復積分計算總結

1、復積分的計算方法孟小云 20072115025（數(shù)學科學學院 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 2007級3班）指導老師 海泉摘要：本文歸納了計算復積分的多種方法，并舉例說明了它們的應用。關鍵詞：復變函數(shù)；復積分在復變函數(shù)的分析理論中，復積分是研究解析函數(shù)的重要工具，解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)都要利用復積分來表述和證明的，因此，對復積分及其計算的研究顯得尤為重要。本文介紹了復變函數(shù)積分常規(guī)的計算方法、利用級數(shù)法、拉普拉斯變換法及對數(shù)留數(shù)與輻角原理進行復積分計算方法。利用這些方法可以使一些復雜的復積分計算變得簡單、快捷。接下來要介紹計算復積分的常見的一些方法。方法1：參數(shù)方程法定理：設光滑曲線c:z=z(t)=x

2、(t)+iy(t) (),在上連續(xù)，且0，又設沿c連續(xù)，則。1、 若曲線c為直線段，先求出c的參數(shù)方程。c為過兩點的直線段，c：為始點為終點。例1 計算積分，路徑為直線段.解：設原式=2、 若曲線為圓周或圓周的一部分，例如c為以為心為半徑的圓。設c：即（曲線的正方向為逆時針）例2 計算積分c為從到的下半單位圓周.推薦精選解：設原式注：上述方法只適用于積分曲線式特殊類型的曲線。方法2：利用柯西積分定理柯西積分定理：設函數(shù)在復平面上的單連通區(qū)域內(nèi)解析，c為內(nèi)任一條周線，則例3 計算c為單位圓周.解：是的解析區(qū)域內(nèi)的一閉曲線，由柯西定理有注：此題可用參數(shù)方法，但計算要復雜得多，而用柯西定理很簡單。1

3、、 柯西積分定理可推廣到復周線的情形，這也是計算復積分的一個有利工具，即復函數(shù)沿區(qū)域外邊界曲線的積分等于沿區(qū)域內(nèi)邊界積分的和。適用于積分曲線內(nèi)部含被積函數(shù)奇點的情形。例4 計算的值，c為包含圓周的任何正向簡單閉曲線.解；分別以為心作兩完全含于c內(nèi)且互不相交的圓周則有原式2、 若積分與路徑無關的條件下也可直接按實積分中的牛頓萊布尼茨公式計算。例5 計算.解：因為在復平面上處處解析，所以積分與路徑無關。原式=注：利用柯西積分定理也有一定的局部性，主要體現(xiàn)在被積函數(shù)上，只有某些特殊的函數(shù)或能拆成若干個特殊函數(shù)的函數(shù)計算起來較方便。推薦精選方法3：利用柯西積分公式1、 柯西積分公式：設區(qū)域的邊界是周線

4、（復周線）c，函數(shù)在內(nèi)解析，在內(nèi)連續(xù)，則 例6 計算，其中為圓周.解：因被積函數(shù)的兩個奇點是分別以這兩點為心作兩個完全含于c而且互不相交的圓周原式= =此題是柯西積分公式與柯西積分定理應用的結合，比單獨應用柯西積分定理容易方便得地多。2、 柯西積分公式解決的是形如的積分，那形如的積分怎樣計算呢？利用解析函數(shù)的無窮可微性可解決此問題。例7 計算c為.解：因被積函數(shù)的兩個奇點是分別以這兩點為心作兩個完全含于c而且互不相交的圓周 原式=推薦精選 注：柯西積分公式與解析函數(shù)的無窮可微性在計算復積分時的主要區(qū)別在于被積函數(shù)分母的次數(shù)，二者在計算時都常與柯西積分定理相結合。方法4：利用柯西留數(shù)定理柯西留數(shù)

5、定理：在周線（復周線）c所圍區(qū)域內(nèi)除外解析，在閉區(qū)域上除外連續(xù)，則例8 計算.解：，在圓周內(nèi)有一階極點z=0,二階極點由留數(shù)定理原式方法5：借助于沿封閉曲線的復積分當計算不封閉曲線為積分路徑的復積分時，可把積分路徑作為部分曲線來構造封閉曲線，首先計算沿封閉曲線的復積分，再計算最初的沿不封閉曲線的積分。例9 計算，其中是以為起點、為終點的光滑曲線.分析：構造封閉曲線，易求沿的復積分，利用復積分的性質(zhì)求原復積分。解：設，其中是以為起點，為終點的直線段，參數(shù)方程是z=x,x是由2變到1，所以設，則推薦精選由于所以方法6：利用積分換元公式關于復積分的變量替換，與定積分的變量替換類似，要求變換是一對一的

6、且可微。設在區(qū)域內(nèi)單葉解析，c是內(nèi)一條簡單光滑曲線：那么(1)在變換之下，c的像也是W平面上一條簡單光滑曲線；(2)若函數(shù)沿連續(xù)，則有積分換元公式例10 計算積分，,.解：令，它在上半平面單葉解析，把半圓變成圓，即，由換元公式得因在圍線內(nèi)僅有一個一階極點，由留數(shù)定理：注：對非單葉的變換，使用換元公式要特別小心，這時簡單曲線的像不再是簡單曲線，但可把它分為幾段簡單曲線之和，即化為局部單葉變換的情形來處理。例11 計算積分，.解：令，則，的像曲線為雙重圓，推薦精選把分解為兩個單圓：，；它們分別對應于原像之兩段：分段利用積分換元公式得 方法7：積分估值法積分估值：若沿曲線c，函數(shù)連續(xù)，且有正數(shù)使，為

7、c長，則例12 設在復平面上解析，且有界，求極限，為常數(shù)，由此證明劉維爾定理.解：且則對于充分大的，總可以使位于圓內(nèi)，于是，在圓上，因，固有 所以 （1） 另一方面 （2）綜合（1）和（2）得，特別取有，由的任意性，知在平面上必為常數(shù)。推薦精選以上計算方法在復積分計算中是經(jīng)常使用的方法，比較簡單普遍，在復積分計算時很容易想到。下面介紹一些不常用的，且?guī)в幸欢记尚缘姆椒?。方?：級數(shù)法連續(xù)性逐項積分定理：設在曲線c上連續(xù)，在c上一致收斂于，則在曲線c上連續(xù)，并且沿c可逐項積分：，將函數(shù)展成泰勒級數(shù)或洛朗級數(shù)就解決了該類復積分的有關問題。例13 計算積分.解：在內(nèi)，所以方法9：拉普拉斯變換法定義

8、：設是定義在上的實值函數(shù)或復值函數(shù)，如果含復變量（為實數(shù)）的積分在的某個區(qū)域內(nèi)存在，則由此積分定義的復函數(shù)，稱為函數(shù)的拉普拉斯變換法（簡稱拉氏變換），簡記為計算該類復積分時，可先運用拉普拉斯變換的基本運算法則，將該類復積分化為的形式，再參照拉普拉斯變換表，得出相應的復積分的結果。例14 計算積分.解：令，則由相似定理有推薦精選由拉普拉斯變換表得所以方法10：運用對數(shù)留數(shù)定理與輻角原理具有以下形式的積分稱為關于曲線c的對數(shù)留數(shù)。1.對數(shù)留數(shù)定理：如果在簡單曲線c上解析且不為零，在c的內(nèi)部除去有限個極點外也處處解析，則=.其中為在c內(nèi)零點的總個數(shù)，為在c內(nèi)極點的總個數(shù)，且c取正向。在計算零點與極點

9、的個數(shù)時，m階的零點或極點算作m個零點或極點。2.輻角原理：如果在簡單閉曲線c上與c內(nèi)解析，且在c上不等于零，則在c內(nèi)零點的個數(shù)等于乘以當沿c的正向繞行一周時輻角變量，即.例15 計算積分，其中.解：在上解析且不等于零。又在的內(nèi)部解析，零點個數(shù)，極點個數(shù)由對數(shù)留數(shù)定理有總結：以上總共給了計算復積分的10種方法，其中一些是常見的最基本的方法。級數(shù)法、拉普拉斯變換法、運用對數(shù)留數(shù)與輻角原理是對常用復積分計算方法的補充，具有一定的技巧，文中以例題說明了其具體運用的巧妙和簡捷之處?？梢婌`活運用這些計算技巧，可以使繁瑣的積分過程得以簡化，為解決實際問題提供了一條便捷之路。推薦精選參考文獻：1鐘玉泉，復變函數(shù)論（第三版）M.北京：高等教育出版社，2004，2.2潘永亮，復變函數(shù)M.北京：科學出版社，2004.3龔冬寶，復變函數(shù)典型題M.西安：西安交通大學出版社，2003.4剛家泰，復變函數(shù)全程學習指