數(shù)值分析報(bào)告求解非線性方程根地二分法、簡(jiǎn)單迭代法和牛頓迭代法_第1頁(yè)
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1、文檔實(shí)驗(yàn)報(bào)告一:實(shí)驗(yàn)題目一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆涨蠼夥蔷€性方程根的二分法、簡(jiǎn)單迭代法和牛頓迭代法,并通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)比較兩 種方法的收斂速度。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、 編寫(xiě)二分法、牛頓迭代法程序,并使用這兩個(gè)程序計(jì)算f(x)二Xex-2 = O在0,1區(qū)間的解,要求誤差小于10 -,比較兩種方法收斂速度。2、 在利率問(wèn)題中,若貸款額為20萬(wàn)元,月還款額為2160元,還期為10年,則年利 率為多少?請(qǐng)使用牛頓迭代法求解。3、 由中子遷移理論,燃料棒的臨界長(zhǎng)度為下面方程的根,用牛頓 迭代法求這個(gè)方程的最小正根。4、 用牛頓法求方程的根,精確至8位有效數(shù)字。比 較牛頓迭代法算單根和重根的收斂速度,并用改進(jìn)的牛頓迭代法計(jì)

2、算重根。三、實(shí)驗(yàn)程序第 1 題:f(x) = x F -2=0 區(qū)間0,1函數(shù)畫(huà)圖可得函數(shù)零點(diǎn)約為0.5。畫(huà)圖函數(shù):fun cti on Test1()% f(x) 示意圖,f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0r = 0:0.01:1;y = r + exp(r) - 2plot(r, y);grid on二分法程序:計(jì)算調(diào)用函數(shù):c,nu m=bisect(0,1,1e-4)fun cti on c,n um=bisect(a,b,delta)%lnput - a,b是取值區(qū)間范圍% -delta是允許誤差%Output -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值%-n um

3、是迭代次數(shù)ya = a + exp(a) - 2;yb = b + exp(b) - 2;if ya * yb>0return ;endfor k=1:100c=(a+b)/2;yc= c + exp(c) - 2;if abs(yc)<=deltaa=c;b=c;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif abs(b-a)<deltanum=k;%num為迭代次數(shù)break ;endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc = c + exp(c) - 2;牛頓迭代法程序:計(jì)算調(diào)用函數(shù):c,nu m=newt

4、 on (fu nc1,0.5,1e-4)調(diào)用函數(shù):fun cti ony = fun c1(x)y = x + exp(x) - 2;end迭代算法:fun cti on c,num=n ewt on(fun c,p0,delta)%ln put -func 是運(yùn)算公式%-p0 是零點(diǎn)值% -delta是允許誤差%Output -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值文檔%-n um是迭代次數(shù)n um=-1;for k=1:1000yO=fu nc(pO);dyO=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8;p仁 pO-yO/dyO;err=abs(p1_p0);pO=p1;if (err

5、vdelta)num=k;%nur為迭代次數(shù)break ;endendc=p0;第2題:由題意得到算式:計(jì)算調(diào)用函數(shù):c,nu m=newto n(fun c2,0.02,1e-8) 程序:先用畫(huà)圖法估計(jì)出大概零點(diǎn)位置在0.02附近畫(huà)圖程序:fun ctionTest2()% f(x) 示意圖,f(x) = 200000*(1+x).A10-2160*12*10; f(x) = 0r = lin space(0,0.06, 100);y = 200000*(1+)人10-2160*12*10;plot(r, y);grid on調(diào)用函數(shù):fun cti on y=fu nc2(r)y=2000

6、00*(1+r).A10-2160*12*10;end牛頓迭代法算法程序:fun cti onc,n um =n ewt on(fun c,p0,delta)%ln put -func是運(yùn)算公式%-p0 是零點(diǎn)值% -delta是允許誤差文檔%Output -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值%-n um是迭代次數(shù)n um=-1;for k=1:1000yO=fu nc(pO);dyO=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8;p仁 pO-yO/dyO;err=abs(p1_p0);pO=p1;if (errvdelta)n um=k;break;endendc=p0;第3題:求最小正

7、數(shù)解計(jì)算調(diào)用函數(shù):c,nu m=newto n(func3, 1 ,1e-8)程序:先用畫(huà)圖法估計(jì)出最小正解位置在1到2之間畫(huà)圖程序:fun ctionTest3()% f(x) 示意圖,f(x) = cot(x)-(x.A2-1)./(2.*x); f(x) = 0 ezplot('cot(x)-(x.A2-1)./(2.*x)',-6,6);grid on調(diào)用函數(shù):fun cti ony=fu nc3(x)y=cot(x)-(x.A2-1)./(2.*x);end牛頓迭代法算法程序:fun cti onc,n um =n ewt on(fun c,p0,delta)%ln

8、put -func 是運(yùn)算公式%-p0 是零點(diǎn)值% -delta是允許誤差%Output -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值% -n um是迭代次數(shù)n um=-1;for k=1:1000yO=fu nc(pO);dyO=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8;p仁 pO-yO/dyO;err=abs(p1_p0);p0=p1;if (errvdelta)n um=k;break;endendc=p0;第4題:精確至8位有效數(shù)字根據(jù)畫(huà)圖圖像可得函數(shù)有一個(gè)重根在區(qū)間1,3和另一個(gè)根在區(qū)間6,8計(jì)算調(diào)用函數(shù):重根:c,n um=newt on (fu nc4, 1 ,1e-8)另外的單

9、根: c, nu m=newto n(fun c4, 6 ,1e-8)畫(huà)圖程序:fun cti onTest4()% f(x) 示意圖,f(x) = x.A3-11.*x.A2+32.*x-28; f(x) = 0r = 0:0.01:8;y =匚人3-11.*匚人2+32.*卜28;plot(r, y);grid on調(diào)用函數(shù):fun cti onfun c4(x)y=x.A3-11.*x.A2+32.*x-28;end牛頓迭代法算法程序:fun cti on c,num=n ewt on(fun c,p0,delta)%ln put -func是運(yùn)算公式%-p0是零點(diǎn)值% -delta是允

10、許誤差%Output -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值% -n um是迭代次數(shù)n um=-1;for k=1:100yO=fu nc(pO);dyO=diff(func(p0 p0+1e-8)/1e-8;if (dy0=0)c= vpa(p0,8);n um=k;break;elsep1=p0-y0/dy0;err=abs(p1_p0);pO=p1;if (errvdelta)n um=k;break;endendendc= vpa(p0,8);改進(jìn)的牛頓算法程序:fun cti onc,num=n ewt on(fun c,pO,delta)%ln put -func是運(yùn)算公式%-p0是零點(diǎn)

11、值% -delta是允許誤差%Output -c牛頓迭代法最后計(jì)算所得零點(diǎn)值%-num是迭代次數(shù)n um=-1;for k=1:100y0=fu nc(pO);dyO=diff(fu nc(pO p0+1e-8)/1e-8;if (dyO=O)c= vpa(p0,8);n um=k;break;elsep1=p0-2*y0/dy0;%根據(jù)重根計(jì)算時(shí),改進(jìn)Newton法的收斂速度,可以采用在迭代函數(shù)中乘上重根數(shù) 的方法進(jìn)行改善。err=abs(p1_pO); pO=p1;if (errvdelta) n um=k; break;endendendc=vpa(p0,8);四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析第1題:1

12、 O根據(jù)圖片可以看出函數(shù)零點(diǎn)的值在0.4與0.5之間,牛頓迭代法時(shí)取0.5作為迭代初值第2題:根據(jù)圖片可以看出函數(shù)零點(diǎn)的值在0.02與0.03之間,可采用0.02作為迭代初值第3題:X根據(jù)圖片可以看出函數(shù)最小正數(shù)零點(diǎn)的值在1與2之間,在使用牛頓迭代法時(shí)可以采用 1為迭代初值。第4題:根據(jù)圖片可以看出函數(shù)重根為2,另一單根為7。在使用迭代法時(shí)刻采用1和6為初值進(jìn)行計(jì)算。五、實(shí)驗(yàn)結(jié)論通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出, 二分法,簡(jiǎn)單迭代法和牛頓迭代法三種算法中,牛頓迭代法在選取適合值進(jìn)行代入的情況下能得到較好的收斂效果。第1題:二分法實(shí)驗(yàn)結(jié)果: c =0.4429 ,num =11牛頓迭代法實(shí)驗(yàn)結(jié)果:c =0.4429 ,num =3根據(jù)結(jié)果可以看出兩者計(jì)算結(jié)果相同,牛頓迭代法迭代次數(shù)為3,二分法的迭代次數(shù)為11,比較而言迭代次數(shù)牛頓迭代法比二分法小得多。第2題實(shí)驗(yàn)結(jié)果:零點(diǎn) c = 0.0263 ,num = 4通過(guò)畫(huà)圖后能對(duì)計(jì)算結(jié)果有一個(gè)較好的估計(jì),從而在最后獲得結(jié)果,并且迭代次數(shù)也較少。第3題實(shí)驗(yàn)結(jié)果:零點(diǎn) c = 1.3065 ,num = 5。cot(x)函數(shù)在n處無(wú)限值,畫(huà)圖時(shí)注意使用符號(hào)函數(shù)ezplot

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