數(shù)字圖像處理matlab

1、MATLAB中的DCT變換和快速傅里葉變換計(jì)算機(jī)121班張廣學(xué) 1204010151.灰度變換灰度變換是圖像增強(qiáng)的一種重要手段，它常用于改變圖象的灰度范圍及分布，是圖象數(shù)字化及圖象顯示的重要工具。在實(shí)際應(yīng)用中,為了突出圖像中感興趣的研究對(duì)象，常常要求局部擴(kuò)展拉伸某一范圍的灰度值，或?qū)Σ煌秶幕叶戎颠M(jìn)行不同的拉伸處理，即分段線性拉伸： 不同的分段線性變換其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：直方圖均衡化灰度直方圖的橫坐標(biāo)是灰度級(jí)，縱坐標(biāo)是該灰度級(jí)出現(xiàn)的頻度，它是圖像最基本的統(tǒng)計(jì)特征。依據(jù)定義，在離散形式下，用rk代表離散灰度級(jí)，用pr(rk)代表pr(r)，并且有下式成立： 式中：nk為圖像中出現(xiàn)rk級(jí)灰度的

2、像素?cái)?shù)，n是圖像像素總數(shù)，而nk/n即為頻數(shù)。直方圖均衡化處理是以累積分布函數(shù)變換法為基礎(chǔ)的直方圖修正法。假定變換函數(shù)為 當(dāng)灰度級(jí)是離散值時(shí)，可用頻數(shù)近似代替概率值，即式中：l是灰度級(jí)的總數(shù)目，pr(rk)是取第k級(jí)灰度值的概率，nk是圖像中出現(xiàn)第k級(jí)灰度的次數(shù)，n是圖像中像素總數(shù)。所以積分可以表示為下列累計(jì)分布函數(shù)(cumulative distribution function, CDF)2.DCT 的基本原理 DCT 變換在圖像壓縮中有很多應(yīng)用，它是JPEG，MPEG 等數(shù)據(jù)壓縮標(biāo)準(zhǔn)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在壓縮算法中，先將輸入圖像劃分為 8×8 或 16×16,的圖像塊，對(duì)

3、每個(gè)圖像塊作DCT 變換；然后舍棄高頻的系數(shù)，并對(duì)余下的系數(shù)進(jìn)行量化以進(jìn)一步減少數(shù)據(jù)量；最后使用無失真編碼來完成壓縮任務(wù)。解壓縮時(shí)首先對(duì)每個(gè)圖像塊做 DCT 反變換，然后將圖像拼接成一副完整的圖像。DCT 的定義 : DCT 變換利用傅立葉變換的性質(zhì)，采用圖像邊界褶翻將圖像變換為偶函數(shù)形式，然后對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換，變換后僅包含余弦項(xiàng)，所以稱之為離散余弦變換。 二維離散余弦變換DCT(Discrete Cosine Transform)的定義為,假設(shè)矩陣A 的大小為M ×N。 其中， , 稱為矩陣A 的DCT 系數(shù)。在MATLAB 中，矩陣的下標(biāo)從1 開始而不是從0 開始的，所以

4、MATLAB 中的矩陣元素A(1,1)和B(1,1)分別對(duì)應(yīng)于上面定義中的值和 ，依此類推。 DCT 是一種可逆變換，離散反余弦變換定義如下： 上式的含義是任何M×N 的矩陣A 都可以表示為一系列具有下面形式的函數(shù)的和： 這些函數(shù)稱為 DCT 變換的基函數(shù)。這樣， , 就可以看成是應(yīng)用于每個(gè)基函數(shù)的加權(quán)。DCT 的算法 ：離散余弦變換可以由定義式出發(fā)進(jìn)行計(jì)算。但這樣的計(jì)算量太大，在實(shí)際應(yīng)用中很不方便。所以需要尋求一種快速算法。以一維離散余弦變換為列，對(duì)快速算法進(jìn)行推導(dǎo)。 對(duì)時(shí)域數(shù)據(jù)向量做如下列延拓： 當(dāng)x=0,1,2，.N-1 fe(x) =f(x) 當(dāng)x=N，N+1，.2N-1時(shí)

5、fe(x)=0 則fe(x)的離散余弦變換可寫成下列： = =由上式可見： 是2N點(diǎn)的；離散傅里葉變換所以在離散余弦變換時(shí)，可以吧序列長度延拓為2N，然后作離散傅里葉變換，產(chǎn)生的結(jié)果取其實(shí)部即可得到余弦變換。同理對(duì)于離散余弦變換IDCT，可首先在變換空間將F(u)作如下延拓：當(dāng)u=0,1,2,3，.N-1時(shí) Fe（u）=F（u）當(dāng)u=N,N+1，N+2,.,2N-1時(shí) Fe（u）=0那么，反變換可表示： = = 由上式可見，IDCT可以由的2N點(diǎn)的IDFT的快速算法實(shí)現(xiàn)。在計(jì)算二維的DCT變換時(shí)，可使用下面的計(jì)算公式把二維的DCT變換變成一維的DCT： 該方法的出發(fā)點(diǎn)是分別對(duì)分解后的每個(gè)數(shù)據(jù)小

6、方塊進(jìn)行DCT變換,主要應(yīng)用 MATLAB 的影像處理工具箱中dctmtx 函數(shù)返回DCT 變換矩陣,而后進(jìn)行相關(guān)處理的程序?qū)崿F(xiàn) 。3.快速傅里葉變換傅里葉變換是一種將信號(hào)從時(shí)域變換到頻域的變換形式，是信號(hào)處理的重要分析工具。離散傅里葉變換（DFT）是傅里葉變換在離散系統(tǒng)中的表示形式。但是DFT的計(jì)算量非常大， FFT就是DFT的一種快速算法, FFT將DFT的N2 步運(yùn)算減少至 ( N/2 )log2N步。離散信號(hào)x(n)的傅里葉變換可以表示為式中的WN 稱為蝶形因子，利用它的對(duì)稱性和周期性可以減少運(yùn)算量。一般而言，F(xiàn)FT算法分為時(shí)間抽?。―IT）和頻率抽?。―IF）兩大類。兩者的區(qū)別是蝶形

7、因子出現(xiàn)的位置不同，前者中蝶形因子出現(xiàn)在輸入端，后者中出現(xiàn)在輸出端。本實(shí)驗(yàn)以時(shí)間抽取方法為例。時(shí)間抽取FFT是將N點(diǎn)輸入序列x(n) 按照偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)分解為偶序列和奇序列。偶序列為：x(0), x(2), x(4), x(N-2)；奇序列為：x(1), x(3), x(5), x(N-1)。這樣x(n) 的N點(diǎn)DFT可寫成：考慮到WN的性質(zhì)，即因此有：或者寫成：由于X1(k) 與X2(k) 的周期為N/2，并且利用WN的對(duì)稱性和周期性，即：可得：對(duì)X1(k) 與X2(k)繼續(xù)以同樣的方式分解下去，就可以使一個(gè)N點(diǎn)的DFT最終用一組2點(diǎn)的DFT來計(jì)算。在基數(shù)為2的FFT中，總共有l(wèi)og2(N) 級(jí)運(yùn)算，每級(jí)中有N/2 個(gè)2點(diǎn)FFT蝶形運(yùn)算。單個(gè)蝶形運(yùn)算示意圖如下：以N8為例，時(shí)間抽取FFT的信號(hào)流圖如下：從上圖可以看出，輸出序列是按自然順序排列的，