第七章力矩分配法

1、結(jié)構(gòu)力學(xué)STRUCTURAL MECHANICS制作人：周海龍INNER MONGOLIA AGRICULTURAL UNIVERSITY2010年3月內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu) 力法和位移法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法，但需要建立并求解聯(lián)立方程，當(dāng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜時，手算求解這項工作十分繁重。為了避免求解聯(lián)立方程，人們提出許多適用的計算方法，在工程實踐中，常用的有以下三種：（1）力矩分配法（2）無剪力分配法（3）迭代法 由于這些方法的共同特點是避免建立和解算聯(lián)立方程，而以逐次漸近的方法來計算桿端彎矩，所以它是一種近似解法，故名：漸近法。7-1 力矩分配法力

2、矩分配法一、特點一、特點（1）理論基礎(chǔ)：位移法；（2）計算對象：桿端彎矩；（3）計算方法：增量調(diào)整修正的方法；（4）適用范圍：連續(xù)梁和無側(cè)移剛架。內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)二、基本概念二、基本概念1、轉(zhuǎn)動剛度表示桿端對轉(zhuǎn)動的抵抗能力。表示桿端對轉(zhuǎn)動的抵抗能力。在數(shù)值上在數(shù)值上 = = 僅使桿端發(fā)生單位轉(zhuǎn)動時需在桿端施加的力矩。僅使桿端發(fā)生單位轉(zhuǎn)動時需在桿端施加的力矩。SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=01SAB與桿的與桿的i（材料的性質(zhì)、橫截面的形狀和尺寸、桿長）及遠端支承有關(guān)，（材料的性質(zhì)、橫截面的形狀和尺寸、桿長）及遠端支承有關(guān)，而與近

3、端支承情況無關(guān)。而與近端支承情況無關(guān)。內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)注意：注意：本章的桿端彎矩及桿端位移，固端彎矩的正負規(guī)定同位移法。2、傳遞系數(shù)桿件近端發(fā)生轉(zhuǎn)角時，遠端彎矩與近端彎矩之比。桿件近端發(fā)生轉(zhuǎn)角時，遠端彎矩與近端彎矩之比。ijjiijMMC BAl4i A A2i ACAB=2i A/ 4i A=1/2BA A3i A0CAB=0/ 4i A=0BA Ai A-i ACAB=-i A/ i A=-1內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)3、分配系數(shù)桿桿 ij 的轉(zhuǎn)動剛度與匯交于的轉(zhuǎn)動剛度與匯交于 i 結(jié)點的所有桿件

4、轉(zhuǎn)動剛度之和的比值。結(jié)點的所有桿件轉(zhuǎn)動剛度之和的比值。 )(iijijSS (1)桿端力桿端力: 1M 1 1 12543 31)(43411511515114114141131131311211212aSiMSiMSiMSiM(2)由結(jié)點由結(jié)點1的平衡條件的平衡條件:內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)MM14M15M13M121 01M)()(015141312111514131215141312bSSSSMSSSSMMMMMM 即即:得得:1 MMSSMMMSSMMMSSMMMSSM151515141414131313121212 (3) 代代(b)入入(

5、a) , 得得:11j內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)當(dāng)桿件上有荷載作用時，則各桿的桿端彎矩表達式可以寫為當(dāng)桿件上有荷載作用時，則各桿的桿端彎矩表達式可以寫為FFFFMMMMMMMMMMMM151515141414131313121212近端彎矩結(jié)論：近端彎矩分配彎矩結(jié)論：近端彎矩分配彎矩+固端彎矩固端彎矩FFFFMMCMMMCMMMCMMMCM51151551411414413113133121121221遠端彎矩結(jié)論：遠端彎矩傳遞彎矩結(jié)論：遠端彎矩傳遞彎矩+固端彎矩固端彎矩內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)三、計算步驟三

6、、計算步驟1、固定結(jié)點、固定結(jié)點 即加入剛臂，此時各桿端產(chǎn)生固端彎矩，結(jié)點上有不平衡力矩，它暫時由剛臂承擔(dān)，該結(jié)點的不平衡力矩等于匯交于該結(jié)點的各桿端固端彎矩的代數(shù)和。同時可得到各桿端的分配系數(shù)。 2、放松結(jié)點、放松結(jié)點 即取消剛臂，讓結(jié)點轉(zhuǎn)動。這相當(dāng)于在結(jié)點上又加入一個反號的不平衡力矩，使結(jié)點上的不平衡力矩被消除而獲得平衡。這個反號的不平衡力矩按分配系數(shù)的大小分配到各近端，于是各近端得到分配彎矩，同時各自按傳遞系數(shù)大小向遠端傳遞，于是各遠端得到傳遞彎矩。3、計算各桿端彎矩、計算各桿端彎矩 各 近端彎矩等于分配彎矩加固端彎矩；各遠端彎矩等于傳遞彎矩加固端彎矩。四、計算示例四、計算示例ABC20

7、0kN20kN/m例例1：試繪制圖示連續(xù)梁的彎矩圖3m3m6mEIEI內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)MAB=MBA=MBC=mkN 15086200mkN 150mkN 9086202MB=mkN 60解：（1）B結(jié)點加剛臂MBA+ MBC=（2）放松結(jié)點B，即加-60進行分配設(shè)設(shè)i =EI/l計算轉(zhuǎn)動剛度：計算轉(zhuǎn)動剛度：SBA=4iSBC=3i分配系數(shù)分配系數(shù)：571. 0344iiiBA429. 073iiBC分配力矩分配力矩:3 .34)60(571. 0BAM7 .25)60(429. 0BCM+=(3) 最后結(jié)果。合并前面兩個過程最后結(jié)果。合并前

8、面兩個過程內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)例例2：試計算圖示剛架，并繪制彎矩圖22. 05 . 1324245 . 1339. 05 . 1324242439. 05 . 13242424 ADACABADABADACABACACADACABABABSSSSSSSSSSSS 解：1）計算各桿端分配系數(shù)2）計算各桿端的固端彎矩內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)mkNqlMmkNlbpaMmkNlpabMFADFABFBA.4084208.6 .57532120.4 .865321202222222222結(jié)點 點 B A D C

9、 桿端 端 BA AB AC AD DA CA 分配系數(shù) 0.39 0.39 0.22 固端彎矩 分配傳遞 -86.4 -3.43 +57.6 -6.86 0.0 -6.86 -40.0 -3.83 0.0 0.0 -3.43 0. 3.最后彎矩 -89.83 +50.7-6.86 -43.88 0.0 -3.43 3）列表進行彎矩的分配與傳遞DABC3.4350.7443.8889.8314440M圖(kn.m)6.86內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)7-2用力矩分配法計算連續(xù)梁與無側(cè)移剛架用力矩分配法計算連續(xù)梁與無側(cè)移剛架 本節(jié)介紹的連續(xù)梁是具有兩個或兩

10、個以上結(jié)點角位移；本節(jié)介紹的剛架是具有多個結(jié)點角位移但無側(cè)移的結(jié)構(gòu)。研究它們?nèi)绾卫昧胤峙浞ㄈソ狻Ｒ?、解題步驟一、解題步驟1、先將所有具有結(jié)點角位移的結(jié)點固定，計算各桿端的分配系數(shù)、固端彎矩及各結(jié)點不平衡力矩；2、將各結(jié)點輪流地放松，即每次只放松一個結(jié)點，其它結(jié)點仍暫時固定，這樣把各結(jié)點的不平衡力矩輪流地進行分配、傳遞，直到各結(jié)點的不平衡力矩小到可忽略時，即可停止彎矩的分配和傳遞。為了減少輪流的次數(shù)，可以首先放松不平衡力矩較大的結(jié)點；或者將不相鄰的兩個結(jié)點同時放松。3、將各桿端的固端彎矩和屢次得到的分配彎矩和傳遞彎矩累加起來，便得到各桿端的最后彎矩。二、算例二、算例內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章

11、 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)1、多跨連續(xù)梁、多跨連續(xù)梁分配系數(shù)分配系數(shù)固端彎矩固端彎矩B點一次分、傳點一次分、傳B點二次分、傳點二次分、傳B點三次分、傳點三次分、傳C點第三次分配點第三次分配最后彎矩最后彎矩0.0-225.0+225.0 -135.00.00.045.0+90.0 +135.0+67.57.9+15.8+23.6+11.80.6+1.2 +1.8+0.9-0.4-0.553.5+107.0-107.0+220.0 -220.00.00.40.60.50.50.0-39.4-78.80.0-78.7-3.0-5.90.0-5.9表中彎矩單位為kN.m內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第

12、七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)ABCD107135220135M圖圖(kN.m)53.52、無線位移的剛架、無線位移的剛架q=20kN/mBD6m6mCEA解：解：1) 計算分配系數(shù)：設(shè)計算分配系數(shù)：設(shè)EI/6=1結(jié)點結(jié)點B單元：單元：SBA=4 SBC=8 31BA32BC結(jié)點結(jié)點C單元：單元：SCB=8 SCE=8 SCD=4 52CECB51CD2) 計算固端彎矩：計算固端彎矩：mkNMMFECFCE60126202內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)3) 列表進行力矩分配：列表進行力矩分配：表中彎矩的單位為kN.m內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七

13、章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)4.2 972.85BDCEA4.29M 圖（kN.m）內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)7-3 力矩分配法和位移法的聯(lián)合應(yīng)用力矩分配法和位移法的聯(lián)合應(yīng)用 對于力矩分配法，其只能用于計算無結(jié)點線位移的剛架，對于有結(jié)點線位移的剛架，就不能計算，為此，可以將力矩分配法與位移法聯(lián)合起來應(yīng)用。用力矩分配法考慮角位移的影響；用位移法考慮線位移的影響。一、計算步驟一、計算步驟1、 用位移法求解用位移法求解 選取基本未知的線位移未知量，加鏈桿得到基本體系，建立典型方程；2、用力矩分配法計算、用力矩分配法計算 首先采用力矩分配

14、法計算出桿端彎矩，然后利用靜力平衡條件，計算系數(shù)和自由項；3、解典型方程、解典型方程 求基本未知量的值；4、用疊加法繪制彎矩圖、用疊加法繪制彎矩圖PMZMM11二、算例二、算例例：例：試計算圖（a）所示的剛架，并繪制彎矩圖。內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu) 1）根據(jù)位移法的基本原理，可建立位移法的典型方程011111PFZkF系數(shù)和自由項的計算需知道PMM 和1這兩項通過力矩分配法計算。2）固端彎矩的計算基本結(jié)構(gòu)由于 的作用，這相當(dāng)于無側(cè)移剛架發(fā)生已知支座位移的情況，則有11Z21616966622EIEIlEIliMMABABABFBAFAB2169126

15、6622EIEIlEIliMMCDCDCDFDCFCD內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu) 表表7-1 桿端彎矩的計算桿端彎矩的計算結(jié)點ABCD桿端ABBABCCBCDDC分配系數(shù)0.4710.5290.60.4MP的計算固端彎矩-177.8+88.9分配與傳遞+53.4+106.7+71.1+35.6-12.6-25.2-28.3-14.1+4.3+8.5+5.6+2.8-1.0-2.1-2.2-1.1+0.3+0.7+0.4+0.2-0.1-0.2MP-13.6-27.4+27.4+100.7-100.7+127.5內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜

16、定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)M1的計算固端彎矩-16-16-9-9分配與傳遞+3.77+7.53+8.47+4.24+1.43+2.86+1.90+0.95-0.34-0.67-0.76-0.38+0.12+0.23+0.15+0.08-0.03-0.06-0.06-0.03+0.02+0.01M1-12.6-9.2+9.2+6.94-6.94-7.97M1Z1+238.1+173.9-173.9-131.2+131.2+150.6M=M1Z1+MP+224.5+146.5-146.5-30.5+30.5+278.121666. 321612)97. 794. 6(9)2 . 96 .12(11

17、EIEIk1 .691003212)5 .1277 .100(9)4 .276 .13(1PF內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)將上述系數(shù)和自由項代入方程，可解得EIEIkFZP2169 .1821666. 31 .691111PMZMM11剛架最后彎矩圖可由疊加法求得，見圖（f）說明： 對于具有多個線位移的情況，解法相同。只不過計算比較麻煩些。內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)7-4 無剪力分配法無剪力分配法 對于無側(cè)移剛架可以采用力矩分配法去解，對于有側(cè)移剛架，可以聯(lián)合應(yīng)用位移法和力矩分配法去解，但是，當(dāng)有側(cè)移剛架滿足某些

18、特定條件時，則采用無剪力分配法計算比較方便。 一、適用條件一、適用條件剛架中除了無側(cè)移桿外，其余桿件全是剪力靜定桿。剛架中除了無側(cè)移桿外，其余桿件全是剪力靜定桿。無側(cè)移桿：無側(cè)移桿：如果桿件兩端線位移平行但兩端點無相對的線位移。剪力靜定桿剪力靜定桿 指的是剪力可由截面投影平衡求出來的桿。EC,DB,CF桿AB,BC桿內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)無剪力分配法的計算過程和力矩分配法是一樣的。（1）固定結(jié)點）固定結(jié)點 只加剛臂限制結(jié)點轉(zhuǎn)動而不加鏈桿阻止其線位移。立柱BC,AB都可以看成上端滑動，下端固定的鉸支梁。將剪力求出看成外荷載，于是可以求得其固端為彎矩為

19、mkNPlMMFCBFBC.204105 . 021mkNlPPlMFAB.5 .4241021415832183mkNlPPlMFBA.5 .2741021415812181iSSCBBA1CBBACC剪力靜定桿的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)為（2）放松結(jié)點）放松結(jié)點 消除剛臂上的不平衡力矩，加一個反號的不平衡力矩，并對該力矩進行分配和傳遞，以達到放松結(jié)點的目的。二、計算步驟二、計算步驟內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)在放松結(jié)點的過程中，立柱中的剪力保持不變，彎矩的分配和傳遞是在無剪力產(chǎn)生的情況下進行的，所以叫無剪力分配法。三、算例三、算例例：試用無剪力分配法計算圖

20、示剛架。例：試用無剪力分配法計算圖示剛架。41i 32i 解：1）求分配系數(shù)1231 iSBC 32 iSBA8 . 0BC 2 . 0BA 1BAC2）求固端彎矩mkNMFBC.75.345163mkNqlMFBA.67. 2641622mkNqlMFAB.33.5341322內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)桿端ABBABCCB分配系數(shù)0.20.8固端彎矩-5.33-2.67-3.75分配與傳遞-1.281.285.14M-6.61-1.391.3903）列表進行計算4）繪制彎矩圖內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)本章小結(jié)

21、與討論本章小結(jié)與討論一、本章小結(jié)一、本章小結(jié) 力矩分配法和無剪力分配法都屬于位移法范疇的一種漸近解法。所不同的是，位移法是通過建立和解算聯(lián)立方程同時放松各結(jié)點，結(jié)果是精確的；而力矩分配法和無剪力分配法則是通過依次放松各結(jié)點以消去其上的不平衡力矩來修正各桿端的彎矩值，使其逐漸接近真實的彎矩值。所以，稱它們是漸近解法。 力矩分配法和無剪力分配法的共同優(yōu)點是：無需建立和解算聯(lián)立方程，收斂速度快（一般只需分配兩輪到三輪），力學(xué)概念明確，能直接算出最后的桿端彎矩。它們的共同缺點是適用范圍小，力矩分配法只適用于連續(xù)梁和無側(cè)移剛架，而無剪力分配法只適用于除無側(cè)移桿件外，其余桿件均為剪力靜定桿的剛架。對于一般

22、有結(jié)點線位移的剛架，則聯(lián)合應(yīng)用力矩分配法和位移法來求解，使計算更加簡便。 力矩分配法的應(yīng)用有單結(jié)點力矩分配和多結(jié)點力矩分配，單結(jié)點力矩分配是力矩分配法的基礎(chǔ)，多結(jié)點力矩分配實際上就是重復(fù)進行的單結(jié)點力矩內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)分配。單結(jié)點的結(jié)構(gòu)通過一次力矩分配和傳遞就完成了對結(jié)點的放松，結(jié)果是精確的。多結(jié)點的結(jié)構(gòu)則需要進行多結(jié)點力矩分配，其結(jié)果的精度隨計算輪次的增加而提高，最后收斂于精確解，一般當(dāng)結(jié)點不平衡力矩降低為各結(jié)點的最大初始不平衡力矩的1左右或達到所需精度要求時，便可認為該不平衡力矩可略去不計，即各結(jié)點已放松完畢，各結(jié)點都已轉(zhuǎn)動到實際的平衡位

23、置，便可停止計算。 在放松結(jié)點時，我們可以遵循任意次序進行，但為了使計算收斂的速度快些，宜從不平衡力矩數(shù)值較大的結(jié)點開始放松，這樣也能夠加快收斂的速度。 雖然計算機在結(jié)構(gòu)計算中不斷推廣，漸近法這類手算方法的應(yīng)用會有所減少，但在未知量較少的工作計算中仍不失為一種簡便實用的解法。二、討論二、討論內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)第七章第七章 漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu)漸近法計算超靜定結(jié)構(gòu) 迭代法，即力矩迭代法，它同力矩分配法一樣，也是以位移法為基礎(chǔ)的一種漸近解法，也是以桿端彎矩作為運算對象，桿端彎矩也采用同樣的正負號規(guī)定。二者的區(qū)別是：在每次的漸近運算中，力矩分配法計算的是桿端彎矩新添的增量，力矩迭代法計算的是桿端彎矩全量的新一輪近似解。此外，力矩分配法一般只用于解無側(cè)移剛架，力矩迭代法可用于解有側(cè)移和無側(cè)移剛架。一、無側(cè)移剛架的力矩迭代法一、無側(cè)移剛架的力矩迭代法1、轉(zhuǎn)角彎矩的概念、轉(zhuǎn)