定義在空間一段曲線弧上的三元函數、定義在空間曲面上的三元函數，從上的三元函數、定義在空間曲面上的三元函數，從而得到二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。而得到二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。這就是多元函數積分學的內容。這就是多元函數積分學的內容。本章將討論重積分，包括二重積分、三重積分的本章將討論重積分，包括二重積分、三重積分的概念、性質、計算和應用。概念、性質、計算和應用。重點重點：重積分的計算方法，交換累次積分次序。：重積分的計算方法，交換累次積分次序。難點難點：選擇坐標系，確定積分次序，定積分限。：選擇坐標系，確定積分次序，定積分限。基本要求基本要求理

4、解重積分概念，了解其基本性質理解重積分概念，了解其基本性質熟練掌握重積分的計算方法熟練掌握重積分的計算方法掌握累次積分的換序法掌握累次積分的換序法掌握各種坐標系及坐標系下的面積元、體積元掌握各種坐標系及坐標系下的面積元、體積元理解重積分的實際背景，能用重積分解決立體體理解重積分的實際背景，能用重積分解決立體體積、曲面面積、重心、轉動慣量等實際問題。積、曲面面積、重心、轉動慣量等實際問題。一、問題的提出一、問題的提出曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積柱體體積柱體體積=底面積底面積高高特點特點：平頂：平頂.),(yxfz d柱體體積柱體體積=？特點特點：曲頂：曲頂. 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積

5、采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示步驟如下：步驟如下：用若干個小平用若干個小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyod),(yxfz i),(ii先分割曲頂柱體的底先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，并取典型小區(qū)域，.),(lim10iiniifv 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積求平面薄片的質量求平面薄片的質量 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域d，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在d上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的質

6、質量量為為多多少少？將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質量之和所有小塊質量之和近似等于薄片總質量近似等于薄片總質量xyo),(iii.),(lim10iiniim 二、二重積分的概念二、二重積分的概念定義定義 設設),(yxf是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域d上的有界函上的有界函數，將閉區(qū)域數，將閉區(qū)域d任意分成任意分成n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i個小閉區(qū)域，個小閉區(qū)域，也表 示它 的 面積 ， 在每 個也表 示它 的 面積 ， 在每 個i 上 任取 一點上 任取 一點),

7、(ii ，作乘積作乘積 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 d d 上的上的二重積分二重積分，記為記為 ddyxf ),(，即即 ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .對二重積分定義的說明：對二重積分定義的說明：(1) 在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的任意的.(2)當當),(yxf在閉區(qū)域上連續(xù)時，

8、定義中和式在閉區(qū)域上連續(xù)時，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在的極限必存在，即二重積分必存在.二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義當被積函數大于零時，二重積分是柱體的體積當被積函數大于零時，二重積分是柱體的體積當被積函數小于零時，二重積分是柱體的體積的當被積函數小于零時，二重積分是柱體的體積的負值負值由二重積分的定義可知由二重積分的定義可知若二重積分若二重積分 niiiidofdyxf1),(),(lim 存在存在則其值與區(qū)域的分法和小區(qū)域上點的取法無關，則其值與區(qū)域的分法和小區(qū)域上點的取法無關，故可采用一種便于計算的劃分方式故可采用一種便于計算的劃分方式 在直角坐標系下，用平行于坐標軸

9、的直線族把在直角坐標系下，用平行于坐標軸的直線族把d分成一些小區(qū)域，這些小區(qū)域中除去靠分成一些小區(qū)域，這些小區(qū)域中除去靠d的邊界的邊界的一些不規(guī)則小區(qū)域外，絕大部分都是小矩形，的一些不規(guī)則小區(qū)域外，絕大部分都是小矩形，緊靠緊靠d的邊界的小區(qū)域的面積的邊界的小區(qū)域的面積 iit其中其中l(wèi)為為d的圍長的圍長ljj )0( , 0),( mlmfjjjjjj則面積元素為則面積元素為dxdyd xyo故二重積分可寫為故二重積分可寫為 dddxdyyxfdyxf),(),(三、二重積分的性質三、二重積分的性質（二重積分與定積分有類似的性質）（二重積分與定積分有類似的性質）性質性質.),(),( dddy

10、xfkdyxkf 性質性質 ddyxgyxf ),(),(.),(),( dddyxgdyxf 性質性質.),(),(),(21 ddddyxfdyxfdyxf 對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性)(21ddd 性質性質 若若 為為d的面積，的面積，.1 dddd 性質性質若在若在d上上),(),(yxgyxf 則有則有.),(),( dddyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( dddyxfdyxf 性質性質 設設m、m分分別別是是),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 d 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 為為 d 的的面面積積，則則 dmdyxfm),(（二重積分估值不等式）（二重積分估值

11、不等式）性質性質 設設函函數數),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域d上上連連續(xù)續(xù)， 為為d的的面面積積，則則在在 d 上上至至少少存存在在一一點點),( 使使得得 ),(),(fdyxfd（二重積分中值定理）（二重積分中值定理）例例 1 1 不不作作計計算算，估估計計 deidyx )(22的的值值， 其其中中d是是橢橢圓圓閉閉區(qū)區(qū)域域： 12222 byax )0(ab .解解區(qū)區(qū)域域 d的的面面積積 , ab在在d上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性質質 6 知知,222)(adyxede dedyx)(22 ab.2aeab 例例 2 2 估估計計 dxyyxdi16222

12、的的值值，其其中中 d： 20, 10 yx.解解,16)(1),(2 yxyxf區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,在在d上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxm),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 i. 5 . 04 . 0 i例例 3 3 判斷判斷 122)ln(yxrdxdyyx的符號的符號.解解當當1 yxr時時,故故 0)ln(22 yx;, 1)(0222 yxyx又又當當 1 yx時時, 0)ln(22 yx于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.例例 4 4 比較積分比較積分 ddyx )ln(與與 ddyx 2)ln(的大小的大小

13、, 其中其中 d 是三角形閉區(qū)域是三角形閉區(qū)域, 三頂點各為三頂點各為(1,0),(1,1), (2,0).解解三三角角形形斜斜邊邊方方程程2 yx在在 d 內內有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,oxy121d于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 ddyx )ln( ddyx 2)ln(. 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動畫演示的方法，如下動畫演示四、小結四、小結二重積分的定義二重積分的定義（和式的極限）（和式的極限）二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積）二重積分的性質二重積

14、分的性質 （與定積分類似）（與定積分類似）思考題思考題 將二重積分定義與定積分定義進行比較，將二重積分定義與定積分定義進行比較，找出它們的相同之處與不同之處找出它們的相同之處與不同之處.思考題解答思考題解答 定積分與二重積分都表示某個和式的極限定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數及積分區(qū)域有關不值，且此值只與被積函數及積分區(qū)域有關不同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數為同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數為定義在區(qū)間上的一元函數，而二重積分的積分定義在區(qū)間上的一元函數，而二重積分的積分區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數為定義在平面區(qū)域區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數為定義在平面區(qū)域上的

15、二元函數上的二元函數練練 習習 題題一、一、填空題填空題: : 1 1、 當函數當函數),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域d上上_時時, ,則其在則其在d上的二重積分必定存在上的二重積分必定存在 . . 2 2、 二 重 積 分二 重 積 分 ddyxf ),(的 幾 何 意 義 是的 幾 何 意 義 是_._. 3 3、 若若),(yxf在 有 界 閉 區(qū) 域在 有 界 閉 區(qū) 域d上 可 積上 可 積 , , 且且21ddd , ,當當0),( yxf時時, , 則則 1),(ddyxf _ 2),(ddyxf ; ; 當當0),( yxf時時, , 則則 1),(ddyxf _ 2),(ddyxf . . 4 4、 ddyx )sin(22_ , ,其中其中 是圓域是圓域 2224 yx的面積的面積 , , 16. .二二、利利用用二二重重積積分分定定義義證證明明: : dddyxfkdyxkf ),(),(. .( (其其中中k為為常常數數) ) 三三、比比較較下下列列積積分分的的大大小小: : 1 1、 dddyxdyx 322)()(與與, ,其其中中d是是由由圓圓 2) 1()2(22 yx所所圍圍成成 . . 2 2、 dyxdyxd2)ln()ln(與與, ,其其中中d是是矩矩形形 閉閉區(qū)