山東大學(xué)管理學(xué)院微積分羅比達(dá)法則

1、上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁4.2 4.2 羅彼塔法則羅彼塔法則一、一、 未定式未定式二、二、“ 零比零零比零”型未定式的定值法型未定式的定值法四、其它類型未定式的定值法四、其它類型未定式的定值法三、三、“無窮比無窮無窮比無窮”型未定式的定值法型未定式的定值法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、未定式一、未定式 在函數(shù)商的極限中，如果分子分母同是無窮小量或同是無窮大量，那么極限可能存在，也可能不存在， 其它類型的未定式：0、00、1、0。 例如，下列極限都是未定式：00或。這種極限稱為未定式。這種類型的未定式記為 0limx3sinxxx ，xlimnxxln(n0)， 0limxxn

2、ln x(n0)，2limx(sec xtan x)， 0limxxx，xlim(1x1)x，xlim(x 2a 2)21x。 首頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 定理定理4.1 設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件： (1) axlimf(x)axlimg(x)0； (2) 在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)0； (3) )()(limxgxfaxA (或)， 那么)()(limxgxfax)()(limxgxfaxA (或)。 下頁羅彼塔法則羅彼塔法則 I :一、一、“ 零比零零比零”型未定式的定值法型未定式的定值法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁羅彼塔法則羅彼塔法則 I 的證明：的證明： 令 f(a)g(a

3、)0，則 f(x) 及 g(x) 在點(diǎn) a 的某一鄰域內(nèi)連續(xù)。 設(shè)x是這鄰域內(nèi)的一點(diǎn)，那么有 )()(xgxf)()()()(agxgafxf)()(gf (在 x 與 a 之間)。 顯然當(dāng)xa時(shí)a。于是 )()(limxgxfax)()(limgfa)()(limxgxfaxA (或)。 下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁)()(limxgxfax)()(limxgxfax解：216lim42xxx14lim32xx216lim42xxx14lim32xx216lim42xxx14lim32xx32。 解：xxax1)1 (lim01)1 (lim10axxaxxax1)1 (lim01)1 (li

4、m10axxaxxax1)1 (lim01)1 (lim10axxaa。 羅彼塔法則羅彼塔法則 I ：00（型）例 1 求216lim42xxx。 例例1例 2 求xxax1)1 (lim0。 例例2 解：解： 解：解：下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁解：xxexx201lim12lim0 xexx解：30sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim061解：20)1ln(limxxxxxx211lim0)1 (21lim0 xxx1。xxexx201lim12lim0 xexx30sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim06130sinlimxxxx

5、203cos1limxxxxxx6sinlim06130sinlimxxxx203cos1limxxxxxx6sinlim061。 20)1ln(limxxxxxx211lim0)1 (21lim0 xxx20)1ln(limxxxxxx211lim0)1 (21lim0 xxx20)1ln(limxxxxxx211lim0)1 (21lim0 xxx。 例 4 求30sinlimxxxx。 例例4例 3 求xxexx201lim。 例例3 解：解： 解：解：例 5 求20)1ln(limxxx。 例例5 解：解：下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁)(sin)1sin(2xxxxxxxcos1cos1

6、sin2所以羅彼塔法則失效，不能使用。說明：說明： 羅彼塔法則中的三個(gè)條件缺一不可，否則不能用羅彼塔法則。但這并不意味著原極限不存在，這時(shí)應(yīng)換用其它方法去求。因?yàn)?)(sin)1sin(2xxxxxxxcos1cos1sin2 ， 解：解：當(dāng)x0時(shí)無極限，例 6 求xxxxsin1sinlim20。 例例6下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 xxxxsin1sinlim20 xxxxx1sinsinlim0 xxxxxx1sinlimsinlim00100。說明：說明： 羅彼塔法則中的三個(gè)條件缺一不可，否則不能用羅彼塔法則。但這并不意味著原極限不存在，這時(shí)應(yīng)換用其它方法去求。xxxxsin1sinli

7、m20 xxxxx1sinsinlim0 xxxxxx1sinlimsinlim00 xxxxsin1sinlim20 xxxxx1sinsinlim0 xxxxxx1sinlimsinlim00 xxxxsin1sinlim20 xxxxx1sinsinlim0 xxxxxx1sinlimsinlim00例 6 求xxxxsin1sinlim20。 例例6 解：解：首頁練習(xí)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁lim0 xxxxe)1 (1)1ln(11)1 (xxxexlim0 x原式11ln1)1 (1）（xxxxlim0 xe) 1(1)1ln(2xxxxlim0 xe) 1()1ln()1 (2xx

8、xxxlim0 xe2)1ln()1 (xxxxlim0 xexx2)1ln( 2e上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 (1) axlimf(x)axlimg(x)； 定理定理4.2 設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件： (2) 在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)0； (3) )()(limxgxfaxA (或)， 那么)()(limxgxfax)()(limxgxfaxA (或)。 下頁羅彼塔法則羅彼塔法則 II ：三、三、“無窮比無窮無窮比無窮”型未定式的定值法型未定式的定值法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁)()(limxgxfax)()(limxgxfax羅彼塔法則羅彼塔法則 II ：（型） )sin(co

9、s2)3sin3(3cos2lim312xxxxxxxx2sin6sinlim2xxx2cos26cos6lim2)sin(cos2)3sin3(3cos2lim312xxxxxxxx2sin6sinlim2xxx2cos26cos6lim2)sin(cos2)3sin3(3cos2lim312xxxxxxxx2sin6sinlim2xxx2cos26cos6lim2)sin(cos2)3sin3(3cos2lim312xxxxxxxx2sin6sinlim2xxx2cos26cos6lim23。 下頁 解解：xxx3tantanlim2xxx3cos3cos1lim222xxx222cos3

10、coslim31xxx3tantanlim2xxx3cos3cos1lim222xxx222cos3coslim31xxx3tantanlim2xxx3cos3cos1lim222xxx222cos3coslim31 例例 7求xxx3tantanlim2。 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 xxxxxcos1limsinlim00)()(limxgxfax)()(limxgxfax羅彼塔法則羅彼塔法則 II ：（型）xctgxxlnlnlim0 xxctgxx1)sin1(1lim20 xxxxcossinlim0 xxxxxcos1limsinlim001。 下頁 例例 8求xxxlncotlnli

11、m0。 解解：xxxlncotlnlim0 xxxx1)sin1(cot1lim20 xxxlncotlnlim0 xxxx1)sin1(cot1lim20 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁說明：說明： 當(dāng)xa改為x時(shí)，羅彼塔法則同樣有效，即)()(limxgxfx)()(limxgxfx(00或型)。 解：xlimnxxlnxlimnxxlnxlim11nnxxxlim11nnxxxlimnnx1xlimnnx10。 解；2limxexxxexx2lim2limxxe2limxexxxexx2lim2limxxe2limxexxxexx2lim2limxxe2limxexxxexx2lim2limxx

12、e。 例 9 求xlimnxxln(n0)。 例例9 解：解：例 10 求2limxexx。 例例10 解：解：首頁練習(xí)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 未定式0、00、1、0都可以轉(zhuǎn)化為 “零比零” 型或 “無窮比無窮” 型未定式。 22111limxxx221limxxx22111limxxx221limxxx1。 下頁四、其它類型未定式的定值法四、其它類型未定式的定值法 例例 11求)arctan2(limxxx(0 型)。 解解：)arctan2(limxxxxxx1arctan2lim)arctan2(limxxxxxx1arctan2lim 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 將未定式 0、00、1、0

13、 轉(zhuǎn)化為 “零比零” 型或 “無窮比無窮” 型未定式求極限。 解：)ln11(lim1xxxxxxxxxxln) 1(1lnlim1 xxxxxln) 1(11lnlim1xxxxln11lnlim1)ln11(lim1xxxxxxxxxxln) 1(1lnlim1 xxxxxln) 1(11lnlim1xxxxln11lnlim1 xxxx111lim21211lim1xxxxxxx111lim21211lim1xxxxxxx111lim21211lim1xxx。 例 12 求)ln11(lim1xxxx(型)。 例例12 解：解：下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁解：因?yàn)?xxx111limxxx

14、e1ln1limxxxe1lnlim1而 xxx1lnlim111lim1xxxxx111limxxxe1ln1limxxxe1lnlim1xxx111limxxxe1ln1limxxxe1lnlim1。 xxx1lnlim111lim1xx1，所以 1，所以 xxx111lime1。 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：f(x)e ln f(x)。 將未定式 0、00、1、0 轉(zhuǎn)化為 “零比零” 型或 “無窮比無窮” 型未定式求極限。 例 13 求xxx111lim(1型)。 例例13 解：解：下頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁解：0limxx x0limxe xln x， 所以 0limxx x0limxx x0li

15、mxe xln x e0 1。 e xln x e0 1。 而 0limxxln xxln xxxx1lnlim02011limxxx0limxxxx1lnlim02011limxxx0limxxxx1lnlim02011limxxx0limx(x) 0， 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：f(x)e ln f(x)。 將未定式 0、00、1、0 轉(zhuǎn)化為 “零比零” 型或 “無窮比無窮” 型未定式求極限。 例 14 求0limxx x (00型)。 例例14 解：解：結(jié)束上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁420cossinsinlimxxxxxx30cossinsinlimxxxxxxx30cossinlimxxxxx20

16、3sincoscoslimxxxxxx313sinlim0 xxx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁21-0e1limxxxxt1:令解21-0e1limxxx2limttet021lim2ttte例例4（補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題） 求上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例5（補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題） 求)1ln(lnlim1xxx解解 令令yx ln)1ln(lim0yyey)1ln(lnlim1xxxyeyy1)1ln(lim02011limyeeyyyyyey1lim2002lim0yyey上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁xxxtan01lim）（xxxe1lntan0limxxx1lntanlim0 xxxlnlim210 xxx1

17、lnlim2100lim210 xx1e0原式上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁2x1tanlimxxx）（)1tanln(2limxxxxe)1tanln(lim2xxxx20tanlnlimtttt201tanlimtttt30tanlimtttt22031seclimttt313tanlim220ttt31e原式上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁xxx2sin1) 1cos(lnlim1) 1cos(2cos2) 1sin(lim1xxxxxxx2cos) 1sin(lim21xxx2sin2) 1cos(lim2124上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例2求下列極限. ),(sinlnsinlnlim30為正整數(shù)為正整數(shù)

18、）（nmnxmxx；為正整數(shù)為正整數(shù)）（)(elim2mxxmx；為正整數(shù)為正整數(shù) )()(lnlim)1(mxxmx解11111limlnlim mmxxxmxxx由于由于)1(mxmx1lim ,0 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁xxmx)(lnlimxmxxelim因此因此xmxxxmmx11e1limelim1 由于由于)2(因此因此mxmxx 1lnlim. 0 nxmxxsinlnsinlnlim)3(0, 0 mxmxx 1elim. 0 nxnnxmxmxmxcossinsincoslim0 . 1 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例3求下列極限.)1(lim)6(1xxx ;lim)4(0 x

19、xx ; )2,(;11lim)2(1的正整數(shù)的正整數(shù)是大于是大于nmxnxmnmx ;11lnlim)1(1 xxxx);0(lnlim30 xxx）（;)2(lim)5(2tan1xxx 其他類型未定式可化為洛必達(dá)法則可解決的類型,00 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁解 xxx212lim1 ,1時(shí)時(shí)且且xxxxxxxxxln)1(ln11ln2 由于由于)1() 1(2) 1)(12(lim1xxxxx)1(212lim11 xxxx2211)1(lnlim11lnlim xxxxxxxxx,1ln xx因此因此,)1(ln)1(2 xxx.23 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁nmxnxm 11由于由于

20、)2()1)(1(1lim12121 nmxxxxxxx且且)1)(1()1()1()1(12122 nmmnxxxxxxxxnxm,1mn 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁.2nm 因此因此)1(2lim1111 xmnxmnxmnmnx211)1()1()1(lim111lim xxnxmmnxnxmmnxnmx2)1()1(lim221 mnxxmxn上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁因此因此由于由于,lnln)3( xxxx xx 0lim100elim xxx因此因此 xxxxxxlnlimlnlim000lnlim0 xxx,0)4(時(shí)時(shí)由于由于 x110lim xxx. 0 且且xxxxlne . 1 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁,1)5(時(shí)時(shí)由于由于x)2ln(tantan22e)2(xxxx 12sinlim1 xx且且xxxxxx211cos)2ln(l