用因式分解法解一元二次方程

1、大拇指教育學(xué)科教師輔導(dǎo)教案學(xué)員編號(hào)：年 級(jí)：八年級(jí)課 時(shí) 數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：張老師授課類型： 同步/ 專題/能 力模塊進(jìn)行組 合同步： 平行四邊行專題：特殊的平行四邊形能力：教學(xué)目標(biāo)星級(jí)授課日期及時(shí) 段教學(xué)內(nèi)容用因式分解法解一元二次方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1會(huì)用因式分解法解某些一元二次方程2能夠根據(jù)方程的特征，靈活運(yùn)用一元二次方程的各種解法求方程的根【主體知識(shí)歸納】1因式分解法 若一元二次方程的一邊是 0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí)，例如，x2 90，這個(gè)方程可變形為 （ x 3）（ x 3） 0，要（ x 3）（ x3）等于 0，必須并且只需 （ x3）等于 0或（ x 3

2、）等于 0， 因此，解方程 （x3）（ x3） 0就相當(dāng)于解方程 x30 或 x30 了，通過解這兩個(gè)一次方程就可得到 原方程的解這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法2因式分解法其解法的關(guān)鍵是將一元二次方程分解降次為一元一次方程其理論根據(jù)是：若A·B 0 A0或 B0【基礎(chǔ)知識(shí)講解】1只有當(dāng)方程的一邊能夠分解成兩個(gè)一次因式，而另一邊是 0的時(shí)候， 才能應(yīng)用因式分解法解一元二次方程分解因式時(shí)，要根據(jù)情況靈活運(yùn)用學(xué)過的因式分解的幾種方法2在一元二次方程的四種解法中， 公式法是主要的，公式法可以說是通法， 即能解任何一個(gè)一元二次 方程但對(duì)某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接開平方法簡(jiǎn)便

3、，有的用因式分解法簡(jiǎn)便因此，在 遇到一道題時(shí)， 應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ?配方法解一元二次方程是比較麻煩的， 在實(shí)際解一元二次方程時(shí)， 一般不用配方法而在以后的學(xué)習(xí)中，會(huì)常常用到因式分解法，所以要掌握這個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法【例題精講】例 1 ：用因式分解法解下列方程：2（1）y27y60； （2） t （2t 1）3（2t1）； （3）（2 x1）（ x 1） 1解：（1） 方程可變形為 （ y 1）（ y6）0，y10或y60， y1 1， y2 61（2）方程可變形為 t（2t1）3（2t1）0，（2t1）（ t3）0，2t10 或 t 30， t 1 ，t222（3）方程可變形為 2x23x0x

4、（2 x3） 0，x0 或 2x303 x 1 0， x2 2說明： （1） 在用因式分解法解一元二次方程時(shí)， 一般地要把方程整理為一般式， 如果左邊的代數(shù)式能夠 分解為兩個(gè)一次因式的乘積，而右邊為零時(shí)，則可令每一個(gè)一次因式為零，得到兩個(gè)一元一次方程，解出 這兩個(gè)一元一次方程的解就是原方程的兩個(gè)解了（2）應(yīng)用因式分解法解形如 （ x a）（ xb）c的方程，其左邊是兩個(gè)一次因式之積，但右邊不是零，所 以應(yīng)轉(zhuǎn)化為形如 （xe）（ xf ） 0的形式，這時(shí)才有 x1 e， x2 f ，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，如 （3） 可能產(chǎn)生如下 的錯(cuò)解：原方程變形為： 2x11 或 x11 x11， x2 2（3）在

5、方程 （2） 中，為什么方程兩邊不能同除以 （2t 1） ，請(qǐng)同學(xué)們思考？例 2 ：用適當(dāng)方法解下列方程：（1）3 （1 x） 2 27 ；（2） x26x190；（3）3x24x1；（4） y2152y；（5）5x（x3）（x3）（x 1）0；22（6）4（3 x1） 225（x2） 2剖析：方程 （1） 用直接開平方法，方程 （2） 用配方法，方程 （3） 用公式法，方程 （4） 化成一般式后用因式 分解法，而方程 （5） 、 （6） 不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了解： （1）（1 x） 9 ，（x1） 3，x1± 3 ，x11 3 ，x21 3 2 2 2 2 2（

6、2）移項(xiàng)，得 x26x19，配方，得 x26x（3）219（3）2，（x3）228，x3±2 7 ， x 1 3 2 7 ， x2 3 2 7 2（3）移項(xiàng)，得 3x24x 10， a 3， b 4，c 1，x( 4) ( 4) 2 4 3 ( 1)232732 7 2 7 x 1， x 233（4）移項(xiàng)，得 y22y150，把方程左邊因式分解，得 （ y5）（ y 3） 0； y5 0 或 y 30， y15，y2 3（5）將方程左邊因式分解，得 （x3）5x（x1）0，（x3）（4 x1）0， x30 或 4x 1 0， 3， 1 x1 3， x2 422（6）移項(xiàng)，得 4（3

7、x 1） 2 25（ x 2） 20， 2（3x1）25（ x2）20， 2（3 x1）5（x2）·2（3 x1）5（x2）0， （11 x8）（ x12） 0，11x80 或 x 12 0， x1 8 ，x21211說明： （1） 對(duì)于無理系數(shù)的一元二次方程解法同有理數(shù)一樣，只不過要注意二次根式的化簡(jiǎn)（2） 直接因式分解就能轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一次因式乘積等于零的形式， 對(duì)于這種形式的方程就不必要整理成一 般式了例 3: 解關(guān)于 x 的方程： （ a2b2） x2 4abx a2 b2解： （1） 當(dāng) a2b20，即 a b時(shí)，方程為 4abx 0當(dāng) ab0時(shí)， x為任意實(shí)數(shù)當(dāng) a b 0時(shí)

8、， x022（2） 當(dāng)a2b20，即 ab0且 ab0時(shí)，方程為一元二次方程分解因式，得（ab）x（ab） （ a b） x （ ab） 0， a b 0 且 a b 0 ，b aa b x1， x2a ba b說明：解字母系數(shù)的方程，要注意二次項(xiàng)系數(shù)等于零和不等于零的不同情況分別求解本題實(shí)際上是 分三種情況，即 a b0； a b 0； a b例 4: 已知 x2xy2y20，且 x0， y 0，求代數(shù)式22x2 2xy 5y2 的值x2 2xy 5y2剖析：要求代數(shù)式的值， 只要求出 x、y的值即可， 但從已知條件中顯然不能求出， 要求代數(shù)式的分子、 分母是關(guān)于 x、y 的二次齊次式，所以

9、知道 x 與 y 的比值也可由已知 x2 xy2y20 因式分解即可得 x 與 y 的比值22解：由 x2 xy 2y2 0，得（ x 2y）（ xy）0，x2y0或 xy0，x2y或 xy當(dāng) x 2y 時(shí)，x 22xy5y2(2y)22 2y y5y2 5y 25x 22xy5y 2(2y)22 2y y5y213y213當(dāng) xy 時(shí)，x 2 2xy 5y222x2 2xy 5y 2( y)2 2 ( y) y 5y 22y21( y)2 2 ( y) y 5y4y 22說明：因式分解法體現(xiàn)了“降次”化歸”的數(shù)學(xué)思想方法，它不僅可用來解一元二次方程，而且在解元高次方程、二元二次方程組及有關(guān)代

10、數(shù)式的計(jì)算、證明中也有著廣泛的應(yīng)用【同步達(dá)綱練習(xí)】1選擇題（1） 方程（ x16）（ x 8） 0的根是 （ ）16，A x1 16，x28 x2 8 (2) 下列方程 4x23x10，5x27x20，13x215x20 中，有一個(gè)公共解是Bx116，x2 8Cx1 16，x28Dx11 A x2(3) 方程 5x( x3) 3( x 3)解為(Bx2Cx1Dx 13Ax1 ， x2 35B3x5C3x1 ， x2 35D x1 x2 3(4) 方程( y5)( y2)1的根為( A y15， y2 2B案都不對(duì)22(5) 方程( x 1) 24( x 2) 2 0的根為 ( ) y5Cy2D

11、以上答A x11， x2 5B x1 1， x2 5Cx1 1， x2 5Dx11， x2 5(6) 一元二次方程 x25x0 的較大的一個(gè)根設(shè)為 m， x2 3x20 較小的根設(shè)為 n，則 mn 的值為 ( )A1B2C 4D4(7)已知三角形兩邊長(zhǎng)為4和 7，第三邊的長(zhǎng)是方程x216x55 0 的一個(gè)根，則第三邊長(zhǎng)是()A5B 5 或 11C6D11(8)方程 x2 3| x1| 1 的不同解的個(gè)數(shù)是 ( )A0B1C2D32填空題(1) 方程 t(t3)28 的解為2(2) 方程(2x1)23(2x1)0的解為 (3) 方程(2 y 1) 2 3(2 y1) 2 0的解為 2(4) 關(guān)于

12、 x的方程 x2(mn)xmn0的解為 (5) 方程 x(x 5 ) 5 x 的解為 3用因式分解法解下列方程：2 2 2(1) x212x 0；(2)4 x21 0；(3) x27x；2(4) x24x 210；(5)( x1)( x3) 12；2(6)3 x22x 10；2(7)10 x2x 30；2(8)( x 1) 24( x 1) 2104用適當(dāng)方法解下列方程：（1） x24x 30；2(4) x22x 30；(2)( x2) 2256；2(5) (2 t 3) 2 3(2 t3)；(3) x2 3x10；22(6) (3 y) 2 y2 9；(7)(1 2 )x (1 2 )x 0 ；(8) 5 x2(5 2 1)x 10 0；(9)(x5)22(x5) 805解關(guān)于 x 的方程：22(1) x24ax 3a212a；22(2)x2 5xk22kx5k 6；(3) x22mx 8m20；(4)22x2 (2 m 1) xm2 m 06已知 x23xy4y2 0（