浮點數的加減法運算

1、計算機組成與結構之浮點數的加減法運算學生組所在學院： 燕山大學信息學院 學生組所在班級： 2014 級計算機 1 班 學 生 組 姓 名： 陳朝俊 張海 傅曉欣 曲佳彤438 號地 址：中國河北省秦皇島市河北大街郵 編： 066004電 話：傳 真：網 址：浮點數加減法運算簡介大型計算機和高檔微型機中，浮點加減法運算是由硬件完成 的。低檔的微型機浮點加減法運算是由軟件完成的，但不論用硬件 實現還是軟件實現，基本原理是一致的。浮點加減法運算要經過對階、尾數加減運算、結果規(guī)格化、舍 入處理、溢出判斷五步操作。 其中尾數運算與定點加減法運算相同， 而對階、規(guī)格化、舍入和溢出判斷，則是浮點加減法運算和

2、定點加 減法運算不同的操作之處。在補碼浮點運算中，階碼與尾數可以都用補碼表示。在硬件實 現的運算中，階碼和數符常采用雙符號位。浮點數的表示形式浮點數的表示形式 （假設以 2 為底）：EN=M·2其中， M為浮點數的尾數，一般為絕對值小于 1 的規(guī)格化二進 制小數，用原碼或補碼形式表示； E 為浮點數的階碼，一般是用移 碼或補碼表示的整數。階碼的底除了 2以外，還有用 8或 16表示的，這里暫且只以 2 為底進行討論。浮點數加減法運算的步驟設兩浮點數 X、Y 進行加減運算，其中 ：X=M X·2EX ，Y=M Y·2EY般由以下五個步驟完成 ：規(guī)格化浮點數加減運算流

3、、對階1. 對階是指將兩個進行運算的浮點數的階碼對齊的操作。對階的目的是為了使兩個浮點數的尾數能夠進行加減運算。因為，當進行 MX·2EX 與 MY·2EY加減運算時，只有使兩浮點數的指數值部分相 同，才能將相同的指數值作為公因數提出來，然后進行尾數的加減 運算。2. 對階的具體方法是： 首先求出兩浮點數階碼的差， 即EEx-Ey， 將小階碼加上 E，使之與大階碼相等，同時將小階碼對應的浮點 數的尾數右移 E位，以保證該浮點數的值不變。3. 幾點注意：（1）對階的原則是小階對大階，因為若大階對小階，則尾數的數 值部分的高位需移出，而小階對大階移出的是尾數的數值部分的低 位，

4、這樣損失的精度更小。（2）若 E0，說明兩浮點數的階碼已相同，無需再做對階操作。（3）尾數右移時，對原碼表示的尾數，符號位不參加移位，尾數 數值部分的高位補 0；對補碼表示的尾數，符號位參加右移，并保 持原符號位不變。（4）由于尾數右移時是將最低位移出，會損失一定的精度，為減 少誤差，可先保留若干移出的位，供以后舍入處理用。二、尾數的加減運算執(zhí)行對階后，兩尾數進行加 /減運算，得到兩數之和 / 差三、結果規(guī)格化1. 規(guī)格化的目的是使尾數部分的絕對值盡可能以最大值的形式出 現。設尾數 M的數值部分有 n 位，規(guī)格化數的范圍為：1/2 M原 1-2-n ， 1/2 M補 1-2-n（ 當 M為正）

5、， 1/2 M補 1（當 M為負）。2. 當運算的結果 （和/差）不是規(guī)格化數時，需將它轉變成規(guī)格化數。 雙符號位的原碼規(guī)格化尾數，其數值的最高位為 1；雙符號位的補 碼規(guī)格化尾數，應是 00.1XX··· X或 11.0XX··· X（X 可為 0 或 1）。3. 規(guī)格化操作的規(guī)則是： 如果結果的兩個符號位的值不同，表示加減運算尾數結果溢出， 此時將尾數結果右移 1 位，階碼 E+1，稱為“向右規(guī)格化”，簡稱 “右規(guī)”。 如果結果的兩個符號位的值相同，表示加減運算尾數結果不溢 出。但若最高數值位與符號位相同，此時尾數連續(xù)左移，直到最

6、高 數值位與符號位的值不同為止；同時從 E 中減去移位的位數，這稱 之為“向左規(guī)格化”，簡稱“左規(guī)”。四、舍入處理1. 浮點運算在對階或右規(guī)時，尾數需要右移，被右移出去的位會被 丟掉，使運算結果精度受到影響。為減少精度損失，可以將一定位 數的移出位先保留起來，稱為保護位，在規(guī)格化后用于舍入處理。 2.IEEE754 標準列出了四種可選的舍入處理方法：（ 1）0 舍 1 入： 這是標準列出的默認舍入方式，相當于十進制中 的“四舍五入”，即當丟失的最高位的值為 1時，把這個 1 加到尾 數末位上進行修正 （若加 1后又使尾數溢出， 則再進行一次右規(guī)） ， 否則舍去丟失的各位的值。（2）朝+舍入：

7、對正數來說，只要多余位不為全 0，則向尾數最 低有效位進 1；對負數來說，則是簡單地舍去。（3）朝- 舍入：與朝 +舍入方法正好相反，對正數來說，只是 簡單地舍去；對負數來說，只要多余位不為全 0，則向尾數最低有 效位進 1。（ 4）朝 0 舍入：簡單地截斷舍去，而不管多余位是什么值。這種 方法處理簡單，但容易形成累積誤差。五、溢出判斷與定點數運算不同的是，浮點數的溢出是以其運算結果的階碼的值是否產生溢出來判斷的。若階碼的值超過了階碼所能表示的 最大正數，則為上溢，置溢出標志，若此時浮點數為正數，則為正 上溢，記為 +，若浮點數為負數，則為負上溢，記為 - ；若階碼 的值超過了階碼所能表示的最

8、小負數，則為下溢，若此時浮點數為 正數，則為正下溢，若浮點數為負數，則為負下溢。正下溢和負下 溢都作為 0 處理（通常將階碼和尾數全部置 0）。要注意的是，浮點數的表示范圍和補碼表示的定點數的表示范圍是 有所不同的，定點數的表示范圍是連續(xù)的，而浮點數的表示范圍可 能是不連續(xù)的。如下圖所示?！纠績筛↑c數相加，求 X+Y 。已知：X2o1o ? 0.11011011,Y21oo ? （0.10101100）,求 XY 解：X 和 Y 在運算器中的浮點補碼表示形式為（雙符號位）：X：000100011011011Y：0010011010101001）對階階符 階碼 數符尾數階差EEEE補E補 00

9、 01011 100 11 110即E為2,X 的階碼小 ,應使 M右移 2位,保留階碼 E=00 100.M 補 00 00110110 11其中 11 表示 M右移出去而保留的附加位。 （2）尾數相加M補0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 11 MY 補 1 1 0 1 0 1 0 1 0 01 1 1 0 0 0 1 0 1 0 11（ 3）結果規(guī)格化尾數運算結果的符號位與最高數值位相同 ,應進行左規(guī)處理 ,結 果 =11 00010101 10階, 碼減一， E= 00 011。（4）舍入處理采用 0舍 1入法處理 ,保護位最高位為 1，在所得結果最低位 +1，得 M 補 =11 00010110，M=-0.11101010.（5）溢出處理階碼符號位為 00，故不溢出 ,最終結果為 ：X+Y = 2o11 ? (-0.11101010)實現浮點運算的加法器邏輯電路原理框圖如下圖所示圖中，三個寄存器 R0、R1和 R2分別存放兩個參加運算的浮點 數和結果。第一步對階，首先由 E 加法器求出兩個浮點數階碼的 差值，然后由控制電路控制選擇小階碼浮點數的尾數進入右移寄存 器進行對階時的右移，右移結果送入尾數加法器的一個輸入端，大 階碼浮點數的尾數則直接送入加法器的另一個輸入端；第二步尾數 相加減；第三步