數(shù)值分析(第5版)第2章-插值法

1、 設(shè)設(shè) y= f(x) 是區(qū)間是區(qū)間a , b 上的一個(gè)實(shí)函數(shù)上的一個(gè)實(shí)函數(shù), , xi ( i=0, 1, . ,n)是是a,b上上n+1個(gè)互異實(shí)數(shù)個(gè)互異實(shí)數(shù), ,已知已知 y=f(x) 在在 xi 的值的值 yi=f(xi) (i=0,1,.,n), , 求次數(shù)不超過(guò)求次數(shù)不超過(guò)n n的多的多項(xiàng)式項(xiàng)式Pn(x)使其滿足使其滿足Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) (2-1)這就是插值問(wèn)題這就是插值問(wèn)題. .第第2 2章章 插值法插值法第一節(jié)第一節(jié) 引言引言n一、一、 插值問(wèn)題插值問(wèn)題1其中其中Pn(x) 稱為稱為 f(x) 的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式, , f(x) 稱為稱為被插函

2、被插函數(shù)數(shù), , xi(i=0,1, .,n)稱為稱為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn), , (xi, yi) (i=0,1, ,n) 稱為稱為插值點(diǎn)插值點(diǎn), , a,b 稱為稱為插值區(qū)間插值區(qū)間, , 式式( (2-1) )稱為稱為插值插值條件條件。 從從幾何意義幾何意義來(lái)看來(lái)看, ,上上述問(wèn)題就是要求一條多述問(wèn)題就是要求一條多項(xiàng)式曲線項(xiàng)式曲線 y=Pn(x), , 使使它通過(guò)已知的它通過(guò)已知的n n+1+1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)(xi,yi) (i=0,1, ,n), ,并用并用Pn(x)近似表示近似表示f(x). .2二、插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性二、插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性定理定理1 1 設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)節(jié)點(diǎn)xi (i=

3、0,1, ,n)互異互異, 則則滿足插值條件滿足插值條件Pn(xi)=yi 的次數(shù)不超過(guò)的次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式存在且唯一的多項(xiàng)式存在且唯一. .證證 設(shè)所求的插值多項(xiàng)式為設(shè)所求的插值多項(xiàng)式為 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn (2-2)則由插值條件式則由插值條件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) 可得關(guān)于系數(shù)可得關(guān)于系數(shù)a0 ,a1 , ,an的線性代數(shù)方程組的線性代數(shù)方程組3 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010此方程組有此方程組有n n+1+1個(gè)方程個(gè)方程, , n n+1+1個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù), , 其系數(shù)行列式其系數(shù)

4、行列式是范德蒙行列式，即：是范德蒙行列式，即：（2-3） ijijnnnnnnxxxxxxxxxxx)(1112121102004 ijijnnnnnnxxxxxxxxxxx)(111212110200由于插值節(jié)點(diǎn)由于插值節(jié)點(diǎn) xi 互不相同互不相同, , 所有因子所有因子 xj-xi 0, 所以所以上上述行列式不等于零述行列式不等于零, ,故由克萊姆法則知方程組故由克萊姆法則知方程組 (2-3) 的的解存在唯一解存在唯一. . 即滿足條件式即滿足條件式 (2-1)的次數(shù)不超過(guò)的次數(shù)不超過(guò)n的多的多項(xiàng)式項(xiàng)式(2-2) 存在且唯一。證畢。存在且唯一。證畢。 5第二節(jié)第二節(jié) 拉格朗日插值拉格朗日插

5、值一、基函數(shù)一、基函數(shù) 0,()(0,1, )1,ijjil xjnji 故可設(shè)故可設(shè))()()()(110niiixxxxxxxxAxl 考慮下面最簡(jiǎn)單考慮下面最簡(jiǎn)單 最基本的插值問(wèn)題。求最基本的插值問(wèn)題。求n 次多項(xiàng)次多項(xiàng)式式 l i(x) (i=0,1, , n)，使其滿足條件，使其滿足條件6)()()()(110niiixxxxxxxxAxl 其中其中A A為常數(shù)為常數(shù), , 由由li (xi)=1可得可得)()()(1110niiiiiixxxxxxxxA 70110110()()()()( )()()()()()(0,1, )()iiniiiiiiinnjjijj ixxxxxxx

6、xl xxxxxxxxxxxinxx 稱之為稱之為拉格朗日基函數(shù)拉格朗日基函數(shù)。8 n=1時(shí)的一次基函數(shù)為時(shí)的一次基函數(shù)為: : 01010110( ),( ).xxxxlxlxxxxx 0 x1xy 1 O x)(0 xl0 x1x)(1xl y Ox9021201010210120122021()()()()( ),( ),()()()()()()( ).()()xxxxxxxxlxlxxxxxxxxxxxxxlxxxxx n=2時(shí)的二次基函數(shù)為時(shí)的二次基函數(shù)為 : 100110110()()()()( )()()()()()(0,1, )()iiniiiiiiinnjjijj ixxxx

7、xxxxl xxxxxxxxxxxinxx 0( )( )nni iiLxy l x 利用利用拉格朗日基函數(shù)式拉格朗日基函數(shù)式l i(x), , 構(gòu)造多項(xiàng)式構(gòu)造多項(xiàng)式二、拉格朗日插值多項(xiàng)式二、拉格朗日插值多項(xiàng)式設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)節(jié)點(diǎn)xi (i=0,1, ,n)互異互異, 插值條件插值條件Ln(xi)=yi11 特別地特別地, , 當(dāng)當(dāng) n =1時(shí)又叫線性插值時(shí)又叫線性插值, ,其幾何意義為其幾何意義為過(guò)兩點(diǎn)的直線過(guò)兩點(diǎn)的直線. . 當(dāng)當(dāng)n =2時(shí)又叫拋物插值時(shí)又叫拋物插值, , 其幾何意其幾何意義為過(guò)三點(diǎn)的拋物線義為過(guò)三點(diǎn)的拋物線. .可知其滿足可知其滿足()(0,1, )njjLxyjn ,稱為拉格朗

8、日稱為拉格朗日)()(xLxPnn 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式, , 由插值多項(xiàng)式的唯一性，得由插值多項(xiàng)式的唯一性，得12131)(0 niixl 值得注意的是值得注意的是, , 插值基函數(shù)插值基函數(shù)l i(x) (i=0,1, ,n)僅由插值僅由插值節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)xi (i=0,1, ,n)確定確定, ,與被插函數(shù)與被插函數(shù) f(x)無(wú)關(guān)無(wú)關(guān). .還應(yīng)注意還應(yīng)注意, ,對(duì)于插值節(jié)點(diǎn)對(duì)于插值節(jié)點(diǎn), ,只要求它們互異只要求它們互異, ,與大小次序與大小次序無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 以以 xi (i=0,1,n)為插值節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn), , 函數(shù)函數(shù) f(x) 1作插值作插值多項(xiàng)式多項(xiàng)式, , 則由插值多項(xiàng)式的唯一性立即得

9、到基函數(shù)的則由插值多項(xiàng)式的唯一性立即得到基函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)一個(gè)性質(zhì)14019141( )(9), ( )(4)495945xxlxxlxx 所以所以1137(7)2.65L 01,4,9,yx xx 7 例例1 1 已知已知 用線性插值求用線性插值求 近近 似值。似值。012,3,yy 基函數(shù)分別為基函數(shù)分別為:解解10 01 111( )( )( )2(9)3(4)55Lxy lxy lxxx 插值多項(xiàng)式為插值多項(xiàng)式為23(9)(4)55xx 1(6)5x 15)4)(3)(1(401)41)(31)(11()4)(3)(1()(0 xxxxxxxl)4)(3)(1(121)41)(31)(1

10、1()4)(3)(1()(1 xxxxxxxl)4)(1)(1(81)43)(13)(13()4)(1)(1()(2 xxxxxxxl)3)(1)(1(151)34)(14)(14()3)(1)(1()(3 xxxxxxxl)3, 4(),6, 3(),0 , 1(),2, 1( 例例2 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn) 的三次插值多項(xiàng)式。的三次插值多項(xiàng)式。4, 3, 1, 13210 xxxx解解 以以為節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)為節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)分別為分別為: :16)()()()()(332211003xlyxlyxlyxlyxL )3)(1)(1(1513)4)(1)(1(81)6()4)(3)(1(1210)4)(3)(

11、1(401)2( xxxxxxxxxxxx)3)(1)(1(51)4)(1)(1(43)4)(3)(1(201 xxxxxxxxx3423 xx17三、插值余項(xiàng)三、插值余項(xiàng) 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差Rn(x)=f (x) -Ln(x)也稱為插值多項(xiàng)式的余也稱為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。以下為拉格朗日余項(xiàng)定理。項(xiàng)。以下為拉格朗日余項(xiàng)定理。 定理定理1 設(shè)設(shè)f (x)在區(qū)間在區(qū)間a ,b上存在上存在n+1 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), xi a, b (i=0,1, , n) 為為n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)個(gè)互異節(jié)點(diǎn), 則對(duì)任何則對(duì)任何x a ,b, , 有有(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn

12、 ( , )a b 且與且與x 有關(guān)有關(guān)) )()(n0i1inxxx 其中其中18證證 由插值條件和由插值條件和 n+1(x) 的定義的定義, 當(dāng)當(dāng)x=xk 時(shí)時(shí), 式子顯然式子顯然成立成立, 且有且有 n+1(xk)=0 ( k=0,1,n ), 這表明這表明x0 , x1, , xn 都是函數(shù)都是函數(shù) n+1(x) 的零點(diǎn)的零點(diǎn), 從而從而1( )( )( )( )( )nntf tL tK xt (1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 其中其中K(x)是待定函數(shù)是待定函數(shù)。 對(duì)于任意固

13、定的對(duì)于任意固定的x a,b, x xk ,構(gòu)造自變量構(gòu)造自變量t 的輔助的輔助函數(shù)函數(shù)191( )( )( )( )( )nntf tL tK xt 由式由式 n+1(xk)=0 和式和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,n ), ,以及以及1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 可知：可知：x0 , x1, , xn和和x是是 (t) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上的上的n+2個(gè)互個(gè)互異零點(diǎn)異零點(diǎn), 因此根據(jù)羅爾因此根據(jù)羅爾(Rolle)定理定理, 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) = (x) (a,b), ,使使 (1)( )0n (1)( )( )(1)!nfK xn 即即(1)

14、1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 所以所以20在估計(jì)誤差時(shí)下列不等式很有用。在估計(jì)誤差時(shí)下列不等式很有用。),(, )()!1()(01baxxxnMxRniinn niinnnxxnfxLxfxR0)1()()!1()()()()( ),(,)(max)!1()(01baxxxnMxRniibxann 或或 xfMnbxan)1(1max 其中其中2115. 1425. 005. 02 xx,1)(xxf ，節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)4, 5 . 2, 2210 xxx)(xf求求的拋物插值多項(xiàng)式的拋物插值多項(xiàng)式, ,且計(jì)算且計(jì)算f (3)的近似值并估計(jì)誤差的近似值并估

15、計(jì)誤差。例例3 設(shè)設(shè)25. 0)4(, 4 . 0)5 . 2(, 5 . 0)2(210 fyfyfy解解 )45 . 2)(25 . 2()4)(2(4 . 0)42)(5 . 22()4)(5 . 2(5 . 0)(2 xxxxxL)5 . 24)(24()5 . 2)(2(25. 0 xx插值為多項(xiàng)式插值為多項(xiàng)式22于是于是 325. 0)3(2 xLf因?yàn)橐驗(yàn)?83)2()(max,64,24 fxfxxfx可得可得03125. 0)43)(5 . 23)(23(8361)3()3()3(22 LfR23例例4 已知已知 用線性插值計(jì)算用線性插值計(jì)算sin0.33333487. 03

16、4. 0sin,314567. 032. 0sin 解解 (1) 用線性插值用線性插值324027. 0)33487. 0314567. 0(2132. 034. 032. 033. 0333487. 034. 032. 034. 033. 0314567. 0)33. 0(33. 0sin1 L24第三節(jié)第三節(jié) 均差與牛頓插值公式均差與牛頓插值公式一、差商及其基本性質(zhì)一、差商及其基本性質(zhì)定義定義1 稱稱101010)()(,xxxfxfxxf 為為 f (x)在在x0、x1點(diǎn)的一階差商點(diǎn)的一階差商.一階差商的差商一階差商的差商202110210,xxxxfxxfxxxf 稱為函數(shù)稱為函數(shù)f

17、(x)在在x0、x1 、x2 點(diǎn)的二階差商點(diǎn)的二階差商.25一般地，一般地，n-1階差商的差商階差商的差商nnnnnnxxxxxfxxxfxxxf 01112010, 稱為稱為f (x)在在x0 , x1 , , xn點(diǎn)的點(diǎn)的 n 階差商。階差商。差商的計(jì)算步驟與結(jié)果可列成差商表，如下差商的計(jì)算步驟與結(jié)果可列成差商表，如下26xk函數(shù)值函數(shù)值一階差商一階差商二階差商二階差商三階差商三階差商. x0 x1 x2 x3 .f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) . f x0 , x1 f x1 , x2 f x2 , x3 . f x0, x1, x2 f x1, x2, x3 .

18、 f x0, x1, x2 , x3 .表表5-127這一性質(zhì)可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，它表明差商與節(jié)這一性質(zhì)可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，它表明差商與節(jié)點(diǎn)的排列次序無(wú)關(guān)，即點(diǎn)的排列次序無(wú)關(guān)，即 fx0 , x1 , x2 , ., xn= fx1 , x0 , x2 , ., xn= = fx1 , x2 , ., xn , x0 nknkkkkkkknxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(,性質(zhì)性質(zhì)1 差商可以表示為函數(shù)值的線性組合，即差商可以表示為函數(shù)值的線性組合，即稱之為差商的對(duì)稱性稱之為差商的對(duì)稱性。28性質(zhì)性質(zhì)2 若若f(x)在在a,b上存在上存在n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 且節(jié)點(diǎn)且節(jié)

19、點(diǎn)x0 , x1 , xn a,b ,則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn) a, b 滿足下式滿足下式!)(,)(10nfxxxfnn 例例1 f(x)=- -6x8+7x5- -10,求求f1,2, ,9及及f1,2, ,10. 解解 f (8)(x)=- -68 !, f 1,2, ,9=-6, f (9)(x)=0, f 1,2, ,10=0.29例例2 已知已知1215207431ix)(ixf計(jì)算三階差商計(jì)算三階差商 . 7 , 4 , 3 , 1 f30解解 做差商表做差商表7三三階階差差商商二二階階差差商商01425. 1 ix)(ixf所以所以25. 17 , 4 , 3 , 1 f1

20、3472151213141431二、牛頓插值多項(xiàng)式二、牛頓插值多項(xiàng)式如此繼續(xù)下去，可得一系列等式如此繼續(xù)下去，可得一系列等式設(shè)設(shè)x是是a，b上一點(diǎn)，由一階差商定義得上一點(diǎn)，由一階差商定義得000)()(,xxxfxfxxf 同理，由二階差商定義同理，由二階差商定義110010,xxxxfxxfxxxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf 得得)(,)()(000 xxxxfxfxf 得得3201010 , ,()nnnnf x xxf xxxf x xxxx )(,)()(000 xxxxfxfxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf )(,221021010 xxxxxx

21、fxxxfxxxf 依次把后式代入前式，最后得依次把后式代入前式，最后得00000100101001001201012012( )() ,()(),() ,()()(),(),()() ,()()()f xf xf x xxxf xf xxxxf x xxxxxxf xf xxxxf xxxxxxxf x xxxxxxxxx33)()(,)()()(,)(,)(,)()(,)(,)()(10021021010210010010100100nnnxxxxxxxxxfxNxxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxxxxxxxfxxxxfxfxf 001001201001( )(),()

22、,()(),()()nnnN xf xf x xxxf x x xxxxxf xxxxxx 其中其中34可見(jiàn)可見(jiàn), Nn(x)為次數(shù)不超過(guò)為次數(shù)不超過(guò)n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式,且易知且易知 Nn(x) 滿足滿足插值條件式插值條件式,故其為插值問(wèn)題的解故其為插值問(wèn)題的解,稱之為牛頓插值多項(xiàng)稱之為牛頓插值多項(xiàng)式。式。由插值多項(xiàng)式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項(xiàng)式由插值多項(xiàng)式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項(xiàng)式 是等價(jià)的是等價(jià)的,即即 Ln(x) Nn(x)35且有如下遞推形式且有如下遞推形式)()(,)()(1001 nnnnxxxxxxfxNxN和余項(xiàng)公式和余項(xiàng)公式)()(,)(010nnnxxxxx

23、xxxfxR )()()!1()(0)1(nnxxxxnf 由此即得性質(zhì)由此即得性質(zhì)2 2。且。且k010( ),()()nnnR xf xx xxxxxx36例例3 已知已知求滿足以上插值條件得牛頓型插值公式。求滿足以上插值條件得牛頓型插值公式。1121520743ix)(ixf37解解 在例在例1中，我們已經(jīng)計(jì)算出中，我們已經(jīng)計(jì)算出;25. 1,3210 xxxxf4, 1, 0)(210100 xxxfxxfxf則牛頓三次插值多項(xiàng)式為則牛頓三次插值多項(xiàng)式為2675.381425. 1)4)(3)(1(25. 1)3)(1(4)1(0)(233 xxxxxxxxxxN38xk f(xk)一

24、階差商一階差商二階差商二階差商三階差商三階差商四階差商四階差商0.40 0.55 0.65 0.80 0.900.4107 0.5781 0.6967 0.8881 1.02651.1160 1.1860 1.2757 1.38410.2800 0.3588 0.43360.1970 0.2137 0.0344例例5 已知已知f(x)=shx的數(shù)表的數(shù)表,求三次牛頓插值多項(xiàng)式求三次牛頓插值多項(xiàng)式,并由此并由此計(jì)算計(jì)算f(0.596)的近似值。的近似值。 39)55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(2 xxxxN解解 由上表可得過(guò)前三點(diǎn)的二次牛頓

25、插值多項(xiàng)式為由上表可得過(guò)前三點(diǎn)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為632010. 0)596. 0()596. 0(2 Nf故故40又又1970. 0,3210 xxxxf可得過(guò)前四點(diǎn)的三次牛頓插值多項(xiàng)式可得過(guò)前四點(diǎn)的三次牛頓插值多項(xiàng)式)65. 0)(55. 0)(40. 0(1970. 0)()(23 xxxxNxN6319145. 0)596. 0()596. 0(3 Nf故故)80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 0(0344. 0)(3 xxxxxR可得可得N3(x)的截?cái)嗾`差的截?cái)嗾`差631034. 0)596. 0( R0344. 0,40 xxf41差分與等距節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式差

26、分與等距節(jié)點(diǎn)的牛頓插值多項(xiàng)式 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在等距節(jié)點(diǎn)在等距節(jié)點(diǎn)xi=x0+ih (i=0,1, ,n)上的上的函數(shù)值為函數(shù)值為fi=f(xi)(h為步長(zhǎng)為步長(zhǎng))定義定義2 fi=fi+1-fi 和和 fi=fi-fi-1 分別稱為函數(shù)分別稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)xi處的一階向前差分和一階向處的一階向前差分和一階向后差分。后差分。 一般地一般地, f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) xi 處的處的 m 階向前差分和階向前差分和 m 階向階向后差分分別為后差分分別為 mfi= m-1fi+1- m-1fi 和和 mfi= m-1fi- m-1fi-142函數(shù)值函數(shù)值一階差分一階差分二階差分二階差分三階

27、差分三階差分四階差分四階差分. f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) f (x4) . f0 ( f1) f1 ( f2) f2 ( f3) f3 ( f4) . 2f0 ( 2f2) 2f1 ( 2f3) 2f2 ( 2f4) . 3f0 ( 3f3) 3f1 ( 3f4) . 4f0 ( 4f4) .表表5-243性質(zhì)性質(zhì)1 1 mfi= mfi+m性質(zhì)性質(zhì)2 2 111,!1,!miii mimmi mi miimf x xxfm hf xxxfm h差分有如下基本性質(zhì)差分有如下基本性質(zhì)44代入牛頓插值公式代入牛頓插值公式 ,可得可得)1()1(!)1(!2)()(00

28、2000 ntttnfttftffthxNxNnnn稱為牛頓向前插值公式，其余項(xiàng)為稱為牛頓向前插值公式，其余項(xiàng)為),()()!1()()1()()(0)1(10nnnnnxxfhnntttthxRxR 插值節(jié)點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)為 xi=x0+ih (i=0,1, ,n), 如果要計(jì)算如果要計(jì)算 x0附近點(diǎn)附近點(diǎn) x 處的函數(shù)值處的函數(shù)值f(x), 可令可令 x=x0+th (0 t 1)45 類似地類似地, 若計(jì)算若計(jì)算 xn 附近的函數(shù)值附近的函數(shù)值 f(x), 可令可令 x=xn+th (- 1 t 0) ，可得牛頓向后插值公式，可得牛頓向后插值公式)1()1(!)1(! 2)()(2 nttt

29、nfttftffthxNxNnnnnnnnn),(, )()!1()()1()()(0)1(1nnnnnnxxfhnntttthxRxR 及其余項(xiàng)及其余項(xiàng)46例例6 設(shè)設(shè) y=f(x)=ex, xi=1, 1.5, 2, 2.5, 3, 用三次插值多項(xiàng)式用三次插值多項(xiàng)式求求f(1.2) 及及f(2.8)的近似值的近似值.解解 相應(yīng)的函數(shù)值及差分表如下相應(yīng)的函數(shù)值及差分表如下: 0.4814 0.74210 1.22356 1.14396 1.88606 3.10962 1.76341 2.90347 4.79343 7.90305 2.71828 4.4816 7.28906 12.1824

30、20.0855四階差分四階差分三階差分三階差分二階差分二階差分一階差分一階差分函數(shù)值函數(shù)值47函數(shù)值函數(shù)值一階差分一階差分二階差分二階差分三階差分三階差分四階差分四階差分2.71828 4.48169 7.28906 12.1824 20.0855 1.76341 2.90347 4.79343 7.90305 1.14396 1.88606 3.10962 0.74210 1.22356 0.4814 求求f(1.2)用牛頓前插公式用牛頓前插公式, 且由且由 1.2=1+0.5t, 得得t=0.431.14396(1.2)(1.2)2.71828 1.76341 0.40.4 (0.4 1)

31、2!0.742100.4 (0.4 1)(0.4 2)3.33386323!fN 48求求f(2.8)用牛頓后插公式用牛頓后插公式,且由且由 2.8=3+0.5t, 得得 t= -0.43(2.8)(2.8)3.1096220.085547.90305 ( 0.4)( 0.4) ( 0.4 1)2!1.22356( 0.4) ( 0.4 1)( 0.42)15.76808723!fN 49第四節(jié)第四節(jié) 埃爾米特埃爾米特(Hermite)插值插值n一、一、 埃爾米特插值多項(xiàng)式埃爾米特插值多項(xiàng)式 為了使插值函數(shù)能更好的切合原來(lái)的函數(shù)，許多問(wèn)為了使插值函數(shù)能更好的切合原來(lái)的函數(shù)，許多問(wèn)題不但要求節(jié)點(diǎn)

32、上的函數(shù)值相等，還要求導(dǎo)數(shù)值相同題不但要求節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值相等，還要求導(dǎo)數(shù)值相同，甚至高階導(dǎo)數(shù)也相等，這類插值問(wèn)題稱為埃爾米特，甚至高階導(dǎo)數(shù)也相等，這類插值問(wèn)題稱為埃爾米特插值。插值。50 xi a, b (i=0,1, , n) 為為n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)個(gè)互異節(jié)點(diǎn),考慮函數(shù)值考慮函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)個(gè)數(shù)相等的情況。與導(dǎo)數(shù)個(gè)數(shù)相等的情況。 jjxfy jjxfm nj, 0 我們要求插值多項(xiàng)式我們要求插值多項(xiàng)式H(x)滿足滿足jjjjmxHyxH )(,)(共共2n+2個(gè)條件，可確定次數(shù)不超過(guò)個(gè)條件，可確定次數(shù)不超過(guò)2n+1的多項(xiàng)式。的多項(xiàng)式。51 ), 1 , 0,(, 0nkjxxjkkk 滿足上述條件

33、的插值多項(xiàng)式可以寫(xiě)成用插值基函數(shù)滿足上述條件的插值多項(xiàng)式可以寫(xiě)成用插值基函數(shù)表示的形式表示的形式 njjjjjnxmxyxH012)()()( 52對(duì)插值基函數(shù)先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)數(shù)得，對(duì)插值基函數(shù)先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)數(shù)得，535455基函數(shù)滿足下列插值條件基函數(shù)滿足下列插值條件)(, )(, )(, )(1010 xxxx 001(0)()0(1)()0(0,1)iiixixi 33()(0,1)()iiiiHxyiHxm H3(x)稱為三次埃爾米特插值多項(xiàng)式稱為三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。56110(0)()1(1)()0(0,1)iiixixi 001(0)()0(1)()0(0,1)iiixixi 1

34、10(0)()1(1)()0(0,1)iiixixi 57 條條 件件 函函 數(shù)數(shù)函數(shù)值函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值x0 x1x0 x1 0(x)1000 1(x)0100 0(x)0010 1(x)0001表表2-3即即58210100)()(xxxxxxx ,)(21 )(21010100 xxxxxxxxx 201011)()(xxxxxxx ,)(21)(20101011xxxxxxxxx 2201000022101111( )12 ( )( )( )()( )( )12 ( )( )( )()( )xlx lxxxxlxxlx lxxxxlx 即即)(),(10 xlxl插值點(diǎn)的插值點(diǎn)的Lag

35、range),(),(1100yxyx為為以以一次基函數(shù)一次基函數(shù). 59可得滿足條件的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式為可得滿足條件的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式為300110011( )( )( )( )( )Hxyxyxmxmx 20101121010020101011210101003)()()(21)(21)(xxxxxxmxxxxxxmxxxxxxxxyxxxxxxxxyxH 定理定理3 滿足條件式滿足條件式 的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式存在且唯一。的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式存在且唯一。33(),()(0,1)iiiiHxy Hxmi 60二、誤差估計(jì)二、誤差估計(jì)定理定理4 設(shè)設(shè)f(x)在包含在包含x0

36、、x1的區(qū)間的區(qū)間a,b內(nèi)存在四階導(dǎo)內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)數(shù)，則當(dāng)xa,b時(shí)有時(shí)有(4)2233011( )( )( )( )() ()4!R xf xH xfxxxx ( , )a b 且與且與x有關(guān)有關(guān))61例例1 已知已知f(x)=x1/2在在X=121和和144時(shí)的函數(shù)值及其一階導(dǎo)時(shí)的函數(shù)值及其一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)據(jù)見(jiàn)下表數(shù)的數(shù)據(jù)見(jiàn)下表,用埃爾米特插值公式計(jì)算用埃爾米特插值公式計(jì)算1251/2的近似的近似值值,并估計(jì)其截?cái)嗾`差并估計(jì)其截?cái)嗾`差.6263得得3125(125)11.18035H 由由2/7)4(1615)(xxf 可求得可求得 2233322221112( )22191442652

37、12123231112114414412122 2324 23Hxxxxxxxxx 64例例26566第五節(jié)第五節(jié) 分段低次插值分段低次插值67686970,)(10baCxIh ., 0,)(20nkfxIkkh 是線性函數(shù)。是線性函數(shù)。在每個(gè)區(qū)間在每個(gè)區(qū)間,)(310 kkhxxxI滿滿足足已已知知。求求一一折折線線函函數(shù)數(shù)上上的的函函數(shù)數(shù)值值。在在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)連連接接起起來(lái)來(lái)逼逼近近函函數(shù)數(shù)插插值值節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)用用折折線線段段分分段段線線性性插插值值就就是是通通過(guò)過(guò))(), 1 , 0()(xIfnixxfhii 一、分段線性插值一、分段線性插值71)(xIh,1 kkxx由定義知由定義知 在每

38、個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間上可以表示為上可以表示為 72 , 00(,0(,)(11111111jjjjjjjjjjjjjxxxbaxjxxxxxxxjxxxxxxxxl略略去去）略略去去） njjjhxlfxI0)()(分段線性插值多項(xiàng)式分段線性插值多項(xiàng)式基函數(shù)基函數(shù)73分段線性插值在區(qū)間分段線性插值在區(qū)間xi，xi+1上的余項(xiàng)估計(jì)式為上的余項(xiàng)估計(jì)式為 , , , ,) )( (m ma ax x) ) )( ( (! !) )( () )( () )( (1211182 iixxxiiixxxxfhxxxxfxPxfii 一致收斂定理一致收斂定理：設(shè)：設(shè) ， 在在a,b上一致收斂到上一致收斂到

39、。,)(baCxf )(xIh)(xf74例例1 已知函數(shù)已知函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上取等上取等 距插值節(jié)點(diǎn)（如下表）距插值節(jié)點(diǎn)（如下表）, 求區(qū)間求區(qū)間 上分段線性插上分段線性插值函數(shù)，并利用它求出值函數(shù)，并利用它求出 的近似值的近似值211)(xxfy 5 , 05 , 0)5 . 4(fix1iy0.038460.058820.10.20.51543201, ii解解 在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間 上上， )()1()1()1()1()(11ixyiyiiixyiiixyxPiiii 75于是于是04864. 0)4(03846. 0)5(05882. 0)5 . 4( xxP )4(0384

40、6. 0)5(05882. 0)3(05882. 0)4(1 . 0)2(1 . 0)3(2 . 0)1(2 . 0)2(5 . 05 . 0)1()(xxxxxxxxxxxP 5 , 44 , 33 , 22 , 11 , 0 xxxxx76二、分段三次二、分段三次Hermite插值插值xi，xi+1作埃爾米特插值，得作埃爾米特插值，得),.,1 , 0)(),(nixfmxfyiiii在每個(gè)子區(qū)間在每個(gè)子區(qū)間20101121010020101011210101003)()()(21)(21)(xxxxxxmxxxxxxmxxxxxxxxyxxxxxxxxyxH 77顯然，顯然，H3(x)

41、滿足插值條件滿足插值條件 H3(xi)=yi，階導(dǎo)數(shù)連續(xù)階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。),.,1 ,0()(i3nimxHi在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)ix處一處一78分段三次埃爾米特插值在區(qū)間分段三次埃爾米特插值在區(qū)間xi，xi+1上的余上的余項(xiàng)估計(jì)式為項(xiàng)估計(jì)式為79一致收斂定理一致收斂定理80-0.16-0.500.20.51210ixiyim例例3 已知函數(shù)已知函數(shù) , ,在區(qū)間在區(qū)間 上取等距上取等距插值節(jié)點(diǎn)（如下表插值節(jié)點(diǎn)（如下表),),求區(qū)間求區(qū)間 上分段三次上分段三次 埃爾米特插值函數(shù)埃爾米特插值函數(shù), ,并利用它求出并利用它求出 的近似值的近似值)5 . 1(f 3 , 03 , 0)1(1)(2xxfy 81

42、解解 ,由式由式(4) ,在每在每 個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間 上上1 ih1, ii 212212)(1() 1( )()(1( 21 ) 1()(21)(ixixmixixmixixyixixyxHiiii 于是于是 2222)1)(3314(04. 0)2(5 . 0)34(5 . 0)1)(21()(xxxxxxxxxH2 , 11 , 0 xx82 22)15 . 1)(335 . 114(04. 0)25 . 1(5 . 15 . 0)5 . 1(5 . 1 Hf3125. 0 83定義定義 給定區(qū)間給定區(qū)間a，b的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分 a=x0 x1.xn-1xn=b，如果函數(shù)如果函數(shù)S(x

43、)滿足：滿足：在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間xi，xi+1(i=0,1,.,n-1)上是三次多項(xiàng)式。上是三次多項(xiàng)式。在每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)在每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)xi(i=1,2,.,n-1)上上第六節(jié)第六節(jié) 樣條插值樣條插值n一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 84具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則稱具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則稱S(x)為關(guān)于上述劃分的為關(guān)于上述劃分的一個(gè)三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)，簡(jiǎn)稱三次樣條。一個(gè)三次多項(xiàng)式樣條函數(shù)，簡(jiǎn)稱三次樣條。S(x)在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間xi，xi+1上是一個(gè)三次多上是一個(gè)三次多項(xiàng)式，因此需要確定四個(gè)待定常數(shù)，一共有項(xiàng)式，因此需要確定四個(gè)待定常數(shù)，一共有n個(gè)個(gè)小區(qū)間故應(yīng)確定小區(qū)間故應(yīng)確定4n個(gè)系數(shù)，個(gè)系數(shù)，S

44、(x)在在n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)上個(gè)節(jié)點(diǎn)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，應(yīng)滿足條件具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，應(yīng)滿足條件85)1, 2 , 1()0()0()0()0()0()0( nixSxSxSxSxSxSiiiiii86二、三彎矩方程二、三彎矩方程Mi來(lái)求來(lái)求S(x)的方法稱為三彎矩法的方法稱為三彎矩法。),.,1 , 0()(niMxSii 為參數(shù)為參數(shù),這種通過(guò)確定這種通過(guò)確定設(shè)設(shè)iiiiiihxxMhxxMxS 11) )( ( 在在xi，xi+1上是一次多項(xiàng)式且可表示為上是一次多項(xiàng)式且可表示為)(xS 積分兩次并利用積分兩次并利用 S(xi)=yi S(xi+1)=yi+1定出積分常數(shù)得定出積分常數(shù)得對(duì)對(duì))(x

45、S 87) )( () ), , , ,( ( , , ) )( () )( () )( () )( () )( (2861106666121112311nixxxhMyhxxhMyhxxMhxxMxSiiiiiiiiiiiiiiii為了使為了使 S(x) 成為所求的三次樣條，同時(shí)為了成為所求的三次樣條，同時(shí)為了確定參數(shù)確定參數(shù) Mi ，對(duì)，對(duì)S(x) 求導(dǎo)得求導(dǎo)得iiiiiiiiiiiihMMhyyhxxMhxxMxS62)(2)()(112121 88所以所以) )( () )( () )( () )( (30636029663011111iiiiiiiiiiiiiiiihyyMhMhxS

46、hyyMhMhxS) )( () ), , , ,( (316121211nidMMMiiiiii 得得(i=1,2,.,n-1) )( () )( (00iixSxS由由89) 1, 2 , 1(6) 1, 2 , 1(1(1111111 nihyyhyyhhdnihhhhhhiiiiiiiiiiiiiiiiii 1 1、I I 型樣條函數(shù)型樣條函數(shù)，由公式，由公式(6-29)、(6-30) 得得nnmxSmxS) )( (, ,) )( (00已知已知90即即) ) )( () )( () )( ( () )( (34666336221110001001010nnnnnnnnnhyymhd

47、mhyyhddMMdMM) )( () )( () )( (326366311111001100000nnnnnnnnnhyyMhMhxSmhyyMhMhxSm91合并式合并式(6-31)、(6-33)有有) )( (3562122121101101111nnnnnnddddMMMM 從中解出從中解出Mi(i=0,1,.,n)代入式代入式(6-28)得得 I 型三次樣條型三次樣條S(x)。922、II 型樣條函數(shù)型樣條函數(shù)M0、Mn已知，故方程組已知，故方程組(6-31)為為從中解出從中解出 Mi(i=1,2,.,n-1) 代入式代入式(6-28)得得 II 型三次樣條型三次樣條S(x)。93

48、3、III III 型樣條函數(shù)型樣條函數(shù)111110001100036)0()0(63 nnnnnnnnhyyMhMhxSxShyyMhMh，則由公則由公式式(6-29)、(6-30)得得) )( () )( (000nxSxS已知已知94整理得整理得) )( (376211nnnnndMMM 其中其中) )( (38661110011011100nnnnnnnonnnnhyyhyyhhdhhhhhh 9596三、三轉(zhuǎn)角方程三、三轉(zhuǎn)角方程設(shè)設(shè)), 1 ,0()(nimxSii定定im為參數(shù)，這種通過(guò)確為參數(shù)，這種通過(guò)確來(lái)求來(lái)求S(x)的方法叫三轉(zhuǎn)角法的方法叫三轉(zhuǎn)角法。用前面介紹的分段埃爾米特插

49、值，得到在用前面介紹的分段埃爾米特插值，得到在iixx, ,1上上S(x)的表達(dá)式為的表達(dá)式為) )( () )( () )( (. .) )( () )( () )( (4062121211211211112111iiiiiiiiiiiiiiiiimhxxxxhxxxxyhxxhxxyhxxhxxxS97) )( (xS iiiiiiiiyxxhhyxxhh) )( () )( (1312113121126126iiiiiiiimxxhhmxxhh) )( () )( (121112116262所以所以) )( ( ixSiiiiiiiimhmhyhyh111211214266) )( (

50、ixS11222466iiiiiiiimhmhyhyh同理同理98其中其中：iiiiiiiiihhhhhh1111 , ,1113iiiiiiixxfxxfg, , , ) ), , , ,( (121ni(6-42)同三彎矩方程一樣，有三種條件：同三彎矩方程一樣，有三種條件：1、已知、已知,)(,)(00nnmxfmxf則方程組化為則方程組化為：) ) )( (, , , ,( (416121211nigmmmiiiiii ) )( (ixS得得：) ), ,( ( ixS由由S(x)二階連續(xù)可微，即二階連續(xù)可微，即99)436(222211220111221122221 nnnnnnnnn

51、mgggmgmmmm 2、已知、已知00 ) )( () )( (nxSxS由由00 ) )( (xS可得可得 1010,32xxfmm 由由0 ) )( (nxS可得可得nnnnxxfmm, ,1132100101032xxfmm, ,于是有于是有iiiiiigmmm112 ) ) )( (, , ,( (446121ninnnnxxfmm, ,1132) )( (4562122121101101111nnnnnnggggmmmm 即矩陣形式為即矩陣形式為：101其中其中 nnnxxfgxxfg,3,31100 3、已知、已知)()(),()(),()(000nnnxSxSxSxSxSxS

52、則有則有：nmm 0 )466(13213111211000120 nnnnnnmmhyyhmmhyyh102)476(2222121121112211 nnnnnnnnggggmmmm 103 )max()506()(max83)()(max)496()(max241)()(max)486()(max3845)()(max10)4(2)4(3)4(4inibxabxabxabxabxabxahhxfhxSxfxfhxSxfxfhxSxf 則其則其I 型和型和II 型三次樣條插值函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的型三次樣條插值函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的誤差有如下估計(jì)式誤差有如下估計(jì)式設(shè)設(shè) f(x) 在在a，b上有直到四階的連續(xù)導(dǎo)