平面向量總結(jié)

1、平面向量概念、方法、題型總結(jié)一向量有關(guān)概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如：已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）2零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與平行的單位向量是)；4相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向

2、量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無(wú)傳遞性！（因?yàn)橛?；三點(diǎn)共線共線；6負(fù)向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做負(fù)向量。的負(fù)向量是。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_（答：（4）（5）二向量的表示方法：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如，等；3坐標(biāo)表示法：在平面

3、內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同，此向量稱作位置向量。三平面向量的分解定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使=。如（1）若，則_（用，表示）（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. B. C. D. 推薦精選（答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_(kāi)（答：）；（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，則的值是_（答：0）四實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記

4、作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)0時(shí)，注意：0。五平面向量的數(shù)量積：1兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)0時(shí)，同向，當(dāng)時(shí)，反向，當(dāng)時(shí)，垂直。2平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如（1）ABC中，則_（答：9）；（2）已知，與的夾角為，則等于_（答：1）；（3）已知，則等于_（答：）；（4）已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_(kāi)（答：）3在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但

5、不一定大于0。如已知，且，則向量在向量上的投影為_(kāi)（答：）推薦精選4的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。5向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為，則：；當(dāng)，同向時(shí)，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；非零向量，夾角的計(jì)算公式：；。如（1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）；（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_（答：）；（3）已知與之間有關(guān)系式，用表示；求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的大?。ù穑海蛔钚≈禐?，）推薦精選六向量的運(yùn)算：1幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四

6、邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如（1）化簡(jiǎn)：_；_；_（答：；）；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，則_（答：）；（3）若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_(kāi)（答：直角三角形）；（4）若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_(kāi)（答：2）；（5）若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為_(kāi)（答：）；2坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：向量的加減法運(yùn)算：，。如（1）已知點(diǎn)，若，則當(dāng)_時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上（

7、答：）；（2）已知，則 （答：或）；（3）已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是 （答：（9,1）推薦精選實(shí)數(shù)與向量的積：。若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)，且，則C、D的坐標(biāo)分別是_（答：）；平面向量數(shù)量積：。如已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夾角；（2）若x，函數(shù)的最大值為，求的值（答：或）；向量的模：。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么_（答：）； 兩點(diǎn)間的距離：若，則。如七向量的運(yùn)算律：1交換律：，；2結(jié)合律：，；3分配律：，。推薦精選如下列命題中： ； ； ； 若，則或；

8、若則；。其中正確的是_（答：）提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？八向量平行(共線)的充要條件：都是非零向量（1）0。（2）（3）若如(1)若向量，當(dāng)_時(shí)與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，且，則x_（答：4）；（3）設(shè)，則k_時(shí)，A,B,C共線（答：2或11）九向量垂直的充要條件： .特別地。如(1)已知，若，則 （答：）；（2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂

9、點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_ （答：(1,3)或（3，1）；推薦精選（3）已知向量，且，則的坐標(biāo)是_ （答：）十線段的定比分點(diǎn)：1定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線PP上異于P、P的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，使，則叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段的以定比為的定比分點(diǎn)；2的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP上時(shí)>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段 PP的延長(zhǎng)線上時(shí)<1；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長(zhǎng)線上時(shí)；若點(diǎn)P分有向線段所成的比為，則點(diǎn)P分有向線段所成的比為。如若點(diǎn)分所成的比為，則分所成的比為_(kāi)（答：）3線段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當(dāng)1時(shí)，

10、就得到線段PP的中點(diǎn)公式。在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確，、的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)（答：）；（2）已知，直線與線段交于，且，則等于_（答：或） 十一、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).推薦精選（3）在中，若，則其重心的坐標(biāo)為。如若ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則ABC的重心的坐標(biāo)為_(kāi)（答：）；為的重心，特別地為的重心；為的垂