數值分析(第5版)第2章-插值法

1、 設設 y= f(x) 是區(qū)間是區(qū)間a , b 上的一個實函數上的一個實函數, , xi ( i=0, 1, . ,n)是是a,b上上n+1個互異實數個互異實數, ,已知已知 y=f(x) 在在 xi 的值的值 yi=f(xi) (i=0,1,.,n), , 求次數不超過求次數不超過n n的多的多項式項式Pn(x)使其滿足使其滿足Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) (2-1)這就是插值問題這就是插值問題. .第第2 2章章 插值法插值法第一節(jié)第一節(jié) 引言引言n一、一、 插值問題插值問題1其中其中Pn(x) 稱為稱為 f(x) 的插值多項式的插值多項式, , f(x) 稱為稱為被插函

2、被插函數數, , xi(i=0,1, .,n)稱為稱為插值節(jié)點插值節(jié)點, , (xi, yi) (i=0,1, ,n) 稱為稱為插值點插值點, , a,b 稱為稱為插值區(qū)間插值區(qū)間, , 式式( (2-1) )稱為稱為插值插值條件條件。 從從幾何意義幾何意義來看來看, ,上上述問題就是要求一條多述問題就是要求一條多項式曲線項式曲線 y=Pn(x), , 使使它通過已知的它通過已知的n n+1+1個點個點(xi,yi) (i=0,1, ,n), ,并用并用Pn(x)近似表示近似表示f(x). .2二、插值多項式的存在性和唯一性二、插值多項式的存在性和唯一性定理定理1 1 設節(jié)點設節(jié)點xi (i=

3、0,1, ,n)互異互異, 則則滿足插值條件滿足插值條件Pn(xi)=yi 的次數不超過的次數不超過n的多項式存在且唯一的多項式存在且唯一. .證證 設所求的插值多項式為設所求的插值多項式為 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn (2-2)則由插值條件式則由插值條件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) 可得關于系數可得關于系數a0 ,a1 , ,an的線性代數方程組的線性代數方程組3 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010此方程組有此方程組有n n+1+1個方程個方程, , n n+1+1個未知數個未知數, , 其系數行列式其系數

4、行列式是范德蒙行列式，即：是范德蒙行列式，即：（2-3） ijijnnnnnnxxxxxxxxxxx)(1112121102004 ijijnnnnnnxxxxxxxxxxx)(111212110200由于插值節(jié)點由于插值節(jié)點 xi 互不相同互不相同, , 所有因子所有因子 xj-xi 0, 所以所以上上述行列式不等于零述行列式不等于零, ,故由克萊姆法則知方程組故由克萊姆法則知方程組 (2-3) 的的解存在唯一解存在唯一. . 即滿足條件式即滿足條件式 (2-1)的次數不超過的次數不超過n的多的多項式項式(2-2) 存在且唯一。證畢。存在且唯一。證畢。 5第二節(jié)第二節(jié) 拉格朗日插值拉格朗日插

5、值一、基函數一、基函數 0,()(0,1, )1,ijjil xjnji 故可設故可設)()()()(110niiixxxxxxxxAxl 考慮下面最簡單考慮下面最簡單 最基本的插值問題。求最基本的插值問題。求n 次多項次多項式式 l i(x) (i=0,1, , n)，使其滿足條件，使其滿足條件6)()()()(110niiixxxxxxxxAxl 其中其中A A為常數為常數, , 由由li (xi)=1可得可得)()()(1110niiiiiixxxxxxxxA 70110110()()()()( )()()()()()(0,1, )()iiniiiiiiinnjjijj ixxxxxxx

6、xl xxxxxxxxxxxinxx 稱之為稱之為拉格朗日基函數拉格朗日基函數。8 n=1時的一次基函數為時的一次基函數為: : 01010110( ),( ).xxxxlxlxxxxx 0 x1xy 1 O x)(0 xl0 x1x)(1xl y Ox9021201010210120122021()()()()( ),( ),()()()()()()( ).()()xxxxxxxxlxlxxxxxxxxxxxxxlxxxxx n=2時的二次基函數為時的二次基函數為 : 100110110()()()()( )()()()()()(0,1, )()iiniiiiiiinnjjijj ixxxx

7、xxxxl xxxxxxxxxxxinxx 0( )( )nni iiLxy l x 利用利用拉格朗日基函數式拉格朗日基函數式l i(x), , 構造多項式構造多項式二、拉格朗日插值多項式二、拉格朗日插值多項式設節(jié)點設節(jié)點xi (i=0,1, ,n)互異互異, 插值條件插值條件Ln(xi)=yi11 特別地特別地, , 當當 n =1時又叫線性插值時又叫線性插值, ,其幾何意義為其幾何意義為過兩點的直線過兩點的直線. . 當當n =2時又叫拋物插值時又叫拋物插值, , 其幾何意其幾何意義為過三點的拋物線義為過三點的拋物線. .可知其滿足可知其滿足()(0,1, )njjLxyjn ,稱為拉格朗

8、日稱為拉格朗日)()(xLxPnn 插值多項式插值多項式, , 由插值多項式的唯一性，得由插值多項式的唯一性，得12131)(0 niixl 值得注意的是值得注意的是, , 插值基函數插值基函數l i(x) (i=0,1, ,n)僅由插值僅由插值節(jié)點節(jié)點xi (i=0,1, ,n)確定確定, ,與被插函數與被插函數 f(x)無關無關. .還應注意還應注意, ,對于插值節(jié)點對于插值節(jié)點, ,只要求它們互異只要求它們互異, ,與大小次序與大小次序無關。無關。 以以 xi (i=0,1,n)為插值節(jié)點為插值節(jié)點, , 函數函數 f(x) 1作插值作插值多項式多項式, , 則由插值多項式的唯一性立即得

9、到基函數的則由插值多項式的唯一性立即得到基函數的一個性質一個性質14019141( )(9), ( )(4)495945xxlxxlxx 所以所以1137(7)2.65L 01,4,9,yx xx 7 例例1 1 已知已知 用線性插值求用線性插值求 近近 似值。似值。012,3,yy 基函數分別為基函數分別為:解解10 01 111( )( )( )2(9)3(4)55Lxy lxy lxxx 插值多項式為插值多項式為23(9)(4)55xx 1(6)5x 15)4)(3)(1(401)41)(31)(11()4)(3)(1()(0 xxxxxxxl)4)(3)(1(121)41)(31)(1

10、1()4)(3)(1()(1 xxxxxxxl)4)(1)(1(81)43)(13)(13()4)(1)(1()(2 xxxxxxxl)3)(1)(1(151)34)(14)(14()3)(1)(1()(3 xxxxxxxl)3, 4(),6, 3(),0 , 1(),2, 1( 例例2 求過點求過點 的三次插值多項式。的三次插值多項式。4, 3, 1, 13210 xxxx解解 以以為節(jié)點的基函數為節(jié)點的基函數分別為分別為: :16)()()()()(332211003xlyxlyxlyxlyxL )3)(1)(1(1513)4)(1)(1(81)6()4)(3)(1(1210)4)(3)(

11、1(401)2( xxxxxxxxxxxx)3)(1)(1(51)4)(1)(1(43)4)(3)(1(201 xxxxxxxxx3423 xx17三、插值余項三、插值余項 截斷誤差截斷誤差Rn(x)=f (x) -Ln(x)也稱為插值多項式的余也稱為插值多項式的余項。以下為拉格朗日余項定理。項。以下為拉格朗日余項定理。 定理定理1 設設f (x)在區(qū)間在區(qū)間a ,b上存在上存在n+1 階導數階導數, xi a, b (i=0,1, , n) 為為n+1個互異節(jié)點個互異節(jié)點, 則對任何則對任何x a ,b, , 有有(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn

12、 ( , )a b 且與且與x 有關有關) )()(n0i1inxxx 其中其中18證證 由插值條件和由插值條件和 n+1(x) 的定義的定義, 當當x=xk 時時, 式子顯然式子顯然成立成立, 且有且有 n+1(xk)=0 ( k=0,1,n ), 這表明這表明x0 , x1, , xn 都是函數都是函數 n+1(x) 的零點的零點, 從而從而1( )( )( )( )( )nntf tL tK xt (1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 其中其中K(x)是待定函數是待定函數。 對于任意固

13、定的對于任意固定的x a,b, x xk ,構造自變量構造自變量t 的輔助的輔助函數函數191( )( )( )( )( )nntf tL tK xt 由式由式 n+1(xk)=0 和式和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,n ), ,以及以及1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 可知：可知：x0 , x1, , xn和和x是是 (t) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上的上的n+2個互個互異零點異零點, 因此根據羅爾因此根據羅爾(Rolle)定理定理, 至少存在一點至少存在一點 = (x) (a,b), ,使使 (1)( )0n (1)( )( )(1)!nfK xn 即即(1)

14、1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 所以所以20在估計誤差時下列不等式很有用。在估計誤差時下列不等式很有用。),(, )()!1()(01baxxxnMxRniinn niinnnxxnfxLxfxR0)1()()!1()()()()( ),(,)(max)!1()(01baxxxnMxRniibxann 或或 xfMnbxan)1(1max 其中其中2115. 1425. 005. 02 xx,1)(xxf ，節(jié)節(jié)點點4, 5 . 2, 2210 xxx)(xf求求的拋物插值多項式的拋物插值多項式, ,且計算且計算f (3)的近似值并估計誤差的近似值并估

15、計誤差。例例3 設設25. 0)4(, 4 . 0)5 . 2(, 5 . 0)2(210 fyfyfy解解 )45 . 2)(25 . 2()4)(2(4 . 0)42)(5 . 22()4)(5 . 2(5 . 0)(2 xxxxxL)5 . 24)(24()5 . 2)(2(25. 0 xx插值為多項式插值為多項式22于是于是 325. 0)3(2 xLf因為因為 83)2()(max,64,24 fxfxxfx可得可得03125. 0)43)(5 . 23)(23(8361)3()3()3(22 LfR23例例4 已知已知 用線性插值計算用線性插值計算sin0.33333487. 03

16、4. 0sin,314567. 032. 0sin 解解 (1) 用線性插值用線性插值324027. 0)33487. 0314567. 0(2132. 034. 032. 033. 0333487. 034. 032. 034. 033. 0314567. 0)33. 0(33. 0sin1 L24第三節(jié)第三節(jié) 均差與牛頓插值公式均差與牛頓插值公式一、差商及其基本性質一、差商及其基本性質定義定義1 稱稱101010)()(,xxxfxfxxf 為為 f (x)在在x0、x1點的一階差商點的一階差商.一階差商的差商一階差商的差商202110210,xxxxfxxfxxxf 稱為函數稱為函數f

17、(x)在在x0、x1 、x2 點的二階差商點的二階差商.25一般地，一般地，n-1階差商的差商階差商的差商nnnnnnxxxxxfxxxfxxxf 01112010, 稱為稱為f (x)在在x0 , x1 , , xn點的點的 n 階差商。階差商。差商的計算步驟與結果可列成差商表，如下差商的計算步驟與結果可列成差商表，如下26xk函數值函數值一階差商一階差商二階差商二階差商三階差商三階差商. x0 x1 x2 x3 .f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) . f x0 , x1 f x1 , x2 f x2 , x3 . f x0, x1, x2 f x1, x2, x3 .

18、 f x0, x1, x2 , x3 .表表5-127這一性質可以用數學歸納法證明，它表明差商與節(jié)這一性質可以用數學歸納法證明，它表明差商與節(jié)點的排列次序無關，即點的排列次序無關，即 fx0 , x1 , x2 , ., xn= fx1 , x0 , x2 , ., xn= = fx1 , x2 , ., xn , x0 nknkkkkkkknxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(,性質性質1 差商可以表示為函數值的線性組合，即差商可以表示為函數值的線性組合，即稱之為差商的對稱性稱之為差商的對稱性。28性質性質2 若若f(x)在在a,b上存在上存在n階導數階導數, 且節(jié)點且節(jié)

19、點x0 , x1 , xn a,b ,則至少存在一點則至少存在一點 a, b 滿足下式滿足下式!)(,)(10nfxxxfnn 例例1 f(x)=- -6x8+7x5- -10,求求f1,2, ,9及及f1,2, ,10. 解解 f (8)(x)=- -68 !, f 1,2, ,9=-6, f (9)(x)=0, f 1,2, ,10=0.29例例2 已知已知1215207431ix)(ixf計算三階差商計算三階差商 . 7 , 4 , 3 , 1 f30解解 做差商表做差商表7三三階階差差商商二二階階差差商商01425. 1 ix)(ixf所以所以25. 17 , 4 , 3 , 1 f1

20、3472151213141431二、牛頓插值多項式二、牛頓插值多項式如此繼續(xù)下去，可得一系列等式如此繼續(xù)下去，可得一系列等式設設x是是a，b上一點，由一階差商定義得上一點，由一階差商定義得000)()(,xxxfxfxxf 同理，由二階差商定義同理，由二階差商定義110010,xxxxfxxfxxxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf 得得)(,)()(000 xxxxfxfxf 得得3201010 , ,()nnnnf x xxf xxxf x xxxx )(,)()(000 xxxxfxfxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf )(,221021010 xxxxxx

21、fxxxfxxxf 依次把后式代入前式，最后得依次把后式代入前式，最后得00000100101001001201012012( )() ,()(),() ,()()(),(),()() ,()()()f xf xf x xxxf xf xxxxf x xxxxxxf xf xxxxf xxxxxxxf x xxxxxxxxx33)()(,)()()(,)(,)(,)()(,)(,)()(10021021010210010010100100nnnxxxxxxxxxfxNxxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxxxxxxxfxxxxfxfxf 001001201001( )(),()

22、,()(),()()nnnN xf xf x xxxf x x xxxxxf xxxxxx 其中其中34可見可見, Nn(x)為次數不超過為次數不超過n 的多項式的多項式,且易知且易知 Nn(x) 滿足滿足插值條件式插值條件式,故其為插值問題的解故其為插值問題的解,稱之為牛頓插值多項稱之為牛頓插值多項式。式。由插值多項式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項式由插值多項式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項式 是等價的是等價的,即即 Ln(x) Nn(x)35且有如下遞推形式且有如下遞推形式)()(,)()(1001 nnnnxxxxxxfxNxN和余項公式和余項公式)()(,)(010nnnxxxxx

23、xxxfxR )()()!1()(0)1(nnxxxxnf 由此即得性質由此即得性質2 2。且。且k010( ),()()nnnR xf xx xxxxxx36例例3 已知已知求滿足以上插值條件得牛頓型插值公式。求滿足以上插值條件得牛頓型插值公式。1121520743ix)(ixf37解解 在例在例1中，我們已經計算出中，我們已經計算出;25. 1,3210 xxxxf4, 1, 0)(210100 xxxfxxfxf則牛頓三次插值多項式為則牛頓三次插值多項式為2675.381425. 1)4)(3)(1(25. 1)3)(1(4)1(0)(233 xxxxxxxxxxN38xk f(xk)一

24、階差商一階差商二階差商二階差商三階差商三階差商四階差商四階差商0.40 0.55 0.65 0.80 0.900.4107 0.5781 0.6967 0.8881 1.02651.1160 1.1860 1.2757 1.38410.2800 0.3588 0.43360.1970 0.2137 0.0344例例5 已知已知f(x)=shx的數表的數表,求三次牛頓插值多項式求三次牛頓插值多項式,并由此并由此計算計算f(0.596)的近似值。的近似值。 39)55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(2 xxxxN解解 由上表可得過前三點的二次牛頓

25、插值多項式為由上表可得過前三點的二次牛頓插值多項式為632010. 0)596. 0()596. 0(2 Nf故故40又又1970. 0,3210 xxxxf可得過前四點的三次牛頓插值多項式可得過前四點的三次牛頓插值多項式)65. 0)(55. 0)(40. 0(1970. 0)()(23 xxxxNxN6319145. 0)596. 0()596. 0(3 Nf故故)80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 0(0344. 0)(3 xxxxxR可得可得N3(x)的截斷誤差的截斷誤差631034. 0)596. 0( R0344. 0,40 xxf41差分與等距節(jié)點的牛頓插值多項式差

26、分與等距節(jié)點的牛頓插值多項式 設函數設函數y=f(x)在等距節(jié)點在等距節(jié)點xi=x0+ih (i=0,1, ,n)上的上的函數值為函數值為fi=f(xi)(h為步長為步長)定義定義2 fi=fi+1-fi 和和 fi=fi-fi-1 分別稱為函數分別稱為函數f(x)在點在點xi處的一階向前差分和一階向處的一階向前差分和一階向后差分。后差分。 一般地一般地, f(x) 在點在點 xi 處的處的 m 階向前差分和階向前差分和 m 階向階向后差分分別為后差分分別為 mfi= m-1fi+1- m-1fi 和和 mfi= m-1fi- m-1fi-142函數值函數值一階差分一階差分二階差分二階差分三階

27、差分三階差分四階差分四階差分. f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f (x4) . f0 ( f1) f1 ( f2) f2 ( f3) f3 ( f4) . 2f0 ( 2f2) 2f1 ( 2f3) 2f2 ( 2f4) . 3f0 ( 3f3) 3f1 ( 3f4) . 4f0 ( 4f4) .表表5-243性質性質1 1 mfi= mfi+m性質性質2 2 111,!1,!miii mimmi mi miimf x xxfm hf xxxfm h差分有如下基本性質差分有如下基本性質44代入牛頓插值公式代入牛頓插值公式 ,可得可得)1()1(!)1(!2)()(00

28、2000 ntttnfttftffthxNxNnnn稱為牛頓向前插值公式，其余項為稱為牛頓向前插值公式，其余項為),()()!1()()1()()(0)1(10nnnnnxxfhnntttthxRxR 插值節(jié)點為插值節(jié)點為 xi=x0+ih (i=0,1, ,n), 如果要計算如果要計算 x0附近點附近點 x 處的函數值處的函數值f(x), 可令可令 x=x0+th (0 t 1)45 類似地類似地, 若計算若計算 xn 附近的函數值附近的函數值 f(x), 可令可令 x=xn+th (- 1 t 0) ，可得牛頓向后插值公式，可得牛頓向后插值公式)1()1(!)1(! 2)()(2 nttt

29、nfttftffthxNxNnnnnnnnn),(, )()!1()()1()()(0)1(1nnnnnnxxfhnntttthxRxR 及其余項及其余項46例例6 設設 y=f(x)=ex, xi=1, 1.5, 2, 2.5, 3, 用三次插值多項式用三次插值多項式求求f(1.2) 及及f(2.8)的近似值的近似值.解解 相應的函數值及差分表如下相應的函數值及差分表如下: 0.4814 0.74210 1.22356 1.14396 1.88606 3.10962 1.76341 2.90347 4.79343 7.90305 2.71828 4.4816 7.28906 12.1824

30、20.0855四階差分四階差分三階差分三階差分二階差分二階差分一階差分一階差分函數值函數值47函數值函數值一階差分一階差分二階差分二階差分三階差分三階差分四階差分四階差分2.71828 4.48169 7.28906 12.1824 20.0855 1.76341 2.90347 4.79343 7.90305 1.14396 1.88606 3.10962 0.74210 1.22356 0.4814 求求f(1.2)用牛頓前插公式用牛頓前插公式, 且由且由 1.2=1+0.5t, 得得t=0.431.14396(1.2)(1.2)2.71828 1.76341 0.40.4 (0.4 1)

31、2!0.742100.4 (0.4 1)(0.4 2)3.33386323!fN 48求求f(2.8)用牛頓后插公式用牛頓后插公式,且由且由 2.8=3+0.5t, 得得 t= -0.43(2.8)(2.8)3.1096220.085547.90305 ( 0.4)( 0.4) ( 0.4 1)2!1.22356( 0.4) ( 0.4 1)( 0.42)15.76808723!fN 49第四節(jié)第四節(jié) 埃爾米特埃爾米特(Hermite)插值插值n一、一、 埃爾米特插值多項式埃爾米特插值多項式 為了使插值函數能更好的切合原來的函數，許多問為了使插值函數能更好的切合原來的函數，許多問題不但要求節(jié)點

32、上的函數值相等，還要求導數值相同題不但要求節(jié)點上的函數值相等，還要求導數值相同，甚至高階導數也相等，這類插值問題稱為埃爾米特，甚至高階導數也相等，這類插值問題稱為埃爾米特插值。插值。50 xi a, b (i=0,1, , n) 為為n+1個互異節(jié)點個互異節(jié)點,考慮函數值考慮函數值與導數個數相等的情況。與導數個數相等的情況。 jjxfy jjxfm nj, 0 我們要求插值多項式我們要求插值多項式H(x)滿足滿足jjjjmxHyxH )(,)(共共2n+2個條件，可確定次數不超過個條件，可確定次數不超過2n+1的多項式。的多項式。51 ), 1 , 0,(, 0nkjxxjkkk 滿足上述條件

33、的插值多項式可以寫成用插值基函數滿足上述條件的插值多項式可以寫成用插值基函數表示的形式表示的形式 njjjjjnxmxyxH012)()()( 52對插值基函數先取對數再求導數得，對插值基函數先取對數再求導數得，535455基函數滿足下列插值條件基函數滿足下列插值條件)(, )(, )(, )(1010 xxxx 001(0)()0(1)()0(0,1)iiixixi 33()(0,1)()iiiiHxyiHxm H3(x)稱為三次埃爾米特插值多項式稱為三次埃爾米特插值多項式。56110(0)()1(1)()0(0,1)iiixixi 001(0)()0(1)()0(0,1)iiixixi 1

34、10(0)()1(1)()0(0,1)iiixixi 57 條條 件件 函函 數數函數值函數值導數值導數值x0 x1x0 x1 0(x)1000 1(x)0100 0(x)0010 1(x)0001表表2-3即即58210100)()(xxxxxxx ,)(21 )(21010100 xxxxxxxxx 201011)()(xxxxxxx ,)(21)(20101011xxxxxxxxx 2201000022101111( )12 ( )( )( )()( )( )12 ( )( )( )()( )xlx lxxxxlxxlx lxxxxlx 即即)(),(10 xlxl插值點的插值點的Lag

35、range),(),(1100yxyx為為以以一次基函數一次基函數. 59可得滿足條件的三次埃爾米特插值多項式為可得滿足條件的三次埃爾米特插值多項式為300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxmxmx 20101121010020101011210101003)()()(21)(21)(xxxxxxmxxxxxxmxxxxxxxxyxxxxxxxxyxH 定理定理3 滿足條件式滿足條件式 的三次埃爾米特插值多項式存在且唯一。的三次埃爾米特插值多項式存在且唯一。33(),()(0,1)iiiiHxy Hxmi 60二、誤差估計二、誤差估計定理定理4 設設f(x)在包含在包含x0

36、、x1的區(qū)間的區(qū)間a,b內存在四階導內存在四階導數，則當數，則當xa,b時有時有(4)2233011( )( )( )( )() ()4!R xf xH xfxxxx ( , )a b 且與且與x有關有關)61例例1 已知已知f(x)=x1/2在在X=121和和144時的函數值及其一階導時的函數值及其一階導數的數據見下表數的數據見下表,用埃爾米特插值公式計算用埃爾米特插值公式計算1251/2的近似的近似值值,并估計其截斷誤差并估計其截斷誤差.6263得得3125(125)11.18035H 由由2/7)4(1615)(xxf 可求得可求得 2233322221112( )22191442652

37、12123231112114414412122 2324 23Hxxxxxxxxx 64例例26566第五節(jié)第五節(jié) 分段低次插值分段低次插值67686970,)(10baCxIh ., 0,)(20nkfxIkkh 是線性函數。是線性函數。在每個區(qū)間在每個區(qū)間,)(310 kkhxxxI滿滿足足已已知知。求求一一折折線線函函數數上上的的函函數數值值。在在節(jié)節(jié)點點連連接接起起來來逼逼近近函函數數插插值值節(jié)節(jié)點點用用折折線線段段分分段段線線性性插插值值就就是是通通過過)(), 1 , 0()(xIfnixxfhii 一、分段線性插值一、分段線性插值71)(xIh,1 kkxx由定義知由定義知 在每

38、個小區(qū)間在每個小區(qū)間上可以表示為上可以表示為 72 , 00(,0(,)(11111111jjjjjjjjjjjjjxxxbaxjxxxxxxxjxxxxxxxxl略略去去）略略去去） njjjhxlfxI0)()(分段線性插值多項式分段線性插值多項式基函數基函數73分段線性插值在區(qū)間分段線性插值在區(qū)間xi，xi+1上的余項估計式為上的余項估計式為 , , , ,) )( (m ma ax x) ) )( ( (! !) )( () )( () )( (1211182 iixxxiiixxxxfhxxxxfxPxfii 一致收斂定理一致收斂定理：設：設 ， 在在a,b上一致收斂到上一致收斂到

39、。,)(baCxf )(xIh)(xf74例例1 已知函數已知函數 在區(qū)間在區(qū)間 上取等上取等 距插值節(jié)點（如下表）距插值節(jié)點（如下表）, 求區(qū)間求區(qū)間 上分段線性插上分段線性插值函數，并利用它求出值函數，并利用它求出 的近似值的近似值211)(xxfy 5 , 05 , 0)5 . 4(fix1iy0.038460.058820.10.20.51543201, ii解解 在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間 上上， )()1()1()1()1()(11ixyiyiiixyiiixyxPiiii 75于是于是04864. 0)4(03846. 0)5(05882. 0)5 . 4( xxP )4(0384

40、6. 0)5(05882. 0)3(05882. 0)4(1 . 0)2(1 . 0)3(2 . 0)1(2 . 0)2(5 . 05 . 0)1()(xxxxxxxxxxxP 5 , 44 , 33 , 22 , 11 , 0 xxxxx76二、分段三次二、分段三次Hermite插值插值xi，xi+1作埃爾米特插值，得作埃爾米特插值，得),.,1 , 0)(),(nixfmxfyiiii在每個子區(qū)間在每個子區(qū)間20101121010020101011210101003)()()(21)(21)(xxxxxxmxxxxxxmxxxxxxxxyxxxxxxxxyxH 77顯然，顯然，H3(x)

41、滿足插值條件滿足插值條件 H3(xi)=yi，階導數連續(xù)階導數連續(xù)。),.,1 ,0()(i3nimxHi在節(jié)點在節(jié)點ix處一處一78分段三次埃爾米特插值在區(qū)間分段三次埃爾米特插值在區(qū)間xi，xi+1上的余上的余項估計式為項估計式為79一致收斂定理一致收斂定理80-0.16-0.500.20.51210ixiyim例例3 已知函數已知函數 , ,在區(qū)間在區(qū)間 上取等距上取等距插值節(jié)點（如下表插值節(jié)點（如下表),),求區(qū)間求區(qū)間 上分段三次上分段三次 埃爾米特插值函數埃爾米特插值函數, ,并利用它求出并利用它求出 的近似值的近似值)5 . 1(f 3 , 03 , 0)1(1)(2xxfy 81

42、解解 ,由式由式(4) ,在每在每 個小區(qū)間個小區(qū)間 上上1 ih1, ii 212212)(1() 1( )()(1( 21 ) 1()(21)(ixixmixixmixixyixixyxHiiii 于是于是 2222)1)(3314(04. 0)2(5 . 0)34(5 . 0)1)(21()(xxxxxxxxxH2 , 11 , 0 xx82 22)15 . 1)(335 . 114(04. 0)25 . 1(5 . 15 . 0)5 . 1(5 . 1 Hf3125. 0 83定義定義 給定區(qū)間給定區(qū)間a，b的一個劃分的一個劃分 a=x0 x1.xn-1xn=b，如果函數如果函數S(x

43、)滿足：滿足：在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間xi，xi+1(i=0,1,.,n-1)上是三次多項式。上是三次多項式。在每個內節(jié)點在每個內節(jié)點xi(i=1,2,.,n-1)上上第六節(jié)第六節(jié) 樣條插值樣條插值n一、問題的提出一、問題的提出 84具有二階連續(xù)導數，則稱具有二階連續(xù)導數，則稱S(x)為關于上述劃分的為關于上述劃分的一個三次多項式樣條函數，簡稱三次樣條。一個三次多項式樣條函數，簡稱三次樣條。S(x)在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間xi，xi+1上是一個三次多上是一個三次多項式，因此需要確定四個待定常數，一共有項式，因此需要確定四個待定常數，一共有n個個小區(qū)間故應確定小區(qū)間故應確定4n個系數，個系數，S

44、(x)在在n-1個節(jié)點上個節(jié)點上具有二階連續(xù)導數，應滿足條件具有二階連續(xù)導數，應滿足條件85)1, 2 , 1()0()0()0()0()0()0( nixSxSxSxSxSxSiiiiii86二、三彎矩方程二、三彎矩方程Mi來求來求S(x)的方法稱為三彎矩法的方法稱為三彎矩法。),.,1 , 0()(niMxSii 為參數為參數,這種通過確定這種通過確定設設iiiiiihxxMhxxMxS 11) )( ( 在在xi，xi+1上是一次多項式且可表示為上是一次多項式且可表示為)(xS 積分兩次并利用積分兩次并利用 S(xi)=yi S(xi+1)=yi+1定出積分常數得定出積分常數得對對)(x

45、S 87) )( () ), , , ,( ( , , ) )( () )( () )( () )( () )( (2861106666121112311nixxxhMyhxxhMyhxxMhxxMxSiiiiiiiiiiiiiiii為了使為了使 S(x) 成為所求的三次樣條，同時為了成為所求的三次樣條，同時為了確定參數確定參數 Mi ，對，對S(x) 求導得求導得iiiiiiiiiiiihMMhyyhxxMhxxMxS62)(2)()(112121 88所以所以) )( () )( () )( () )( (30636029663011111iiiiiiiiiiiiiiiihyyMhMhxS

46、hyyMhMhxS) )( () ), , , ,( (316121211nidMMMiiiiii 得得(i=1,2,.,n-1) )( () )( (00iixSxS由由89) 1, 2 , 1(6) 1, 2 , 1(1(1111111 nihyyhyyhhdnihhhhhhiiiiiiiiiiiiiiiiii 1 1、I I 型樣條函數型樣條函數，由公式，由公式(6-29)、(6-30) 得得nnmxSmxS) )( (, ,) )( (00已知已知90即即) ) )( () )( () )( ( () )( (34666336221110001001010nnnnnnnnnhyymhd

47、mhyyhddMMdMM) )( () )( () )( (326366311111001100000nnnnnnnnnhyyMhMhxSmhyyMhMhxSm91合并式合并式(6-31)、(6-33)有有) )( (3562122121101101111nnnnnnddddMMMM 從中解出從中解出Mi(i=0,1,.,n)代入式代入式(6-28)得得 I 型三次樣條型三次樣條S(x)。922、II 型樣條函數型樣條函數M0、Mn已知，故方程組已知，故方程組(6-31)為為從中解出從中解出 Mi(i=1,2,.,n-1) 代入式代入式(6-28)得得 II 型三次樣條型三次樣條S(x)。93

48、3、III III 型樣條函數型樣條函數111110001100036)0()0(63 nnnnnnnnhyyMhMhxSxShyyMhMh，則由公則由公式式(6-29)、(6-30)得得) )( () )( (000nxSxS已知已知94整理得整理得) )( (376211nnnnndMMM 其中其中) )( (38661110011011100nnnnnnnonnnnhyyhyyhhdhhhhhh 9596三、三轉角方程三、三轉角方程設設), 1 ,0()(nimxSii定定im為參數，這種通過確為參數，這種通過確來求來求S(x)的方法叫三轉角法的方法叫三轉角法。用前面介紹的分段埃爾米特插

49、值，得到在用前面介紹的分段埃爾米特插值，得到在iixx, ,1上上S(x)的表達式為的表達式為) )( () )( () )( (. .) )( () )( () )( (4062121211211211112111iiiiiiiiiiiiiiiiimhxxxxhxxxxyhxxhxxyhxxhxxxS97) )( (xS iiiiiiiiyxxhhyxxhh) )( () )( (1312113121126126iiiiiiiimxxhhmxxhh) )( () )( (121112116262所以所以) )( ( ixSiiiiiiiimhmhyhyh111211214266) )( (

50、ixS11222466iiiiiiiimhmhyhyh同理同理98其中其中：iiiiiiiiihhhhhh1111 , ,1113iiiiiiixxfxxfg, , , ) ), , , ,( (121ni(6-42)同三彎矩方程一樣，有三種條件：同三彎矩方程一樣，有三種條件：1、已知、已知,)(,)(00nnmxfmxf則方程組化為則方程組化為：) ) )( (, , , ,( (416121211nigmmmiiiiii ) )( (ixS得得：) ), ,( ( ixS由由S(x)二階連續(xù)可微，即二階連續(xù)可微，即99)436(222211220111221122221 nnnnnnnnn

51、mgggmgmmmm 2、已知、已知00 ) )( () )( (nxSxS由由00 ) )( (xS可得可得 1010,32xxfmm 由由0 ) )( (nxS可得可得nnnnxxfmm, ,1132100101032xxfmm, ,于是有于是有iiiiiigmmm112 ) ) )( (, , ,( (446121ninnnnxxfmm, ,1132) )( (4562122121101101111nnnnnnggggmmmm 即矩陣形式為即矩陣形式為：101其中其中 nnnxxfgxxfg,3,31100 3、已知、已知)()(),()(),()(000nnnxSxSxSxSxSxS

52、則有則有：nmm 0 )466(13213111211000120 nnnnnnmmhyyhmmhyyh102)476(2222121121112211 nnnnnnnnggggmmmm 103 )max()506()(max83)()(max)496()(max241)()(max)486()(max3845)()(max10)4(2)4(3)4(4inibxabxabxabxabxabxahhxfhxSxfxfhxSxfxfhxSxf 則其則其I 型和型和II 型三次樣條插值函數以及導數的型三次樣條插值函數以及導數的誤差有如下估計式誤差有如下估計式設設 f(x) 在在a，b上有直到四階的連續(xù)導