中考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題講解幾何應(yīng)用題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載九幾何應(yīng)用題幾何應(yīng)用問(wèn)題是近幾年來(lái)中考的一大考點(diǎn)，它是把幾何知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的一類(lèi)題型，一般有這樣幾類(lèi)：（一）三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用；（二）幾何設(shè)計(jì)問(wèn)題； （三）折線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題； （四）幾何綜合應(yīng)用問(wèn)題。解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的背景，抽象出幾何模型，利用幾何知識(shí)加以解決，然后再回到實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)行檢驗(yàn)、解釋、反思，解題時(shí)應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想。一、三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用例 1某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開(kāi)辟為生物園，如圖所示，ACB=90o， AC=80米， BC=60米。（ 1）若入口 E 在邊 AB上，且 A， B 等距離，求從入口E 到出口

2、 C 的最短路線的長(zhǎng)；（ 2）若線段 CD是一條水渠， 且 D 點(diǎn)在邊 AB 上，已知水渠的造價(jià)為10 元/ 米，則 D點(diǎn)在距 A 點(diǎn)多遠(yuǎn)處時(shí)，此水渠的造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？C分析： 本題是一道直角三角形的應(yīng)用問(wèn)題，解決此題首先要弄清等距離，最短路線，最低造價(jià)幾個(gè)概念。1E 點(diǎn)在 AB 上且與 AB 等距離，說(shuō)明E 點(diǎn)是 AB的中點(diǎn)， E 點(diǎn)到 C點(diǎn)的最短路線即為線段 CE。2水渠 DC越短造價(jià)越低，當(dāng) DC垂直于 AB時(shí)最短，此時(shí)造價(jià)最低。AEB本題考察了中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離，點(diǎn)與直線的距離，以及解直角三角形的知識(shí)。D解：（ 1）由題意知，從入口E 到出口 C的最短路線就是Rt ABC斜邊

3、上的中線 CE。在 Rt ABC中， AB= AC 2BC 2802602100 （米）。 CE=1 AB=1 × 100=50（米）。22即從入口 E 到出口 C的最短路線的長(zhǎng)為50 米。（ 3）當(dāng) CD是 Rt ABC斜邊上的高時(shí)， CD最短，從而水渠的造價(jià)最低。 CD?AB=AC?BC， CD= AC BC608048( 米）。AB100AD= AC 2CD 280 248 2 =64（米）。所以， D 點(diǎn)在距 A 點(diǎn) 64 米的地方，水渠的造價(jià)最低，其最低造價(jià)為48 10=480 元。例 2一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為 1.5米，面積為 1.5 平方米，要把它加工成

4、一個(gè)面積最大的正方形桌面，甲乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖1，圖 2 所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位同學(xué)的加工方法符合要求。（加工損耗忽略B不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）。DFAEC分析：本題是一道利用相似三角形性質(zhì)來(lái)解決的幾何應(yīng)用問(wèn)題。可先設(shè)出正方形邊長(zhǎng)，利用對(duì)應(yīng)邊成比例，列方程求解邊長(zhǎng)，邊長(zhǎng)大則面積大。解：由AB=1.5米， S ABC=1.5 平方米，得BC=2米 . 設(shè)甲加工的桌面邊長(zhǎng)為米，DE/AB ， Rt CDERt CBA ,學(xué)習(xí)必備歡迎下載 CDDE，即2xx，解得 x6 。如圖， 過(guò)點(diǎn) B 作 Rt ABC斜邊 AC的高 BH，交 DE于 P，并 AC于 H。CBAB21.5

5、7由 AB 1.5 米，BC 2 米，ABC1.5平方米，C2.5 米，BH 1.2 米。設(shè)乙加工的桌面邊長(zhǎng)為y 米， DE/AC，SRt BDE Rt BAC， BPDE ，即 1.2 yy，解得 y30 。因?yàn)?630 ，即 x y ， x2y2 ，所以甲BHAC1.22.537737同學(xué)的加工方法符合要求。BDPE二、幾何設(shè)計(jì)問(wèn)題AGHFC例 3. 在一服裝廠里有大量形狀為等腰三角形的邊角布料（如圖）?，F(xiàn)找出其中的一種，測(cè)得C 90°， AB BC 4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在ABC的邊上，且扇形與 ABC的其他邊相切。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)

6、出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑（只要求畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出扇形半徑）。分析：本題考察分類(lèi)討論，切線的性質(zhì)以及作圖能力。本題的關(guān)鍵是找出圓心和半徑，分類(lèi)時(shí)應(yīng)考慮到所有情況，可以先考慮圓心的位置，在各邊上或在各頂點(diǎn)，然后排除相同情況。解：可以設(shè)計(jì)如下四種方案：AAACCr122Ar 3 2OCBCBr24r 44 2 4BOB例 4. 小明家有一塊三角形菜地，要種植面積相等的四種蔬菜，請(qǐng)你設(shè)計(jì)四種不同的分割方案（分成三角形或四邊形不限） 。方案一方案二方案三方案四學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析： 本題如從三角形面積方面考慮可以把其中一邊四等分，再分別與對(duì)角頂點(diǎn)連結(jié)；也可從相似三角形性質(zhì)來(lái)考

7、慮。解：三、折線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題例 5.如圖，客輪沿折線 A B C從 A出發(fā)經(jīng)B再到勻速航C行，貨輪從AC的中點(diǎn) D出發(fā)沿直線勻速航行，將一批物品送達(dá)客輪兩船同時(shí)起航，并同時(shí)到達(dá)折線 上的某點(diǎn)E處已知200 海里，90°，客輪速度是貨輪速度的2 倍A B CABBCABC(1) 選擇：兩船相遇之處 E 點(diǎn)在 ( )（ A）線段 AB上 （ B）線段 BC上 （ C）可以在線段 AB上，也可以在線段 BC上(2) 求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里？( 結(jié)果保留根號(hào) )分析： 本題是一道折線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，考察合情推理能力和幾何運(yùn)算能力，首先要對(duì)兩船同時(shí)到達(dá)的E 點(diǎn)作一個(gè)合理判斷， E 點(diǎn)不可

8、能在AB上，因?yàn)楫?dāng)E 點(diǎn)在 AB上時(shí)， DE的最短距離為D 到 AB 中點(diǎn)的距離，而此時(shí)AB=2DE，當(dāng) E 不是中點(diǎn)時(shí)，AB<2DE，所以 E 點(diǎn)不可能在AB上。然后利用代數(shù)方法列方程求解DE解：（ 1） B（ 2）設(shè)貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了x 海里過(guò) D作 DF CB，垂足為 F，連結(jié) DE則 DE=x， AB+ BE=2x在等腰直角三角形 ABC中， AB BC 200， D是 AC中點(diǎn)， DF 100， EF 3002x在 Rt DEF中， DE 2 DF 2 +EF 2， x 2 100 2+(300 2x) 2解之，得 x1006200D31006 200， 200CFE

9、31006 DE= 2003100答：貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了(2006) 海里3四、綜合類(lèi)幾何應(yīng)用ADCBAB學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 6 . 如圖 1，公路 MN和公路 PQ在點(diǎn) P 處交匯，且o，點(diǎn) A 處有一所中學(xué)， AP=160米。假設(shè)拖拉機(jī)行QPN=30駛時(shí)， 周?chē)?100 米以內(nèi)會(huì)受到噪聲的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿 PN方向行駛時(shí)， 學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18千米 / 時(shí)，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？AN分析：本題是一道關(guān)于解直角三角形和圓的幾何綜合應(yīng)用問(wèn)題P要判斷是否受到噪聲的影響，只需求出A 點(diǎn)到直線 MNM的距離 AB，當(dāng)此

10、 AB100 米時(shí)就要受到噪聲影響；第二Q個(gè)問(wèn)題只需要噪聲影響路段的長(zhǎng)度，就能求出受影響的時(shí)間。N解：過(guò)點(diǎn) A 作 AB MN，垂足為 BA在 Rt ABP中： APB= QPN=30°AP=160 米BDP則 AB=1 AP=80米，所以QM2C學(xué)校會(huì)受到噪聲影響。以 A 為圓心， 100 米為半徑作 A, 交 MN于 C、 D 兩點(diǎn)，在 Rt ABC中： AC=100米， AB=80 米則： BC=AC2 AB2100280260（米） CD=2BC=120（米）； 18 千米 / 小時(shí) =5 米 / 秒受影響時(shí)間為： 120 米÷ 5 米/ 秒 =24（秒）例 7.

11、馬戲團(tuán)演出場(chǎng)地的外圍圍墻是用若干塊長(zhǎng)為5 米、寬 2.5 米的長(zhǎng)方形帆布縫制成的，兩塊帆布縫合的公共部分是 0.1 米，圍成的圍墻高 2.5 米（如下圖）2.5 米5 米(1)若先用 6 塊帆布縫制成寬為2.5 米的條形，求其長(zhǎng)度；0.1 米(2)若用 x 塊帆布縫制成密封的圓形圍墻，求圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)y 與所用帆布的塊數(shù)x 之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)要使圍成的圓形場(chǎng)地的半徑為10 米，至少需要買(mǎi)幾塊這樣的帆布縫制圍墻?分析：本題的關(guān)鍵是弄清縫制成條形和縫制成密封的圓形后有幾塊公共部分。解： (1)6塊帆布縫制成條形后，有5 塊公共部分，所以6 塊縫制后的總長(zhǎng)度為6× 55×

12、0.1 29.5( 米 )(2)x塊帆布縫制成密封的圓形圍墻后有x 塊公共部分，設(shè)圓形圍墻的周長(zhǎng)為米，則y=5x-0.1x=4.9x ，所以y=4.9x(3) 要圍成半徑為 10 米的圓形場(chǎng)地，則 2 ×10 4.9x2062.8x12.82( 塊 )4.94.9要到商店買(mǎi)這樣的帆布 13塊。解幾何應(yīng)用問(wèn)題要求我們必須具備扎實(shí)的幾何基礎(chǔ)知識(shí)，較強(qiáng)的閱讀理解能力， 以及對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握，只要我們有針對(duì)性地復(fù)習(xí)，就一定能掌握好幾何應(yīng)用問(wèn)題的解決方法。練習(xí)：1、 在生活中需測(cè)量一些球（如足球、籃球）的直徑。某校研究性學(xué)習(xí)小組，通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)下面的測(cè)量方法：如圖8，將球放在水平的桌面上，在

13、陽(yáng)光的斜射下，得到球的影子AB，設(shè)光線DA、 CB分別與球相切于點(diǎn) E、 F，則確到 1 cm ）。EF即為球的直徑。若測(cè)得AB的長(zhǎng)為40 cm ， ABC 30°。請(qǐng)你計(jì)算出球的直徑（精學(xué)習(xí)必備歡迎下載CFDE30AB2、 如圖；某人在公路上由A 到 B 向東行走，在A 處測(cè)得公路旁的建筑物C 在北偏東60°方向。到達(dá) B 處后，又測(cè)得建筑物C 在北偏東 45°方向。繼續(xù)前進(jìn)，若此人在行走過(guò)程中離建筑物 C 的最近距離是（ 253 +25）米，求AB之間的距離。CAB3、 操作：將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1 的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P 在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q。探究：設(shè)A， P 兩點(diǎn)間的距離為x。（ 1） 當(dāng)點(diǎn) Q在邊 CD上時(shí)，線段 PQ與線段 PB有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀