《高等數(shù)學教學》2011 第三節(jié)格林公式及其應(yīng) 用ppt課件

1、第第1010章、曲線積分與曲面積分章、曲線積分與曲面積分第三節(jié)、第三節(jié)、 格林公式及其運用格林公式及其運用一、格林公式一、格林公式定義、定義、.,否否則則稱稱為為復復連連通通區(qū)區(qū)域域為為平平面面單單連連通通區(qū)區(qū)域域則則稱稱都都屬屬于于分分內(nèi)內(nèi)任任一一閉閉曲曲線線所所圍圍的的部部如如果果是是平平面面區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)DDDD定義、定義、.,的的正正向向稱稱為為曲曲線線方方向向則則這這樣樣的的行行走走總總在在觀觀察察者者的的左左側(cè)側(cè)區(qū)區(qū)域域方方向向行行走走時時的的某某個個當當觀觀察察者者沿沿所所圍圍由由曲曲線線設(shè)設(shè)平平面面區(qū)區(qū)域域LDLLD.),(.),().2();(,).1(dxdyyPdxyxPD

2、yxPDLxDDL 則則上上偏偏導導數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)如如圖圖所所示示的的正正向向邊邊界界是是型型區(qū)區(qū)域域是是設(shè)設(shè)證明證明dxyxPdxyxPdxyxPdxyxPdxyxPEACEBCABL ),(),(),(),(),(dxxxPba)(,(1 )()(210),(bbdyybP abdxxxP)(,(2 )()(120),(aadyyaP dxxxPba)(,(1 badxxxP)(,(2 .)(,()(,(21dxxxPxxPba 、引理引理1 baLdxxxPxxPdxyxP.)(,()(,(),(21 baLdxxxPxxPdxyxP.)(,()(,(),(21 )()(21x

3、xbaDdyyPdxdxdyyP baxxdxyxP),()()(21 badxxxPxxP)(,()(,(12 badxxxPxxP)(,()(,(21 dxyxPL ),(.),(dxdyyPdxyxPDL .,:)1(1則則結(jié)結(jié)論論依依然然正正確確的的正正向向邊邊界界是是是是有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域可可推推廣廣為為的的條條件件實實際際上上引引理理DLD.),(dxdyyPdxyxPDL :說明如下說明如下:).1(是是單單連連通通的的情情況況假假設(shè)設(shè)D:).2(是復連通的情況是復連通的情況假設(shè)假設(shè)D.dxdyyPD .dxdyyPD .),(dxdyyPdxyxPDL .),(,:dxdyy

4、PdxyxPDLDDL 則則的的正正向向邊邊界界是是是是有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)即即dxdyxQdyyxQDyxQDLyDLD ),(.),().2()( ;,).1(則則上上偏偏導導數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)如如圖圖所所示示的的正正向向邊邊界界是是型型區(qū)區(qū)域域是是設(shè)設(shè).,:)1(2正正確確的的正正向向邊邊界界則則結(jié)結(jié)論論依依然然是是是是有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域可可推推廣廣為為的的條條件件實實際際上上引引理理DLD.1的的證證明明類類似似證證明明與與引引理理、引引理理2格林公式：格林公式：.)(),(),(.),(),().2(;,).1(dxdyyPxQdyyxQdxyxPDyxQyxPDLDDL

5、 則則上有連續(xù)的偏導數(shù)上有連續(xù)的偏導數(shù)在在函數(shù)函數(shù)曲線曲線的分段光滑的正向邊界的分段光滑的正向邊界是是是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域設(shè)設(shè)、格格林林公公式式定定理理)(證明證明dxdyyPdxyxPDL ),(1由由引引理理dxdyxQdyyxQDL ),(2由由引引理理dxdyyPxQdyyxQdxyxPDL ),(),(用第二型曲線積分表示區(qū)域的面積公式：用第二型曲線積分表示區(qū)域的面積公式： LLLydxxdyDAxdyDAydxDADADDLD21)().3()().2()().1(),(,則則的的面面積積為為的的正正向向邊邊界界曲曲線線是是是是有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)證明證明0),(;),(:

6、).1( yxQyyxP令令 LLdyyxQdxyxPydx),(),(dxdyyPxQD )(:由由格格林林公公式式).(DAdxdyD xyxQyxP ),(0),(:).2(令令 LLdyyxQdxyxPxdy),(),(dxdyyPxQD )(:由由格格林林公公式式).(DAdxdyD )3()2(),1(.)(21ydxxdyDAL 、例例1.)0()(2軸軸所所圍圍面面積積和和用用曲曲線線積積分分求求拋拋物物線線Oxaaxyx .; 0, 0:2axxaxxy 令令attyatxtyx22, 設(shè)設(shè)0;:221 aattyatxLayxxL 0;0:2解解 2121)(LLydxxd

7、yDA ydxxdyydxxdyLL212121 dxxdtatattattataa022220)00(21)()(21dtatattatata2)()21(21220 dttadtataa 020221)(21.66203aata .,).2(;).1(,22按按逆逆時時針針方方向向包包含含原原點點不不包包含含原原點點向向曲曲線線為為不不經(jīng)經(jīng)過過原原點點的的封封閉閉有有其其中中計計算算LLLyxydxxdyL 、例例2解解.;:2222yxxQyxyP 令令 LLdyyxQdxyxPyxydxxdy),(),(22dxdyyPxQD )(由由格格林林公公式式)(是是逆逆時時針針方方向向假假設(shè)

8、設(shè)L;)()(2222222yxxyyxxxxQ .)()(2222222yxxyyxyyyP . 00)(22 dxdydxdyyPxQyxydxxdyDDL,是是順順時時針針方方向向時時當當L. 00)(22 dxdydxdyyPxQyxydxxdyDDL;).1(不不包包含含原原點點L),(1142011星星期期一一第第八八周周日日月月年年按按逆逆時時針針方方向向包包含含原原點點 ,).2(L cLcLdyyxQdxyxPyxydxxdyyxydxxdy),(),(2222dxdyyPxQD )(由由格格林林公公式式. 00 dxdyD02sincos: tytxc令令 cLyxydxx

9、dyyxydxxdy2222 dttttttt0222)sin()cos()cos(sin)sin(cos dttt 2022222sincos.220 dt.)1 , 1()1 , 1(11,)cos()12(2一一段段到到上上從從曲曲線線是是其其中中計計算算BAxyLdyyxedxxyeLyy 、例例3解解. 111:1 yxxL令令由由格格林林公公式式 dxdyxyeyxedyyxedxxyeyyDxyLLyy)12()cos()cos()12(1dxdyxeeDyy )12(012 Dxdxdy.),(的的奇奇函函數(shù)數(shù)是是被被積積函函數(shù)數(shù)軸軸對對稱稱關(guān)關(guān)于于xxyD dyyxedxxy

10、edyyxedxxyeLyyLyy)cos()12()cos()12(1dxxexe0)1cos()12(11 .2)12(11edxex .), 0(cos)0 ,(,)()3()3(2223的的一一段段余余弦弦曲曲線線到到曲曲線線沿沿是是由由其其中中計計算算 BxyALyxdyxydxxyL 、例例4解解.202: xyxxL令令由格林公式由格林公式 dxdyyxxyyyxxyxyxdyxydxxyDLL)(3()(3()()3()3(333 dxdyyxyxxyyxyxyxxyyxD)()(3)3()(3)()(3)3()(3623623 dxdyyxxyyxxyyxD4)()3(3)(

11、3)3(3)(3dxdyyxxyyxxyyxD 4)(333. 0)(034 dxdyyxD. 0)()3()3(3 LLyxdyxydxxy LLyxdyxydxxyyxdyxydxxy33)()3()3()()3()3( LLdyxydxxydyxydxxy)3()3()()3()3(3832 220: xyxxL dxxxx)1)(4()3(2202383 .42823 dx2083 二、平面上第二型曲線積分與途徑無關(guān)的條件二、平面上第二型曲線積分與途徑無關(guān)的條件.,為平面單連通區(qū)域為平面單連通區(qū)域則稱則稱內(nèi)內(nèi)都在都在成的區(qū)域成的區(qū)域中任何簡單閉曲線所圍中任何簡單閉曲線所圍若若是平面連通

12、區(qū)域是平面連通區(qū)域設(shè)設(shè)GGGG.:,),( BAABLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxGFLBALQdyPdxLGFGQPGQPF常常常常記記為為與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)稱稱第第二二型型曲曲線線積積分分上上的的保保守守場場為為則則稱稱經(jīng)經(jīng)過過的的形形狀狀無無關(guān)關(guān)而而與與的的位位置置有有關(guān)關(guān)與與終終點點的的起起點點僅僅與與曲曲線線的的第第二二型型曲曲線線積積分分線線內(nèi)內(nèi)任任何何光光滑滑有有向向曲曲沿沿若若上上連連續(xù)續(xù)的的偏偏導導數(shù)數(shù)在在向向量量場場上上的的是是定定義義在在平平面面連連通通區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)向向量量值值函函數(shù)數(shù)).,()(,),(,),(的的原原函函數(shù)數(shù)為為微微分分的的全全是是亦亦稱稱

13、函函數(shù)數(shù)位位的的勢勢稱稱為為上上的的勢勢場場是是則則稱稱或或或或使使得得函函數(shù)數(shù)若若存存在在上上的的向向量量場場是是定定義義在在平平面面區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)QdyPdxuuQdyPdxFuGFQPQdyPdxduFgraduuGQPFyuxu 、定義定義1、定定義義2、定義定義3).,().4();().3(;),(0).2(;),( ,).1(,),(QdyPdxduuFQdyPdxQdyPdxFGLQdyPdxGyxxQyPGQPGQPFBAABL 使使得得存存在在是是勢勢場場即即是是保保守守場場內(nèi)內(nèi)任任一一簡簡單單閉閉曲曲線線是是圈圈積積分分為為零零則則下下述述四四個個命命題題等等價價一一階階偏

14、偏導導數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)內(nèi)內(nèi)在在上上的的向向量量場場是是平平面面單單連連通通區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)、四四個個等等價價命命題題定定理理)(證證明明GyxxQyP ),( ,).1()(0).2( LQdyPdx圈圈積積分分為為零零要要證證明明:由格林公式得由格林公式得)1, 1,()( 是是順順時時針針時時當當是是逆逆時時針針時時當當LLdxdyyPxQQdyPdxDL. 00 dxdyQdyPdxDL )(0).2(圈圈積積分分為為零零 LQdyPdx).3(是是保保守守場場F要要證證明明證證明明).4().3(是是勢勢場場是是保保守守場場FF要要證證明明 xyxuyxxux ),(),(lim0.,),()

15、,(),(),(),(00的的二二元元函函數(shù)數(shù)是是是是保保守守場場yxdyyxQdxyxPyxuFyxyx 證證明明 ),(),(),(),(00000),(),(),(),(1limyxyxyxxyxxdyyxQdxyxPdyyxQdxyxPx )0),(),(1lim0dxyxQyxPxxxxx dxyxPxxxxx),(1lim0)10(,),(1lim0 xyxxPxx積分中值定理積分中值定理).,(),(lim0yxPyxxPx );,(yxPxu ).,(yxQyu 同同理理),(1342011星星期期三三第第八八周周日日月月年年);,(yxPxu ).,(yxQyu 同同理理.)

16、,(),(dyyxQdxyxPdu .),(),(是是勢勢場場yxQyxPF ).(),(),(),(),(),(00原原函函數(shù)數(shù)是是勢勢函函數(shù)數(shù) yxyxdyyxQdxyxPyxu;),( ,).1().4(GyxxQyPF 是勢場是勢場要要證證明明證證明明是是勢勢場場),(),(yxQyxPF dyyxQdxyxPyxduyxu),(),(),(:),( 使使得得).,(),(yxQyuyxPxu ;2連連續(xù)續(xù) yPyxu.2連連續(xù)續(xù) xQxyuxyuyxu 22.),( ,GyxxQyP 證證畢畢.,),(:),(:.),:(:),(),(),(),(0000是是任任意意常常數(shù)數(shù)的的全全

17、體體原原函函數(shù)數(shù)為為的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)為為存存在在原原函函數(shù)數(shù)的的則則常常常常驗驗證證條條件件一一個個條條件件滿滿足足上上述述定定理理的的任任何何從從上上述述定定理理證證明明中中可可得得CCQdyPdxyxuQdyPdxQdyPdxyxuQdyPdxuQdyPdxxQyPyxyxyxyx .),(),(),(),(),(),(),(),(,),( ,000000000),(),(0),(),(的的原原函函數(shù)數(shù)是是或或則則連連續(xù)續(xù)若若dyyxQdxyxPdyyxQdxyxPQdyPdxyxudyyxQdxyxPQdyPdxyxuGyxyPxQyPxQyyxxyxyxyyxxyxyx 性質(zhì)、

18、性質(zhì)、 ),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu ),(),(),(),(0000yxyxyxyxQdyPdxQdyPdx yyxxdyyxQdxyxP00),(00),(0.),(),(000 xxyydyyxQdxyxP同理同理.),(),(),(00000),(),(dyyxQdxyxPQdyPdxyxuyyxxyxyx 證明證明萊萊布布尼尼茲茲公公式式牛牛頓頓 ).,(),(),(),(),(,),(),(),(;),( ,),(0011),(),(),(),(11001100yxUyxUyxUdyyxQdxyxPdyyxQdxyxPyxUGyxxQyPGQ

19、PGQPFyxyxyxyx 則則某某原原函函數(shù)數(shù)的的是是且且偏偏導導數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)內(nèi)內(nèi)一一階階在在上上的的向向量量場場是是平平面面單單連連通通區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)證證明明的的原原函函數(shù)數(shù)都都是是和和dyyxQdxyxPyxUdyyxQdxyxPyxyx),(),(),(),(),(),(),(00 )(),(),(),(),(),(00是是常常數(shù)數(shù)CCyxUdyyxQdxyxPyxyx ),(0),(),(),(0000),(),(0000yxUCCyxUdyyxQdxyxPyxyx CyxUdyyxQdxyxPyxyx ),(),(),(),(),(00).,(),(00yxUyxU .),(),()

20、,(),(),(),(),(0011),(),(11001100yxyxyxyxyxUyxUyxUdyyxQdxyxP .,)0(),(2222的的勢勢函函數(shù)數(shù)并并求求上上的的勢勢場場是是右右半半平平面面證證明明 FxyxxyxyF、例例5解解.),(),(),(),(),(),(:,),(;000000CdyyxQdxyxPyxuCdyyxQdxyxPyxuQPFyPxQyyxxyyxx 或或且且勢勢函函數(shù)數(shù)為為是是勢勢場場那那么么如如果果;)(2222222222222)()(2yxxyyxxyxyxxx ;)(2222222222222)()(2yxxyyxyyxyxyy )()(222

21、2yxyyyxxx Cyxxdyyxydxyxuyx22),()0, 1(22),( Cyxxdyxdxxy10222200Cdyxyxy 02)(1.arctanarctan0CxyCxyy .)8 , 4()0 , 0(2,cossin2的的一一段段到到點點上上從從點點是是曲曲線線其其中中計計算算BAxxyLydyeydxeLxx 、例例6解解.cos)sin(;cos)cos(yeyeyeyexyxxxx yxxxyeye)sin()cos( 。與與路路徑徑無無關(guān)關(guān) Lxxydyeydxecossin Lxxydyeydxecossin 408008sin)cos(dxedyyex 40

22、808sinsinxey. 8sin)1(8sin8sin44 ee.,)1 ,()0 , 0(2:,)3sin21()cos2(:222223所所做做的的功功場場力力時時運運動動到到點點從從點點求求一一質(zhì)質(zhì)點點沿沿曲曲線線設(shè)設(shè)有有平平面面力力場場 FAOyxLjyxxyixyxyF 、例例7解解.cos26)cos2(;6cos2)3sin21(223222xyxyxyxyxyxyyxxyyx .是是保保守守力力 FdyyxxydxxyxyW)3sin21()cos2(22)1 ,2()0,0(23 則則的的原原函函數(shù)數(shù)是是設(shè)設(shè),),(Fyxuxyxyxucos223 dxxyxyu)cos

23、2(23);(sin232yxyyx )(sin2322yxyyxyu 223sin21yxxy 1)( y .)(Cyy .sin),(232Cyxyyxyxu .4)sin(),(2)1 ,2()0,0(232)1 ,2()0,0( yxyyxyxuW、例例8.)(),()(, 0)0(,)(),()0,0(22 yxLdyxydxxyyxuxdyxydxxy 及及求求且且連連續(xù)續(xù)的的導導數(shù)數(shù)具具有有其其中中與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)設(shè)設(shè)曲曲線線積積分分解解.2)()() )(2xyxyxyxyyx xyxy2)(: 令令.)(2)(2Cxxxx .)(0)0(2xx yxyxdyydxxydy

24、xydxxyyxu002),()0,0(2)0()(),( .2222022yxyxx .,),(),(lim),(,),(),(,0,max,),(.),(),(,.,2 , 1,),(,.,:,),(),(1011111121稱稱為為積積分分曲曲面面稱稱為為被被積積函函數(shù)數(shù)其其中中即即記記作作上上的的在在曲曲面面則則稱稱極極限限值值為為函函數(shù)數(shù)上上述述和和式式的的極極限限存存在在時時若若的的直直徑徑記記作作和和式式任任取取面面的的面面積積也也表表示示小小曲曲塊塊小小曲曲面面既既表表示示第第其其中中小小塊塊任任意意分分割割為為將將曲曲面面上上的的有有界界函函數(shù)數(shù)是是定定義義在在的的表表達達式式偏偏導導數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)是是光光滑滑曲曲面面設(shè)設(shè) zyxfSfdSzyxfdSzyxfzyxfSSfSfSfniSiSSSSnzyxfiniiiiininnnniniiiiiiiiin 分分第第四四節(jié)節(jié)、第第一一類類曲曲面面積積曲曲面面積積分分的的概概念念與與性性質(zhì)質(zhì)對對面面積積一一、第第一一類類)(定義、定義、,第第一一類類曲曲面面積積分分曲曲面面積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)對對面面積積第第一一類類)(第第一一類類曲曲面面積積分分也也有有：的的性性質(zhì)質(zhì)類類似似于于第第一一類類曲曲線線積積分