狀態(tài)重構(gòu)問題與Luenberger狀態(tài)觀測(cè)器

1、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)第五章(講義) 5.5 狀態(tài)重構(gòu)問題與Luenberger狀態(tài)觀測(cè)器前已指出，對(duì)于狀態(tài)完全能控的線性定常系統(tǒng)，可以通過線性狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)。事實(shí)上，不僅是極點(diǎn)配置，而且系統(tǒng)鎮(zhèn)定、解耦控制、線性二次型最優(yōu)控制 (LQ)問題等，也都可由狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)。然而，在5.2 節(jié)介紹極點(diǎn)配置方法時(shí)，曾假設(shè)所有的狀態(tài)變量均可有效地用于反饋。但在實(shí)際情況中，并非所有的狀態(tài)度變量都可用于反饋。這時(shí)需要估計(jì)不可量測(cè)的狀態(tài)變量。迄今已有多種無需使用微分來估計(jì)不能量測(cè)狀態(tài)的方法。對(duì)不能量測(cè)狀態(tài)變量的估計(jì)通常稱為觀測(cè)。估計(jì)或者觀測(cè)狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)稱為狀態(tài)觀測(cè)器，或簡(jiǎn)稱觀測(cè)器。觀測(cè)器分為全維狀

2、態(tài)觀測(cè)器降維狀態(tài)觀測(cè)器最小階狀態(tài)觀測(cè)器或最小階觀測(cè)器5.5.1 問題的提法在下面有關(guān)狀態(tài)觀測(cè)器的討論中，我們用表示被觀測(cè)的狀態(tài)向量。在許多實(shí)際情況中，一般將被觀測(cè)的狀態(tài)向量用于狀態(tài)反饋，以便產(chǎn)生期望的控制輸入?？紤]如下線性定常系統(tǒng)(5.27)(5.28) 假設(shè)狀態(tài)向量可由如下動(dòng)態(tài)方程(5.29)中的狀態(tài)來近似，則該式表示狀態(tài)觀測(cè)器，其中稱為觀測(cè)器的增益矩陣。注意到狀態(tài)觀測(cè)器的輸入為和，輸出為。式（5.29）中右端最后一項(xiàng)包括可量測(cè)輸出與估計(jì)輸出之差的修正項(xiàng)。矩陣起到加權(quán)矩陣的作用。修正項(xiàng)監(jiān)控狀態(tài)變量。當(dāng)此模型使用的矩陣A和B與實(shí)際系統(tǒng)使用的矩陣A和B之間存在差異時(shí)，由于動(dòng)態(tài)模型和實(shí)際系統(tǒng)之間的

3、差別，該附加修正項(xiàng)將減小這些影響。圖5.5所示為帶全維狀態(tài)觀測(cè)器的系統(tǒng)方塊圖。圖5.5 全維狀態(tài)觀測(cè)器方塊圖5.5.2 全維狀態(tài)觀測(cè)器的誤差方程在此討論的狀態(tài)觀測(cè)器的階數(shù)和系統(tǒng)的階數(shù)相等。假設(shè)系統(tǒng)由式（5.27）和（5.28）定義。觀測(cè)器的方程由式（5.29）定義。為了得到觀測(cè)器的誤差方程，將式（5.27）減去式（5.29），可得(5.30) 定義與之差為誤差向量，即則式（5.30）可改寫為(5.31) 由式（5.31）可看出，誤差向量的動(dòng)態(tài)特性由矩陣的特征值決定。如果矩陣是穩(wěn)定矩陣，則對(duì)任意初始誤差向量，誤差向量都將趨近于零。也就是說，不管和的值如何，都將收斂到。如果所選的矩陣的特征值使得誤

4、差向量的動(dòng)態(tài)特性漸近穩(wěn)定且足夠快，則任意誤差向量都將以足夠快的速度趨近于零 (原點(diǎn))，此時(shí)將稱為的漸近估計(jì)或重構(gòu)。如果系統(tǒng)完全能觀測(cè)，下面將證明可以通過選擇，使得具有任意的期望特征值。也就是說，可以確定觀測(cè)器的增益矩陣，以便產(chǎn)生期望的矩陣。5.5.3 對(duì)偶問題全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問題，是確定觀測(cè)器增益矩陣，使得由式（5.31）定義的誤差動(dòng)態(tài)方程，以足夠快的響應(yīng)速度漸近穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定性和誤差動(dòng)態(tài)方程的響應(yīng)速度由矩陣的特征值決定）。因此，全維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)就歸結(jié)為如何確定一個(gè)合適的，使得具有期望的特征值。此時(shí)，全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問題實(shí)際上就變成了與5.2節(jié)討論的極點(diǎn)配置相同的問題?？紤]如下的線性定

5、常系統(tǒng)在設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器時(shí)，我們可以求解其對(duì)偶問題。也就是說，求解如下對(duì)偶系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題。假設(shè)控制輸入為 如果對(duì)偶系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可確定狀態(tài)反饋增益矩陣K，使得反饋閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣得到一組期望的特征值。如果,是狀態(tài)觀測(cè)器系統(tǒng)矩陣的期望特征值，則可通過取相同的作為其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征值，從而 注意到和的特征值相同，即有 比較特征多項(xiàng)式和觀測(cè)器的系統(tǒng)矩陣（參見式（5.31）的特征多項(xiàng)式，可找出和的關(guān)系為因此，觀測(cè)器問題與極點(diǎn)配置問題具有對(duì)偶關(guān)系，即 在下面的討論中，我們就可將給定線性定常系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題，考慮為其對(duì)偶系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題，即首先由極點(diǎn)配置方法確定

6、出其對(duì)偶系統(tǒng)的極點(diǎn)配置增益矩陣K，然后利用關(guān)系式，確定出原系統(tǒng)的觀測(cè)器增益矩陣K。5.5.4 可觀測(cè)條件如前所述，對(duì)于使具有期望特征值的觀測(cè)器增益矩陣的確定，其充要條件為原給定系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。該對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控的充要條件為的秩為n 。而這正是由式(5.27)和(5.28)定義的原系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測(cè)性條件。這意味著。由式（5.27）和(5.28)定義的系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器存在的充要條件是系統(tǒng)完全能觀測(cè)。下面將利用上述對(duì)偶關(guān)系，介紹全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)算法，包括相應(yīng)的Bass-Gura算法、直接代入法，以及愛克曼公式。5.5.5 全維狀態(tài)觀測(cè)器的Bass-Gura算法考慮由下式

7、定義的單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)(5.32)(5.33)式中，。假設(shè)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測(cè)的，又設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5.5所示。在設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器時(shí)，若將式(5.32)、(5.33)給出的系統(tǒng)變換為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形，則相應(yīng)的設(shè)計(jì)問題就相當(dāng)方便了。考慮對(duì)偶關(guān)系，將式（5.32）和（5.33）的系統(tǒng)變換為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形，可按下列步驟進(jìn)行，即首先定義一個(gè)變換矩陣P，使得(5.34)式中R是能觀測(cè)性矩陣(5.35)且對(duì)稱矩陣W由式（5.6）定義，即式中，是由式（5.32）給出的如下特征方程的系數(shù) 顯然，由于假設(shè)系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的，所以矩陣WR的逆存在?，F(xiàn)定義一個(gè)新的n維狀態(tài)向量 (5.36)則式（5.32）和（5.

8、33）為(5.37)(5.38)式中(5.39)(5.40)(5.41)式（5.39）到（5.41）的推導(dǎo)見例5.7和5.8，此時(shí)式（5.37）和（5.38）即是能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。從而給定一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程，如果系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的，并且通過采用式（5.36）的變換，將原系統(tǒng)的狀態(tài)向量變換為新的狀態(tài)向量，則可將給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程變換為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。注意，如果矩陣A已經(jīng)是能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形，則P = I。如前所述，選擇由=(5.42)給出的狀態(tài)觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程。現(xiàn)定義(5.43) 將式（5.43）代入式（5.42），有(5.44) 由式（5.37）減去式（5.44），可得(5.45)定義

9、則式（5.45）為(5.46)要求誤差動(dòng)態(tài)方程是漸近穩(wěn)定的，且以足夠快的速度趨于零。因此，確定矩陣的步驟是：首先選擇觀測(cè)器的極點(diǎn)（的特征值），然后確定，使其等于期望的觀測(cè)器極點(diǎn)。注意，可得式中由于是一個(gè)n維向量，則令(5.47) 參考式（5.41），有和特征方程為即或者(5.48)可見，每個(gè)i只與特征方程中的一個(gè)系數(shù)有關(guān)。 假設(shè)誤差動(dòng)態(tài)方程的期望特征方程為 (5.49)注意，期望的特征值確定了被觀測(cè)狀態(tài)以多快的速度收斂于系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)。比較式（5.48）和(5.49)的s同冪項(xiàng)的系數(shù)，可得從而可得 于是，由式（5.47）得到因此(5.50)式（5.50）確定了所需的狀態(tài)觀測(cè)器增益矩陣。如前所述

10、，式（5.50）也可通過其對(duì)偶問題由式（5.13）得到。也就是說，考慮對(duì)偶系統(tǒng)的極點(diǎn)配置問題，并求出對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣K。那么，狀態(tài)觀測(cè)器的增益矩陣可由確定（見例5.16）。一旦選擇了期望的特征值（或期望的特征方程），只要系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)，就能設(shè)計(jì)出全維狀態(tài)觀測(cè)器。Luenberger曾經(jīng)指出，當(dāng)觀測(cè)器期望極點(diǎn)的選擇，使衰減太快，即使特征值的實(shí)部太負(fù)，將導(dǎo)致觀測(cè)器的作用接近于一個(gè)微分器，從而使頻帶加寬，不能容忍地將高頻噪聲分量放大，而且也存在觀測(cè)器的可實(shí)現(xiàn)性問題 (因?yàn)樗p速度太快，則矩陣較大)，因此Luenberger建議，進(jìn)行觀測(cè)器本身的極點(diǎn)配置時(shí)，只需使觀測(cè)器的期望極點(diǎn)比由此組

11、成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)的特征值稍大一些即可。一般地，選擇的期望特征值，應(yīng)使?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的響應(yīng)速度至少比所考慮的閉環(huán)系統(tǒng)快2-5倍。如前所述，全維狀態(tài)觀測(cè)器的方程為(5.51) 注意，迄今為止，我們假設(shè)觀測(cè)器中的矩陣A和B與實(shí)際系統(tǒng)中的嚴(yán)格相同。實(shí)際上，這做不到。因此，誤差動(dòng)態(tài)方程不可能由式（5.46）給出，這意味著誤差不可能趨于零。因此，應(yīng)盡量建立觀測(cè)器的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型，以使相應(yīng)的誤差小到令人滿意的程度。5.5.6 求狀態(tài)觀測(cè)器增益矩陣的直接代入法與極點(diǎn)配置算法的情況類似，如果系統(tǒng)是低階的()，可將矩陣直接代入期望的特征多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算。例如，若是一個(gè)3維向量，則觀測(cè)器增益矩陣可寫為 將該代入期望的特征多

12、項(xiàng)式 通過使上式兩端s的同次冪系數(shù)相等，即可確定出、和的值。如果n =1,2或者3，其中n是狀態(tài)向量的維數(shù)，則該方法十分簡(jiǎn)便（雖然該方法可應(yīng)用于n = 4, 5, 6, 的情況，但計(jì)算有可能非常繁瑣）。5.5.7 愛克曼公式(Ackermanns Formula)考慮如下的單輸出線性定常系統(tǒng)(5.52)(5.53) 在5.2節(jié)中，我們已推導(dǎo)了用于式（5.52）系統(tǒng)極點(diǎn)配置的愛克曼公式，其結(jié)果已由式（5.18）給出，現(xiàn)重寫為 對(duì)于由式（5.52）和(5.53)定義的對(duì)偶系統(tǒng)上述極點(diǎn)配置的愛克曼公式可改寫為(5.54)由于狀態(tài)觀測(cè)器的增益矩陣可由給出，這里的由式（5.54）確定。從而(5.55)式

13、中，是狀態(tài)觀測(cè)5器的期望特征多項(xiàng)式，即這里，, , ,是期望的特征值。式（5.55）稱為確定觀測(cè)器增益矩陣的愛克曼公式。5.5.8 最優(yōu)選擇的注釋參考圖5.5，應(yīng)當(dāng)指出，作為對(duì)觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程修正的觀測(cè)器增益矩陣，通過反饋信號(hào)來考慮系統(tǒng)中的未知因素。如果含有明顯的未知因素，那么利用矩陣的反饋信號(hào)也應(yīng)該比較大。然而另一方面，如果由于干擾和測(cè)量噪聲使輸出信號(hào)受到嚴(yán)重干擾，則輸出是不可靠的。因此，由矩陣引起的的反饋信號(hào)應(yīng)該比較小。在決定矩陣時(shí)，應(yīng)該仔細(xì)檢查包含在輸出中的干擾和噪聲的影響。應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是觀測(cè)器增益矩陣依賴于期望的特征方程在許多情況中，, , ,的選取不是唯一的。有許多不同的特征方程可選作為期

14、望的特征方程。對(duì)于每個(gè)期望的特征方程，可有不同的觀測(cè)器增益矩陣。在設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器時(shí)，最好在幾個(gè)不同的期望特征方程的基礎(chǔ)上決定觀測(cè)器增益矩陣。 對(duì)不同的矩陣必須進(jìn)行仿真驗(yàn)證，以評(píng)估系統(tǒng)的最終性能。當(dāng)然，應(yīng)從系統(tǒng)總體性能的觀點(diǎn)來選取最好的。在許多實(shí)際問題中，最優(yōu)矩陣的選取，歸結(jié)為對(duì)快速響應(yīng)及對(duì)干擾和噪聲靈敏性之間的一種折衷。-例5.2 考慮如下的線性定常系統(tǒng)式中設(shè)計(jì)一個(gè)全維狀態(tài)觀測(cè)器。設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與圖5.5所示相同。又設(shè)觀測(cè)器的期望特征值為 由于狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)實(shí)際上歸結(jié)為確定一個(gè)合適的觀測(cè)器增益矩陣，為此先檢驗(yàn)?zāi)苡^測(cè)性矩陣，即的秩為2。因此，該系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的，并且可確定期望的觀測(cè)器增益矩陣。我

15、們將用3種方法來求解該問題。解 方法1：采用式（5.50）來確定觀測(cè)器的增益矩陣。由于該狀態(tài)空間表達(dá)式已是能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形，因此變換矩陣。由于給定系統(tǒng)的特征方程為因此觀測(cè)器的期望特征方程為因此 故觀測(cè)器增益矩陣可由式（5.50）求得如下 方法2：參見式（5.31）觀測(cè)器的特征方程為 定義則此時(shí)特征方程為(5.56)由于期望的特征方程為比較式（5.56）和以上方程，可得即 方法3：采用式（5.55）給出的愛克曼公式。式中因此從而 當(dāng)然，無論采用什么方法，所得的都是相同的。 全維狀態(tài)觀測(cè)器由式（5.51）給出為或者- 與極點(diǎn)配置的情況類似，如果系統(tǒng)階數(shù)n 4，則推薦使用方法1和3，這是因?yàn)樵诓捎梅椒?

16、和3時(shí)，所有矩陣都可由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，而方法2總是需要手工計(jì)算包含未知參數(shù)的特征方程。5.5.9 系統(tǒng)設(shè)計(jì)的分離性原理：觀測(cè)器的引入對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的影響在極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)過程中，假設(shè)真實(shí)狀態(tài)可用于反饋。然而實(shí)際上，真實(shí)狀態(tài)可能無法量測(cè)，所以必須設(shè)計(jì)一個(gè)觀測(cè)器，并且將觀測(cè)到的狀態(tài)用于反饋，如圖5.6 觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)圖5.6所示。因此，該設(shè)計(jì)過程分為兩個(gè)階段，第一個(gè)階段是確定反饋增益矩陣K，以產(chǎn)生期望的反饋閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程；第二個(gè)階段是確定觀測(cè)器的增益矩陣，以產(chǎn)生期望的觀測(cè)器特征方程。現(xiàn)在不采用真實(shí)狀態(tài)而采用觀測(cè)或重構(gòu)的狀態(tài)來研究對(duì)閉環(huán)反饋系統(tǒng)特征方程的影響?？紤]如下線性定常系統(tǒng)且假定該系統(tǒng)狀態(tài)完

17、全能控且完全能觀測(cè)。 對(duì)基于重構(gòu)狀態(tài)的線性狀態(tài)反饋控制 利用該控制，狀態(tài)方程為(5.57) 將真實(shí)狀態(tài)和重構(gòu)狀態(tài)之差定義為誤差，即將誤差向量代入式（5.57），得（5.58） 注意，觀測(cè)器的誤差方程由式（5.31）給出，重寫為（5.59） 將式（5.58）和(5.59)合并，可得(5.60) 式（5.60）描述了帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。該系統(tǒng)的特征方程為或注意，觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)由極點(diǎn)配置單獨(dú)設(shè)計(jì)產(chǎn)生的極點(diǎn)和由觀測(cè)器單獨(dú)設(shè)計(jì)產(chǎn)生的極點(diǎn)兩部分組成。這意味著，極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)計(jì)是相互獨(dú)立的，它們可分別進(jìn)行設(shè)計(jì)，并合并為觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)。通常稱這個(gè)性質(zhì)為系統(tǒng)設(shè)計(jì)的

18、分離性原理，這就給閉環(huán)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來了極大的方便。注意，如果系統(tǒng)的階次為n，則觀測(cè)器的階次也是n（如果采用全維狀態(tài)觀測(cè)器），因此整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的階次或特征方程為2n階。由狀態(tài)反饋（極點(diǎn)配置）選擇所產(chǎn)生的期望閉環(huán)極點(diǎn)，應(yīng)使系統(tǒng)滿足性能要求。觀測(cè)器極點(diǎn)的選取通常使得觀測(cè)器響應(yīng)比系統(tǒng)的響應(yīng)快得多。一個(gè)經(jīng)驗(yàn)法則是選擇觀測(cè)器的響應(yīng)至少比系統(tǒng)的響應(yīng)快2-5倍。因?yàn)橛^測(cè)器通常不是硬件結(jié)構(gòu)，而是計(jì)算軟件，所以它可以加快響應(yīng)速度，使重構(gòu)狀態(tài)迅速收斂到真實(shí)狀態(tài)，觀測(cè)器的最大響應(yīng)速度通常只受到控制系統(tǒng)中的噪聲和靈敏性的限制。注意，由于在極點(diǎn)配置中，觀測(cè)器極點(diǎn)位于期望的閉環(huán)極點(diǎn)的左邊，所以后者在響應(yīng)中起主導(dǎo)作用。4.5

19、.10 控制器-觀測(cè)器的傳遞函數(shù) 考慮如下線性定常系統(tǒng)且假設(shè)該系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測(cè)，但不能直接量測(cè)。又設(shè)采用觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制為(5.61)如圖5.6所示，則觀測(cè)器方程為(5.62)對(duì)式(5.61)取拉普拉斯變換，則有(5.63) 由式(5.62)定義的觀測(cè)器方程的拉普拉斯變換為(5.64) 設(shè)初始觀測(cè)狀態(tài)為零，即。將式（5.63）代入式（5.64），并對(duì)(s)求解，可得（5.65）將上述方程代入式（5.63），可得這里，和均為純量。式（5.65）給出了和之間的傳遞函數(shù)。圖5.7為該系統(tǒng)的方塊圖。注意，控制器的傳遞函數(shù)為 (5.66) 因此，通常稱此傳遞函數(shù)為控制器-觀測(cè)器傳遞函數(shù)。圖5.7 具

20、有控制器-觀測(cè)器系統(tǒng)的方塊圖-例5.3 考慮下列線性定常系統(tǒng)的調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)問題。(5.67)(5.68)式中 假設(shè)采用極點(diǎn)配置方法來設(shè)計(jì)該系統(tǒng)，并使其閉環(huán)極點(diǎn)為(i = 1, 2)，其中 。在此情況下，可得狀態(tài)反饋增益矩陣K為采用該狀態(tài)反饋增益矩陣K，可得控制輸入u為假設(shè)采用觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制替代真實(shí)狀態(tài)反饋控制，即式中，觀測(cè)器的期望特征值選擇為現(xiàn)求觀測(cè)器增益矩陣。并畫出觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的方塊圖。再求該控制-觀測(cè)器的傳遞函數(shù)，并畫出系統(tǒng)的方塊圖。解 對(duì)于式（5.67）給定的系統(tǒng)，其特征多項(xiàng)式為因此該觀測(cè)器的期望特征方程為因此 為了確定觀測(cè)器增益矩陣，利用式（5.50），則有式中因此(5.6

21、9)式（5.69）給出了觀測(cè)器增益矩陣。觀測(cè)器的方程由式（5.51）定義，即(5.70) 由于所以，式（5.70）為或 具有觀測(cè)-狀態(tài)反饋的系統(tǒng)方塊圖參見圖5.6所示。 參照式（5.66），控制器-觀測(cè)器的傳遞函數(shù)為該系統(tǒng)的方塊圖參見圖5.7所示。設(shè)計(jì)的觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由下列狀態(tài)空間表達(dá)式描述。 給定線性定常系統(tǒng)為 全維狀態(tài)觀測(cè)器為 作為整體而言，該系統(tǒng)是4階的，其系統(tǒng)特征方程為 該特征方程也可由圖4.7所示的系統(tǒng)方塊圖得到。由于閉環(huán)傳遞函數(shù)為則特征方程為 事實(shí)上，該觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的特征方程對(duì)于狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)表達(dá)式是相同的。5.5.11 最小階觀測(cè)器 迄今為止

22、，我們所討論的觀測(cè)器都是重構(gòu)所有的系統(tǒng)狀態(tài)變量。實(shí)際上，有一些狀態(tài)變量可以準(zhǔn)確量測(cè)的。對(duì)這些可準(zhǔn)確量測(cè)的狀態(tài)變量就不必估計(jì)了。假設(shè)狀態(tài)向量x為n維向量，輸出向量y為可量測(cè)的m維向量。由于m個(gè)輸出變量是狀態(tài)變量的線性組合，所以m個(gè)狀態(tài)變量就不必進(jìn)行估計(jì)，只需估計(jì)n-m個(gè)狀態(tài)變量即可，因此，該降維觀測(cè)器為n-m維觀測(cè)器。這樣的n-m維觀測(cè)器就是最小階觀測(cè)器。圖4.8所示為具有最小階觀測(cè)器的觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的方塊圖。圖5.8 具有最小階觀測(cè)器的觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)如果輸出變量的量測(cè)中含有嚴(yán)重的噪聲，且相對(duì)而言較不準(zhǔn)確，那么利用全維觀測(cè)器可以得到更好的系統(tǒng)性能。為了介紹最小階觀測(cè)器的基本概念，

23、又不涉及過于復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，我們將介紹輸出為純量（即m = 1）的情況，并推導(dǎo)最小階觀測(cè)器的狀態(tài)方程?？紤]如下線性定常系統(tǒng)式中，狀態(tài)向量可劃分為(純量)和(n-1維向量)兩部分。這里，狀態(tài)變量等于輸出y，因而可直接量測(cè)，而是狀態(tài)向量的不可量測(cè)部分。于是，經(jīng)過劃分的狀態(tài)方程和輸出方程為(5.71)(5.72)式中， 。 由式（5.71），狀態(tài)可量測(cè)部分的狀態(tài)方程為或(5.73)式（5.73）左端各項(xiàng)是可量測(cè)的。式（5.73）可看作輸出方程。在設(shè)計(jì)最小階觀測(cè)器時(shí)，可認(rèn)為式（5.73）左端是已知量。因此，式（5.73）可將狀態(tài)的可量測(cè)和不可量測(cè)部分聯(lián)系起來。由式（5.71），對(duì)于狀態(tài)的不能量測(cè)部分(

24、5.74)注意，和這兩項(xiàng)是已知量，式（5.74）為狀態(tài)的不可量測(cè)部分的狀態(tài)方程。下面將介紹設(shè)計(jì)最小階觀測(cè)器的一種方法。如果采用全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法，則最小階觀測(cè)器的設(shè)計(jì)步驟可以簡(jiǎn)化。現(xiàn)比較全維觀測(cè)器的狀態(tài)空間表達(dá)式和最小階觀測(cè)器的狀態(tài)空間表達(dá)式。 全維觀測(cè)器的狀態(tài)方程為最小階觀測(cè)器的狀態(tài)方程為全維觀測(cè)器的輸出方程為 最小階觀測(cè)器的輸出方程為因此，最小階觀測(cè)器的設(shè)計(jì)步驟如下：首先，注意到全維觀測(cè)器由式（5.51）給出，將其重寫為(5.75)然后，將表5.1所做的替換代入式（5.75），可得(5.76)式中，狀態(tài)觀測(cè)器增益矩陣是(n-1)×1維矩陣。在式（5.76）中，注意到為估計(jì)，

25、需對(duì)微分，這是不希望的，因此有必要修改式（5.76）。表5.1 給出式(5.76)的最小階狀態(tài)觀測(cè)器方程所做的替換全維狀態(tài)觀測(cè)器最小階狀態(tài)觀測(cè)器AAbbBuAb axa+BbuyCAab (n×1維矩陣) (n-1)×1維矩陣 注意到xa = y，將式（5.76）重寫如下，可得 (5.77) 定義及 (5.78)則式（5.77）成為 (5.79)從而式（5.79）和（5.78）一起確定了實(shí)際的最小階觀測(cè)器。下面推導(dǎo)觀測(cè)器的誤差方程。利用式（5.73），將式（5.76）改寫為(5.80) 用式（5.80）減去式（5.74），可得(5.81) 定義于是，式（5.81）為(5.8

26、2)這就是最小階觀測(cè)器的誤差方程。注意，e是（n-1）維向量。如果矩陣的秩為n-1（這是用于最小階觀測(cè)器的狀態(tài)完全能觀測(cè)性條件），則仿照在全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)中提出的方法，可選定最小階觀測(cè)器的誤差狀態(tài)方程。 由式（5.82）得到的最小階觀測(cè)器的期望特征方程為(5.83)式中，是最小階觀測(cè)器的期望特征值。觀測(cè)器的增益矩陣確定如下：(1) 選擇最小階觀測(cè)的期望特征值（即將特征方程（5.83）的根置于所期望的位置）;(2) 采用在全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)中提出并經(jīng)過適當(dāng)修改的方法。例如，若采用由式（5.50）給出的確定矩陣的公式，則應(yīng)將其修改為(5.84)式中的是(n -1)×1維矩陣，并且這里，均為(n

27、 -1) ×(n -1)維矩陣。注意，是如下特征方程的系數(shù)： 同樣，如果采用式（5.55）給出的愛克曼公式，則應(yīng)將其修改為 (5.85)式中-例5.4 考慮系統(tǒng)式中假設(shè)輸出可準(zhǔn)確量測(cè)，因此狀態(tài)變量(等于)不需要估計(jì)。試設(shè)計(jì)一個(gè)最小階觀測(cè)器（顯然該最小階觀測(cè)器是二階的）。此外，假設(shè)最小階觀測(cè)器的期望特征值為 參照式（5.83），該最小階觀測(cè)器的特征方程為下面采用由式（5.85）給出的愛克曼公式（例5.20介紹用式（5.84）來確定）。(5.86)式中由于可得式（5.86）成為參照式（5.78）和(5.79)，最小階觀測(cè)器的方程為 (5.87)式中注意到 因此，式（5.87）的最小階觀測(cè)

28、器為或式中或 如果采用觀測(cè)-狀態(tài)反饋，則控制輸入為式中的K為狀態(tài)反饋增益矩陣（矩陣K不是在本例中確定的）。-5.5.12 具有最小階狀態(tài)觀測(cè)器的觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)對(duì)于具有全維狀態(tài)觀測(cè)器的觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，我們已經(jīng)指出，其閉環(huán)極點(diǎn)包括由極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)單獨(dú)給出的極點(diǎn)，加上由觀測(cè)器設(shè)計(jì)單獨(dú)給出的極點(diǎn)。因此，極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)和全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)是相互獨(dú)立的。對(duì)于具有最小階觀測(cè)器的觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，可運(yùn)用同樣的結(jié)論。該系統(tǒng)的特征方程可推導(dǎo)為(5.88)詳細(xì)情況請(qǐng)參見例5.13。具有最小階觀測(cè)器的觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，包括由極點(diǎn)配置的閉環(huán)極點(diǎn)（矩陣A-BK的特征值）和由最小階觀測(cè)器的閉環(huán)

29、極點(diǎn)（矩陣）兩部分組成。因此，極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)和最小階觀測(cè)器設(shè)計(jì)是互相獨(dú)立的。這也就是滿足前述所謂的極點(diǎn)配置與觀測(cè)器設(shè)計(jì)的分離性原理。5.6 利用MATLAB設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器 本節(jié)將介紹用MATLAB設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器的若干例子。我們將舉例說明全維狀態(tài)觀測(cè)器和最小階狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)的MATLAB方法。-例5.5 考慮一個(gè)調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。給定線性定常系統(tǒng)為 式中且閉環(huán)極點(diǎn)為，其中 期望用觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制，而不是用真實(shí)的狀態(tài)反饋控制。觀測(cè)器的期望特征值為試采用MATLAB確定出相應(yīng)的狀態(tài)反饋增益矩陣K和觀測(cè)器增益矩陣。解 對(duì)于題中給定的系統(tǒng)，可利用如下MATLAB Program 5.5來確定狀態(tài)反饋增益

30、矩陣K和觀測(cè)器增益矩陣。MATLAB Program 5.5% Pole placement and design of observer -% * Design of a control system using pole-placement% technique and state observer. Solve pole-placement% problem *% * Enter matrices A,B,C,and D *A=0 1;20.6 0;B=0;1C=1 0;D=0;% * Check the rank of the controllability matrix Q *Q=B

31、 A*B;Rank(Q)ans= 2% * Since the rank of the controllability matrix Q is 2,% arbitrary pole placement is possible *% * Enter the desired characteristic polynomial by% defining the following matrix J and computingpoly(J) *J=-1.8+2.4*i 0;0 -1.8-2.4*i;Poly(J)ans= 1.000 3.6000 9.0000% * Enter characteris

32、tic polynomial Phi *Phi=polyvalm(poly(J),A);% * State feedback gain matrix K can be given by *K=0 1*inv(Q)*PhiK=29.6000 3.6000% * The following program determines the observer matrix Ke *% * Enter the observability matrix RT and check its rank *RT=C A*C;rank(RT)ans=2% * Since the rank of the observa

33、bility matrix is 2, design of% the observer is possible *% * Enter the desired characteristic polynomial by defining % the following matrix J0 and entering statement poly(JO) *JO=-8 0;0 -8;Poly(JO)ans= 1 16 64% * Enter characteristic polynomial Ph * Ph=polyvalm(ply(JO),A);% * The observer gain matri

34、x Ke is obtained from *Ke=Ph*(inv(RT)*0;1Ke= 16.0000 84.60000求出的狀態(tài)反饋增益矩陣K為 觀測(cè)器增益矩陣為該觀測(cè)-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)是4階的，其特征方程為 通過將期望的閉環(huán)極點(diǎn)和期望的觀測(cè)器極點(diǎn)代入上式，可得 這個(gè)結(jié)果很容易通過MATLAB得到，如MATLAB Program 5.6所示(MATLAB Program 5.6是MATLAB Program 5.5的繼續(xù)。矩陣A、B、C、K和已在MATLAB Program 5.5中給定)。MATLAB Program 5.6% - Characteristic polynomial -%

35、 * The characteristic polynomial for the designed system% is given by |sI-A+BK|sI-A+KeC| *% * This characteristic polynomial can be obtained by use of % eigenvalues of A-BK and A-KeC as follows *X=eig(A-B*K);eig(A-Ke*C)X= -1.8000+2.4000i -1.8000-2.4000i -8.0000 -8.0000poly(X)ans=1.0000 19.6000 130.6

36、000 374.4000 576.0000-例5.6 考慮與例5.4討論的最小階觀測(cè)器設(shè)計(jì)相同的問題。該給定線性定常系統(tǒng)為式中 假定狀態(tài)變量(等于)是可量測(cè)的，但未必是能觀測(cè)的。試確定最小階觀測(cè)器的增益矩陣。期望的特征值為試?yán)肕ATLAB方法求解。解 下面介紹該問題的兩個(gè)MATLAB程序。MATLAB Program 5.7采用變換矩陣P的方法，MATLAB Porgram 5.8采用愛克曼公式。MATLAB Program 5.7% - Design of minimum-order observer -% * This program uses transformation matrix

37、 P *% * Enter matrices A and B *A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;B=0;0;1;% * Enter matrices Aaa,Aab,Aba,Abb,Ba,and Bb. Note% that A=Aaa Aab;Aba Abb and B=Ba;Bb *Aaa=0;Aab=1 0;Aba=0;-6;Abb=0 1;-11 -6;Ba=0;Bb=0;1;% * Determine al and a2 of the characteristic polynomial % for the unobserved portion of the system *P=poly(Abb)P= 1 6 11a1=P(2);a2=P(3);% * Enter the reduced observability matrix RT and matrix W *RT=Aab Abb*Aab;W=a1 1;1 0;% * Enter the desired characteristic polynomial by defining % the following matrix J