同態(tài)濾波與時譜技術(shù)

1、青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù)第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜分析同態(tài)濾波與時譜分析 以上所述濾波器主要是采用以上所述濾波器主要是采用線性非時變系統(tǒng)線性非時變系統(tǒng)達到對信號的濾波處理。線性非時達到對信號的濾波處理。線性非時變系統(tǒng)易于分析和表征，能完成許多信號處理功能，有極為重要和廣泛的應(yīng)用。線性變系統(tǒng)易于分析和表征，能完成許多信號處理功能，有極為重要和廣泛的應(yīng)用。線性系統(tǒng)對于分離系統(tǒng)對于分離相加性組合相加性組合的信號尤為成功，這是由于系統(tǒng)具有疊加特性。的信號尤為成功，這是由于系統(tǒng)具有疊加特性。 本章內(nèi)容本章內(nèi)容：介紹同態(tài)處理的基本概念以及

2、對乘積性和卷積性信號的同態(tài)：介紹同態(tài)處理的基本概念以及對乘積性和卷積性信號的同態(tài)濾波的方法和應(yīng)用。濾波的方法和應(yīng)用。第一節(jié)第一節(jié) 同態(tài)濾波系統(tǒng)同態(tài)濾波系統(tǒng) 問題問題：對于對于非非相加性組合相加性組合的信號，例如，的信號，例如，相乘性相乘性或或卷積性組合卷積性組合的信號，單純靠的信號，單純靠線性濾波器來分離或處理，無法達到預(yù)期的效果。這時，必須求助于線性濾波器來分離或處理，無法達到預(yù)期的效果。這時，必須求助于非線性濾波非線性濾波。 同態(tài)系統(tǒng)及其應(yīng)用同態(tài)系統(tǒng)及其應(yīng)用 同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng)是是一類特殊的一類特殊的非非線性系統(tǒng)，它遵從廣義的疊加原理。線性系統(tǒng)，它遵從廣義的疊加原理。在代數(shù)上，它用輸入與輸出

3、的矢量空間之間的線性變換來表征。在代數(shù)上，它用輸入與輸出的矢量空間之間的線性變換來表征。應(yīng)用：應(yīng)用：用于用于對對乘積性乘積性和卷積性（非疊加性）的信號和卷積性（非疊加性）的信號進行濾波處理，這類信號進行濾波處理，這類信號在語言、圖像、雷達、聲納、在語言、圖像、雷達、聲納、地震以及振動工程等領(lǐng)域廣泛存在。地震以及振動工程等領(lǐng)域廣泛存在。按某種運算按某種運算規(guī)則規(guī)則(乘法乘法或或卷積卷積)混雜在混雜在一起的信號一起的信號疊加性疊加性信號信號具有某種變換特具有某種變換特性的特征系統(tǒng)性的特征系統(tǒng)濾 波濾 波結(jié)果結(jié)果線性濾波線性濾波方法處理方法處理用特征系統(tǒng)的逆用特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng)進行變換系統(tǒng)進行變換原

4、始原 始信號信號青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù) 典型的同態(tài)濾波系統(tǒng)典型的同態(tài)濾波系統(tǒng) 子系統(tǒng)子系統(tǒng)D 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng) L子系統(tǒng)子系統(tǒng)DO-112121( )( )( )( )( )D x nx nD x nD x nx n2 ( )x n 1 1）子系統(tǒng)子系統(tǒng)D D 是遵從廣義疊加原理的一種運算，它把輸入信號是遵從廣義疊加原理的一種運算，它把輸入信號x1(n)和和x2(n)按按規(guī)則規(guī)則的組合，變換成信號的組合，變換成信號D x1(n)和和D x2(n)的一般線性組合，即的一般線性組合，即2 2）線性系統(tǒng)）線性系統(tǒng)L 滿足線性疊加原理

5、滿足線性疊加原理3 3）子系統(tǒng)子系統(tǒng)D -1 將加法變換到運算將加法變換到運算，即，即1( )L x n 2 ( )x n1( )L x n2( )L x n1 ( )y n 2 ( )y n11( )Dy n2 ( )y n11( )Dy n12( )Dy n1 ( )y n2 ( )y n輸入信號分量輸入信號分量彼此組合的運彼此組合的運算規(guī)則算規(guī)則(加法加法、乘法乘法、卷積卷積)輸出信輸出信號彼此號彼此組合的組合的運算運算系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)組合而成系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)組合而成同 態(tài)同 態(tài)濾 波濾 波系統(tǒng)系統(tǒng)和和皆為卷積皆為卷積卷積卷積同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng)和和皆為乘積皆為乘積乘積乘積同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng)和

6、和皆為加法皆為加法線性線性系統(tǒng)系統(tǒng)“同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng)”從代數(shù)上講，同態(tài)系從代數(shù)上講，同態(tài)系統(tǒng)一名是根據(jù)輸入和輸出的矢量空間統(tǒng)一名是根據(jù)輸入和輸出的矢量空間之間的同態(tài)（亦即線性）映射的定義之間的同態(tài)（亦即線性）映射的定義提出的。同態(tài)變換就是輸入與輸出這提出的。同態(tài)變換就是輸入與輸出這兩個信號矢量空間之間的變換。兩個信號矢量空間之間的變換。青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù) 【例【例】 若想從若想從x(n)=x1(n)x2(n)中恢復(fù)出中恢復(fù)出x1(n)，必須選擇一個線性系統(tǒng)，使，必須選擇一個線性系統(tǒng)，使其輸出為其輸出為 y n 1 ( )x

7、 n再使再使D -1=D -1 111( )( )y nDx nx n 為了分離為了分離x1(n)和和x2(n)，必須用一個線性濾波器來分離，必須用一個線性濾波器來分離 和和 。至。至于如何達到這一目的，還要看運算于如何達到這一目的，還要看運算以及信號以及信號x1(n)和和x2(n)的特性。特征系統(tǒng)的特性。特征系統(tǒng)D 和和D -1僅僅完成運算僅僅完成運算和和分別對線性系統(tǒng)分別對線性系統(tǒng)L的輸入端和輸出端的相加運算的輸入端和輸出端的相加運算的匹配作用，而濾波作用主要靠線性系統(tǒng)來完成。的匹配作用，而濾波作用主要靠線性系統(tǒng)來完成。1 ( )x n 2 xn第二節(jié)第二節(jié) 解解乘積乘積同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng)

8、輸入信號特征：輸入信號特征：兩個或多個分量相乘。兩個或多個分量相乘?！纠纠吭谟兴p的傳輸信道中，可在有衰減的傳輸信道中，可以把衰減效應(yīng)看作是一個緩變分量與被傳輸信號的相乘；調(diào)幅信號為載波信以把衰減效應(yīng)看作是一個緩變分量與被傳輸信號的相乘；調(diào)幅信號為載波信號與調(diào)制信號（包絡(luò)）的乘積等。號與調(diào)制信號（包絡(luò)）的乘積等。匹配于這種相乘性信號的特征系統(tǒng)匹配于這種相乘性信號的特征系統(tǒng)D 應(yīng)具有以下特性：應(yīng)具有以下特性： 什么運算什么運算具有這樣具有這樣的特性？的特性？1212( )( ) ( )( )Dx nx nD x nD x n式式(9-6)輸入信號的一般形式：輸入信號的一般形式：)()()(2

9、1nxnxnx青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù) 對數(shù)運算對數(shù)運算 若若x1(n)和和x2(n)為為實的正序列實的正序列，對于任意實際標量，對于任意實際標量 和和 ，有，有 復(fù)信號的情況復(fù)信號的情況：復(fù)信號要求特征系統(tǒng)取復(fù)對數(shù)，以適應(yīng)更一般的情況。因：復(fù)信號要求特征系統(tǒng)取復(fù)對數(shù)，以適應(yīng)更一般的情況。因此，以相乘作為輸入和輸出運算的同態(tài)濾波系統(tǒng)的一般規(guī)范形式如下圖。此，以相乘作為輸入和輸出運算的同態(tài)濾波系統(tǒng)的一般規(guī)范形式如下圖。 一般，當處理一般，當處理實正信號序列實正信號序列時，特征系統(tǒng)運算只要滿足時，特征系統(tǒng)運算只要滿足式式(9-6)就

10、可以了。因就可以了。因此，特征系統(tǒng)的輸出，并加至線性系統(tǒng)的信號將是：此，特征系統(tǒng)的輸出，并加至線性系統(tǒng)的信號將是： 1212( )( )lnln( )l(n)x nx nx nx n自然對數(shù)自然對數(shù)復(fù)數(shù)量復(fù)數(shù)量 復(fù)數(shù)量復(fù)數(shù)量 復(fù)數(shù)量復(fù)數(shù)量 復(fù)數(shù)量復(fù)數(shù)量 1 ( )x n2 ( )x n( )x n 22 ( )ln( )x nx n11 ( )ln( )x nx n其中 同樣，對于這類系統(tǒng)的線性濾波部分同樣，對于這類系統(tǒng)的線性濾波部分(沖激響應(yīng)沖激響應(yīng))也應(yīng)是實的，并根據(jù)也應(yīng)是實的，并根據(jù)x1(n)和和x2(n)的特性以及濾波要求適當選擇。例如，若需分離各分量或?qū)Ω鞣至孔鳘毜奶匦砸约盀V波要求適

11、當選擇。例如，若需分離各分量或?qū)Ω鞣至孔鳘毩⒌奶幚?，其前提條件是，立的處理，其前提條件是， 和和 的頻譜不得有嚴重的重疊，的頻譜不得有嚴重的重疊，即只有當即只有當一個分量變化快，而另一個分量相對化緩慢時，相乘性同態(tài)濾波才有效一個分量變化快，而另一個分量相對化緩慢時，相乘性同態(tài)濾波才有效。1 ( )x n 2 xn青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù)第三節(jié)第三節(jié) 解解卷積卷積同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng) 輸入信號特征：輸入信號特征：兩個或多個分量卷積。兩個或多個分量卷積?！纠纠?1)(1)在多徑或混響環(huán)境中在多徑或混響環(huán)境中的通信、錄音定位時所產(chǎn)生的

12、失真效應(yīng)，可看作是一種干擾與所需信號的卷的通信、錄音定位時所產(chǎn)生的失真效應(yīng)，可看作是一種干擾與所需信號的卷積；積；(2)(2)在語音處理中，經(jīng)常需要分離聲道沖激響應(yīng)和激勵的影響，至少在一在語音處理中，經(jīng)常需要分離聲道沖激響應(yīng)和激勵的影響，至少在一段時間內(nèi)，可以認為語音波形是由二者卷積形成的；段時間內(nèi)，可以認為語音波形是由二者卷積形成的；(3)(3)地震信號可看作震源地震信號可看作震源能量脈沖和一個包含地層構(gòu)造信息的沖激響應(yīng)的卷積；能量脈沖和一個包含地層構(gòu)造信息的沖激響應(yīng)的卷積；(4)(4)機器的振動響應(yīng)或機器的振動響應(yīng)或噪聲等，都可視為由振源或聲源與傳輸通道的沖激響應(yīng)的卷積；等等。噪聲等，都可

13、視為由振源或聲源與傳輸通道的沖激響應(yīng)的卷積；等等。1 1、特征系統(tǒng)、特征系統(tǒng)D* * 解卷積同態(tài)濾波系統(tǒng)的規(guī)范形式圖解卷積同態(tài)濾波系統(tǒng)的規(guī)范形式圖 12121( )( )( )D x nx nD xnD xnx n2 ( )x n( ) ( )( ):D c x ncD x ncx n符號符號“:”:”代表常數(shù)代表常數(shù)c與與x(n)的代數(shù)運算的代數(shù)運算一、解卷積同態(tài)系統(tǒng)一、解卷積同態(tài)系統(tǒng)設(shè)輸入設(shè)輸入x(n)為離散卷積序列：為離散卷積序列： 1212( )( )( )( )()kx nx nx nx k x nkD*的的特性條件為：特性條件為：青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章

14、 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù)特征系統(tǒng)特征系統(tǒng)D* *的運算過程的運算過程: :12( )( )x nx n12( )( )( )X zX z XzZ變換運算可看成以卷積作輸入運變換運算可看成以卷積作輸入運算和以相乘作輸出運算的同態(tài)變換算和以相乘作輸出運算的同態(tài)變換 Z變換變換相乘同態(tài)系統(tǒng)相乘同態(tài)系統(tǒng)。由于由于X(z)通常通常是復(fù)數(shù)，故必須采用復(fù)對數(shù)是復(fù)數(shù)，故必須采用復(fù)對數(shù)用相乘同態(tài)系統(tǒng)處理用相乘同態(tài)系統(tǒng)處理12( )ln( )ln( )ln( )X zX zX zXz逆逆Z變換變換( )x n 1 ( )x n 2 ( )x n 和和 分別為分別為lnX1(z)和和lnX2(z)的逆

15、的逆Z變換。可見，特征系統(tǒng)變換?？梢?，特征系統(tǒng)D* *的作的作用在于，同態(tài)系統(tǒng)的輸入端實現(xiàn)時域上的用在于，同態(tài)系統(tǒng)的輸入端實現(xiàn)時域上的由卷積至相加運算由卷積至相加運算的同態(tài)變換，以的同態(tài)變換，以便和后面的線性系統(tǒng)匹配。便和后面的線性系統(tǒng)匹配。1 ( )x n2 ( )x n( )x n1 ( )x n2 ( )x n 稱為實信號稱為實信號x(n)的復(fù)時譜。的復(fù)時譜。 和和 分別稱為分別稱為x1(n)和和x2(n)的復(fù)時譜，的復(fù)時譜，它們都是信號它們都是信號x(n)的復(fù)時譜分量。從工程的觀點，的復(fù)時譜分量。從工程的觀點， 應(yīng)是實序列，而且，更應(yīng)是實序列，而且，更重要的是，它和實信號序列重要的是，

16、它和實信號序列x(n)應(yīng)是唯一的對應(yīng)。既然應(yīng)是唯一的對應(yīng)。既然 是對是對x(n)順次作三順次作三次變換次變換(Z變換變換、復(fù)對數(shù)復(fù)對數(shù)和和逆逆Z變換變換)后回到時域后回到時域(n)的映射，那么必須避免在取的映射，那么必須避免在取復(fù)對數(shù)時可能出現(xiàn)的模糊性（復(fù)變函數(shù)的對數(shù)是多值函數(shù)）。復(fù)對數(shù)時可能出現(xiàn)的模糊性（復(fù)變函數(shù)的對數(shù)是多值函數(shù)）。( )x n( )x n青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù)2 2、線性系統(tǒng)、線性系統(tǒng)L 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)L的選擇的選擇：依據(jù)信號的：依據(jù)信號的復(fù)時譜復(fù)時譜的特性及濾波處理要求而定。實際上，的特性及濾波處理要求

17、而定。實際上，包含在信號的復(fù)時譜內(nèi)的各個分量往往有顯著的差異，它們沿時間軸包含在信號的復(fù)時譜內(nèi)的各個分量往往有顯著的差異，它們沿時間軸(n)的分的分布是不完全重疊的。這就為線性系統(tǒng)提供了有效濾波的可能性。布是不完全重疊的。這就為線性系統(tǒng)提供了有效濾波的可能性。 卷積同態(tài)系統(tǒng)中線性系統(tǒng)卷積同態(tài)系統(tǒng)中線性系統(tǒng)L的特殊性的特殊性：用用Z變換或傅氏變換將卷積同態(tài)系統(tǒng)轉(zhuǎn)變換或傅氏變換將卷積同態(tài)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為乘積同態(tài)系統(tǒng)，它的線性系統(tǒng)不是在換為乘積同態(tài)系統(tǒng)，它的線性系統(tǒng)不是在離散時域離散時域，而是在，而是在連續(xù)頻域連續(xù)頻域（或（或離散離散頻域頻域）作周期性卷積運算。）作周期性卷積運算。 卷積同態(tài)系統(tǒng)中線性系統(tǒng)

18、卷積同態(tài)系統(tǒng)中線性系統(tǒng)L的作用的作用：完成完成復(fù)時譜復(fù)時譜 在時域上的加權(quán)。如在時域上的加權(quán)。如果令果令l(n)表示其加權(quán)函數(shù)，線性系統(tǒng)的輸出序列表示其加權(quán)函數(shù)，線性系統(tǒng)的輸出序列 應(yīng)為：應(yīng)為：( )x n( )y n式兩邊取式兩邊取Z變換變換( )Y z( )( )L zX z()jY e或()()jjL eX e 即即 等于等于 和和 的的周期性卷積周期性卷積。 是是非頻變非頻變線性系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。沖激響應(yīng)。()jL e()jL e()jY e()jX e 通常限定通常限定x(n)、 、y(n)、 都是都是實的穩(wěn)定序列實的穩(wěn)定序列，實際上也能滿足這一，實際上也能滿足這一要求。因此

19、，要求。因此，l(n)也應(yīng)是實序列，通常也應(yīng)是穩(wěn)定的也應(yīng)是實序列，通常也應(yīng)是穩(wěn)定的。這意味著這意味著L(z)的收斂域的收斂域包括單位圓，包括單位圓，L(ej)的實部和虛部分別是的偶函數(shù)和奇函數(shù)。的實部和虛部分別是的偶函數(shù)和奇函數(shù)。( )x n( )y n)( )()( nxnlny青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù) 幾種典型的幾種典型的線性非頻變系統(tǒng)線性非頻變系統(tǒng)的的l(n)曲線如曲線如下下圖圖。它們分別具有。它們分別具有“短通短通”“”“長長通通”和和“梳狀梳狀”型型復(fù)時譜復(fù)時譜濾波特性。濾波特性。短通型短通型長通型長通型梳狀型梳狀型3

20、 3、逆特征系統(tǒng)、逆特征系統(tǒng)D* *-1-1逆特征系統(tǒng)完成逆特征系統(tǒng)完成特征系統(tǒng)特征系統(tǒng)D* *的逆運算，根據(jù)定義，有的逆運算，根據(jù)定義，有1 ( )( )DD x nx n 由于認定由于認定x(n)和和 是穩(wěn)定的，因此是穩(wěn)定的，因此y(n)和和 也必然也必然是是穩(wěn)定穩(wěn)定的的序列序列。這。這樣，樣，Y(z)和和 的收斂域必定包括單位圓，而有的收斂域必定包括單位圓，而有( )x n( )y n( )Y z1( ) ( )( )exp ( )y nZY zY zY z以及 注意注意：在卷積同態(tài)濾波在卷積同態(tài)濾波處處理中，無論是將信號用理中，無論是將信號用Z變換表示，或仍用時序上變換表示，或仍用時序

21、上的序列表示，都將遇到對的序列表示，都將遇到對復(fù)量復(fù)量X(z)取復(fù)對數(shù)的問題，于是都有可能出現(xiàn)模糊性。取復(fù)對數(shù)的問題，于是都有可能出現(xiàn)模糊性。因而在應(yīng)用中必須設(shè)法避免在取復(fù)對數(shù)時出現(xiàn)模糊性的可能性。因而在應(yīng)用中必須設(shè)法避免在取復(fù)對數(shù)時出現(xiàn)模糊性的可能性。青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù)二、解卷積同態(tài)濾波在去混響中的應(yīng)用二、解卷積同態(tài)濾波在去混響中的應(yīng)用剔除回聲干擾的解剔除回聲干擾的解卷積同態(tài)濾波分析卷積同態(tài)濾波分析設(shè)復(fù)合信號設(shè)復(fù)合信號x(n)為為 設(shè)設(shè)s(n)為因果性、實的指數(shù)衰減序列：為因果性、實的指數(shù)衰減序列：00( )( )()(

22、 ) ( )()x ns ns nns nnnn0( )( )()p nnnn沖擊響應(yīng)( )( )( )x ns np n主波主波回聲波回聲波s(n-n0)，為為衰減系數(shù)，為實數(shù)衰減系數(shù)，為實數(shù)主波主波00( )1,0nns naanZ變換1( ) ( )1 (1),S zZ s nazza11( )ln ( )ln(1)nnnaS zS zazzn 取復(fù)對數(shù)，并按冪級數(shù)展開取復(fù)對數(shù)，并按冪級數(shù)展開青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù)11( )ln ( )ln(1)nnnaS zS zazzn 觀察觀察z-n項的系數(shù)，得到其逆變換項的系數(shù)，

23、得到其逆變換s(n)的的復(fù)時譜復(fù)時譜 對于干擾回聲，沖激響應(yīng)對于干擾回聲，沖激響應(yīng)p(n)的的Z變換、變換的變換、變換的復(fù)對數(shù)復(fù)對數(shù)、復(fù)時譜復(fù)時譜分別為分別為100( ) ( )0nns nZS zann它它仍仍然是一個然是一個因果性、實的因果性、實的衰減序列，衰衰減序列，衰減速度為原序減速度為原序列列s(n)的的n倍倍0( )1nP zz p(n)的的Z變換：變換：0011( )ln ( )ln1( 1)knknkkP zP zzzkZ變換的復(fù)對數(shù)變換的復(fù)對數(shù): :1010,0( )1(),0kkknp nnknnkZ變換的復(fù)時譜：變換的復(fù)時譜：它在它在n=kn0處呈現(xiàn)正、負處呈現(xiàn)正、負相間

24、的尖峰相間的尖峰 圖圖(e)(e) 青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù) 在特征系統(tǒng)中對信號在特征系統(tǒng)中對信號x(n)作同態(tài)變換后，其復(fù)時譜作同態(tài)變換后，其復(fù)時譜 將是兩個復(fù)時譜將是兩個復(fù)時譜分量分量 與與 之和之和圖圖(f)。如果同態(tài)濾波系統(tǒng)的目的是要剔除回聲干擾，。如果同態(tài)濾波系統(tǒng)的目的是要剔除回聲干擾，恢復(fù)主波恢復(fù)主波s(n)，就應(yīng)當選擇線性系統(tǒng)，就應(yīng)當選擇線性系統(tǒng)L的加權(quán)函數(shù)的加權(quán)函數(shù)l(n)具有梳狀型具有梳狀型. .它把它把 分分布在布在n=kn0處的分量濾除，保留處的分量濾除，保留 時譜濾波輸出為：時譜濾波輸出為：( )x n(

25、 )s n( )p z( )s n( )p n( )s n( )y n 再經(jīng)逆特征系統(tǒng)的運算再經(jīng)逆特征系統(tǒng)的運算同態(tài)系統(tǒng)的濾波輸出為：同態(tài)系統(tǒng)的濾波輸出為：1( )exp( ( )( )y nZZ y ns n 解混響解混響從混響中分離開主波和多徑的從混響中分離開主波和多徑的沖激響應(yīng)。如果認為混響是對主波的失真，沖激響應(yīng)。如果認為混響是對主波的失真，那么解混響的目的是要那么解混響的目的是要取出主波取出主波；但有時沖；但有時沖激響應(yīng)包含著表征環(huán)境的物理結(jié)構(gòu)或過程的激響應(yīng)包含著表征環(huán)境的物理結(jié)構(gòu)或過程的信息，這時解混響的目的便是信息，這時解混響的目的便是取出沖激響應(yīng)取出沖激響應(yīng)。例如例如，在地震測

26、量或地質(zhì)勘測中，爆炸產(chǎn)生，在地震測量或地質(zhì)勘測中，爆炸產(chǎn)生的地震能量脈沖沿地球傳播，在地殼的地層的地震能量脈沖沿地球傳播，在地殼的地層間的邊界處發(fā)生反射，是一系統(tǒng)不規(guī)則的沖間的邊界處發(fā)生反射，是一系統(tǒng)不規(guī)則的沖激脈沖，它包含了地殼結(jié)構(gòu)的信息，而地震激脈沖，它包含了地殼結(jié)構(gòu)的信息，而地震主波取決于激勵擾動和在傳播中發(fā)生衰減和主波取決于激勵擾動和在傳播中發(fā)生衰減和色散的性質(zhì)。由于主波和一系列回聲在時間色散的性質(zhì)。由于主波和一系列回聲在時間上的重疊而掩飾了的結(jié)構(gòu)，需濾波分離上的重疊而掩飾了的結(jié)構(gòu)，需濾波分離.地震信號記錄地震信號記錄地震信號的復(fù)時譜地震信號的復(fù)時譜同態(tài)解卷積后的同態(tài)解卷積后的地震主波

27、波形地震主波波形青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù) 時譜技術(shù)時譜技術(shù) ? ? 卷積同態(tài)系統(tǒng)的關(guān)鍵就在于通過特征系統(tǒng)的同態(tài)變換，把卷卷積同態(tài)系統(tǒng)的關(guān)鍵就在于通過特征系統(tǒng)的同態(tài)變換，把卷積組合的幾個分量變換為各個分量的積組合的幾個分量變換為各個分量的復(fù)時譜復(fù)時譜(complex cepstrum)之和，通常將之和，通常將這種方法稱為這種方法稱為時譜技術(shù)時譜技術(shù)，也稱，也稱二次譜分析二次譜分析，主要包括，主要包括復(fù)時譜復(fù)時譜和和功率時譜功率時譜分析分析. .一、復(fù)時譜一、復(fù)時譜 實際應(yīng)用中的情況及限定條件實際應(yīng)用中的情況及限定條件：實際應(yīng)用中的

28、輸入信號序列：實際應(yīng)用中的輸入信號序列x(n)往往是往往是實的，而且也希望它的實的，而且也希望它的復(fù)時譜復(fù)時譜是實的。此外，為了便于用是實的。此外，為了便于用FFT作作復(fù)時譜復(fù)時譜運算，運算，必須限定積分回線必須限定積分回線c為單位圓。于是，這些限制歸納為：為單位圓。于是，這些限制歸納為：第四節(jié)第四節(jié) 時譜技術(shù)時譜技術(shù) 序列序列x(n)的的復(fù)時譜復(fù)時譜 仍是一個在時域上的離散序列，它定義為仍是一個在時域上的離散序列，它定義為x(n)的的Z變變換的復(fù)對數(shù)的逆變換，即換的復(fù)對數(shù)的逆變換，即( )x n在在 的收斂域上的閉合回線的收斂域上的閉合回線( )ln ( )x zX z( )x n( )x

29、n （1 1）x(n)和和 是實的、穩(wěn)定的；是實的、穩(wěn)定的； （2 2）因而因而Xz和和lnX(z)在單位圓上收斂；在單位圓上收斂； （3 3）lnX(z)必須在包括單位圓在內(nèi)的某個環(huán)形域內(nèi)是解析的，而必須在包括單位圓在內(nèi)的某個環(huán)形域內(nèi)是解析的，而 正正是對應(yīng)著是對應(yīng)著lnX(z)在該域上的逆在該域上的逆Z變換而唯一地存在。變換而唯一地存在。 ( )x n 注意（一）注意（一）：名為復(fù)時譜的名為復(fù)時譜的 通常卻是實序列，通常卻是實序列，“復(fù)復(fù)”的含義系指定義的含義系指定義式中的式中的X(z)和和lnX(z)都是復(fù)的。都是復(fù)的。cndzznxZjnxZZzXZnx111)(ln21)(ln)(l

30、n)( 青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù) 在特征系統(tǒng)中，采用時譜技術(shù)之后，兩個（或多個）序列的卷積被轉(zhuǎn)換為在特征系統(tǒng)中，采用時譜技術(shù)之后，兩個（或多個）序列的卷積被轉(zhuǎn)換為序列的序列的復(fù)時譜之和復(fù)時譜之和，以便在復(fù)時譜的，以便在復(fù)時譜的時域時域n上用線性系統(tǒng)的方法作分離和濾波，上用線性系統(tǒng)的方法作分離和濾波，故故卷積同態(tài)濾波卷積同態(tài)濾波又稱為又稱為復(fù)時譜濾波復(fù)時譜濾波，即，即 特點特點：復(fù)時譜是從復(fù)譜得來的，不像：復(fù)時譜是從復(fù)譜得來的，不像功率時譜功率時譜那樣，它不損失相位信息。因此，獲那樣，它不損失相位信息。因此，獲得復(fù)時譜的過程是可逆

31、的，在作濾波處理之后還能恢復(fù)所需的信號分量。所以復(fù)時譜得復(fù)時譜的過程是可逆的，在作濾波處理之后還能恢復(fù)所需的信號分量。所以復(fù)時譜可用來消除動態(tài)信號傳輸過程中的卷積和多重效應(yīng)?？捎脕硐齽討B(tài)信號傳輸過程中的卷積和多重效應(yīng)。 注意（二）注意（二） 是是x(n)從從時域至頻域時域至頻域、頻域至頻域頻域至頻域、頻域至時域頻域至時域的三次映的三次映射。因在頻域上作了一次射。因在頻域上作了一次單向的非線性變換單向的非線性變換復(fù)對數(shù)變換復(fù)對數(shù)變換， 僅僅是僅僅是x(n)的三次映射，而不等于的三次映射，而不等于x(n)本身。因此嚴格說來，卷積同態(tài)濾波是一種本身。因此嚴格說來，卷積同態(tài)濾波是一種非線非線性濾波性

32、濾波，但它遵從廣義疊加原理，在這個意義上，它又屬于線性濾波范疇，但它遵從廣義疊加原理，在這個意義上，它又屬于線性濾波范疇.( )x n( )x n 復(fù)復(fù)時譜濾波時譜濾波12( )( )( )x nx nx n時譜技術(shù)時譜技術(shù)( )x n 1 ( )x n 2 ( )x n 應(yīng)用應(yīng)用：1）從所測信號的復(fù)時譜中減去信號傳輸途徑（環(huán)境、物理結(jié)構(gòu)或過程）的從所測信號的復(fù)時譜中減去信號傳輸途徑（環(huán)境、物理結(jié)構(gòu)或過程）的沖激響應(yīng)復(fù)時譜，去掉信號傳輸途徑的影響，而設(shè)法使得信號源處的信號保真或除噪；沖激響應(yīng)復(fù)時譜，去掉信號傳輸途徑的影響，而設(shè)法使得信號源處的信號保真或除噪；2）從所測信號的復(fù)時譜中減去信號源處

33、信號的復(fù)時譜，設(shè)法提取出反映信號傳輸途徑從所測信號的復(fù)時譜中減去信號源處信號的復(fù)時譜，設(shè)法提取出反映信號傳輸途徑特征的沖激響應(yīng)信息，為了解傳輸途徑特性和對其進行改進提供依據(jù)。特征的沖激響應(yīng)信息，為了解傳輸途徑特性和對其進行改進提供依據(jù)。 優(yōu)點優(yōu)點：（1 1）只需對一個函數(shù)作運算，而不必分別對幅值和相位做運算；只需對一個函數(shù)作運算，而不必分別對幅值和相位做運算；（2 2）沖激沖激響應(yīng)通常是在復(fù)時譜的低端，只需在復(fù)時譜的有限范圍內(nèi)予以消除即可。響應(yīng)通常是在復(fù)時譜的低端，只需在復(fù)時譜的有限范圍內(nèi)予以消除即可。青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù)二

34、、功（率）時譜二、功（率）時譜（Power Cepstrum）或功率倒譜或功率倒譜 定義定義：序列的：序列的Z變換的變換的幅度幅度平方的對數(shù)的逆平方的對數(shù)的逆Z變換的平方，即變換的平方，即 功時譜與復(fù)功時譜與復(fù)時譜的關(guān)系：時譜的關(guān)系： 功時譜分析技術(shù)的特點功時譜分析技術(shù)的特點：比復(fù)時譜分析技術(shù)簡單，因為它不需計算譜的相位，不存：比復(fù)時譜分析技術(shù)簡單，因為它不需計算譜的相位，不存在多值性問題。在多值性問題。|X(ej)|2代表確定性序列的功率譜（常數(shù)因子除外）。由于代表確定性序列的功率譜（常數(shù)因子除外）。由于ln|X(z)|為為 的的實部，它的逆實部，它的逆Z變換是變換是 的偶分量的偶分量 ，即

35、，即( )X z( )x n ( )ex n1ln( )( )eZX zx n1 ( )2x n ()xn212121 ( )ln( ) 2ln( )pcxnZX zZX zZ2()xn 24exn( )x n 應(yīng)用應(yīng)用：可用于多徑回聲檢測，延時估計，振動和噪聲的源識別，機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動態(tài)：可用于多徑回聲檢測，延時估計，振動和噪聲的源識別，機械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動態(tài)特性識別，機械故障診斷與預(yù)報，以及地震分析等方面。對檢出功率譜中的周期分量，特性識別，機械故障診斷與預(yù)報，以及地震分析等方面。對檢出功率譜中的周期分量，如諧波及邊帶，尤其是混合有不同族的諧波和邊帶的復(fù)雜信號的分析，很有效。如諧波及邊帶，尤其是混

36、合有不同族的諧波和邊帶的復(fù)雜信號的分析，很有效。 缺點缺點：盡管可以：盡管可以通過測得的響應(yīng)特性識別源特性或系統(tǒng)的傳輸特性，但由于通過測得的響應(yīng)特性識別源特性或系統(tǒng)的傳輸特性，但由于功率時功率時譜喪失了相位信息譜喪失了相位信息，所以不能用來恢復(fù)波形所以不能用來恢復(fù)波形。221)(ln)(zXZnxpc青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù)三、時譜技術(shù)的工程應(yīng)用三、時譜技術(shù)的工程應(yīng)用1 1、功時譜功時譜時頻域時頻域轉(zhuǎn)換的物理意義轉(zhuǎn)換的物理意義 以傅里葉變換為基礎(chǔ)，在連續(xù)時間域內(nèi)進一步討論以傅里葉變換為基礎(chǔ)，在連續(xù)時間域內(nèi)進一步討論功時譜功時譜問

37、題。此時功時問題。此時功時譜表達式為譜表達式為 故故功時譜功時譜可稱作可稱作對數(shù)功率譜的功率譜對數(shù)功率譜的功率譜。工程上常用到上兩式的平方根，即。工程上常用到上兩式的平方根，即21212 ( )log( )log( )xpcFxX fSfqF自功率譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù)Sx(f)本身是偶函數(shù)，其對數(shù)也是實偶函數(shù)，本身是偶函數(shù)，其對數(shù)也是實偶函數(shù)，故其故其FT和和IFT相等，并且也是實偶函數(shù)相等，并且也是實偶函數(shù)2 ( ) log( )pcxxqSfF1( )log( )log( )xxxC qSfSfFF稱幅值功時譜稱幅值功時譜或幅值或幅值倒倒頻譜頻譜 可見，可見，幅值幅值倒倒頻譜頻譜與與

38、自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)有類似之處。所不同點是，自相關(guān)函數(shù)是有類似之處。所不同點是，自相關(guān)函數(shù)是直接從自功率譜求傅里葉逆變換，而幅值倒頻譜則是對自功率譜的對數(shù)求傅直接從自功率譜求傅里葉逆變換，而幅值倒頻譜則是對自功率譜的對數(shù)求傅里葉變換。里葉變換。信號信號x(t)的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為1( )( )xxRFSf青島大學機電工程學院青島大學機電工程學院第九章第九章 同態(tài)濾波與時譜技術(shù)同態(tài)濾波與時譜技術(shù) 倒頻譜倒頻譜：幅值倒頻譜中的自變量：幅值倒頻譜中的自變量q稱為倒頻率稱為倒頻率, ,其量綱與其量綱與x(t)及其及其Rx()中中的的t及及 相同，一般以毫秒計。相同，一般以毫秒計。q值大，稱為高倒頻率，表示頻譜圖上的快速波值大，稱為高倒頻率，表示頻譜圖上的快速波動和密集頻譜；動和密集頻譜；q值小，稱為低倒頻率，表示頻譜圖上的緩慢波動和疏散頻譜值小，