高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)部分復(fù)習(xí)專(zhuān)題及詳解

1、專(zhuān)題一 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用§導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 瞬時(shí)變化率：設(shè)函數(shù) y f (x) 在x 附近有定義，當(dāng)自變量在 x x0 附近改變量為 x 時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)地0改變 y f (x0 x) f (x) ，如果當(dāng) x 趨近于 0 時(shí)，平均變化率y f (x0 x) f ( x0 )x x趨近于一個(gè)常數(shù) c（也就是說(shuō)平均變化率與某個(gè)常數(shù) c 的差的絕對(duì)值越來(lái)越小，可以小于任意小的正數(shù)） ，那么常數(shù) c稱(chēng)為函數(shù) f (x) 在點(diǎn)x 的瞬時(shí)變化率。02. 導(dǎo)數(shù)：當(dāng) x 趨近于零時(shí)，f ( x0 x) f (x0 )x趨近于常數(shù) c?？捎梅?hào)“ ”記作：當(dāng) x 0 時(shí)，f (x0 x) f

2、(x0)xf (x x) f (x )0 0c或記作 lim cx 0x，符號(hào)“ ”讀作“趨近于” 。函數(shù)在x 的0瞬時(shí)變化率，通常稱(chēng)作 f (x) 在x x 處的導(dǎo)數(shù)，并記作 f (x0 ) 。03. 導(dǎo)函數(shù)：如果 f ( x) 在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 內(nèi)每一點(diǎn) x都是可導(dǎo)的，則稱(chēng) f (x) 在區(qū)間 ( a,b)可導(dǎo)。這樣，對(duì)開(kāi)區(qū)間 (a,b) 內(nèi)每個(gè)值 x，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) f (x) 。于是，在區(qū)間 (a, b)內(nèi)， f (x) 構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為函數(shù) y f ( x) 的導(dǎo)函數(shù)。記為 f (x) 或 y （或y ）。x4. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： 1）函數(shù)和（或差

3、）的求導(dǎo)法則：設(shè) f (x) ， g( x) 是可導(dǎo)的，則( f ( x) g (x) f (x) g (x) 即，兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差） 。2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：設(shè) f (x) ，g (x) 是可導(dǎo)的，則 f (x) g( x) f ( x)g (x) f (x)g (x) 即，兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3）函數(shù)的商的求導(dǎo)法則：設(shè) f (x) ， g( x) 是可導(dǎo)的， g(x) 0 ，則f ( x) g( x) f ( x) f (x) g (x)g( x) g ( )2 x2 x5. 復(fù)

4、合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) : 設(shè)函數(shù) u (x) 在點(diǎn) x處有導(dǎo)數(shù) u (x) x , 函數(shù) y f (u)在點(diǎn) x的對(duì)應(yīng)點(diǎn) u 處有導(dǎo)數(shù) yu f (u) , 則復(fù)合函數(shù) y f ( x) 在點(diǎn) x處有導(dǎo)數(shù) , 且 yx yu ux .6. 幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：n） 1 n Qn(1) C 0(C為常數(shù)) (2) ( )（x nx(3) (sin x) cos x (4) (cos x) sin x(5) 1 1(ln x) (6) (log a x) log a e x x(7)x exx ) x ln(e ) (8) (a a a二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值相對(duì)于自變量的變化率2. 運(yùn)用

5、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 yx yu ux , 應(yīng)注意以下幾點(diǎn)（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)后 , 要把中間變量換成自變量的函數(shù) , 層層求導(dǎo) .(2) 要分清每一步的求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)， 不能混淆， 一直計(jì)算到最后， 常出現(xiàn)如下錯(cuò)誤，如 (cos 2 x) sin 2x 實(shí)際上應(yīng)是 2 sin 2x 。(3) 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于分清楚函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量，如1y 選成4(1 3x)y1u4， u v ,v 1 w,w 3x計(jì)算起來(lái)就復(fù)雜了。3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通常指曲線的切線斜率 . 導(dǎo)數(shù)的物理意義，通常是指物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度。對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與

6、物理意義的理解，有助于對(duì)抽象的導(dǎo)數(shù)定義的認(rèn)識(shí)，應(yīng)給予足夠的重視。4. (x0 )與f (x)的關(guān)系ff (x0 ) 表示 f ( x)在x x0 處的導(dǎo)數(shù)，即 f (x0 ) 是函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)； f (x) 表示函數(shù) f ( x) 在某給定區(qū)間 (a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，此時(shí) f (x) 是在 (a, b) 上 x 的函數(shù)，即 f (x) 是在 (a, b)內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。5. 導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù) y f (x)在x 處可導(dǎo)，則此函數(shù)在點(diǎn) x0 處連續(xù)，但逆命題不成立，即函數(shù)0y 在點(diǎn) x0 處連續(xù)，未必在 x0 點(diǎn)可導(dǎo)，也就是說(shuō)，連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充f (x)分條件

7、。6. 可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程由于函數(shù) y f (x)在x x 處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn) P( x0 , f (x0 ) 處切線的斜率，因0此，曲線 y f (x)在點(diǎn) ( 0 , f (x )P x 處的切線方程可如下求得：0（1）求出函數(shù) y f (x)在點(diǎn)x x 處的導(dǎo)數(shù)，即曲線 y f (x)在點(diǎn) P(x0 , f (x0) 處切線的斜率。0（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為： y y0 f ( x0)( x x0 ) ，如果曲線y 在點(diǎn) P(x0 , f (x0 ) 的切線平行于 y 軸（此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在） 時(shí)，由切線定義可知， 切線方程為 x x0 .f (x

8、)三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例 1 已知2y (1 cos2 x) , 則 y .錯(cuò)因： 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)計(jì)算不熟練 , 其2x 與 x系數(shù)不一樣也是一個(gè)復(fù)合的過(guò)程 , 有的同學(xué)忽視了 , 導(dǎo)致錯(cuò)解為: y 2 sin 2 x(1 cos2x).正解： 設(shè)2y u , u 1 cos 2x , 則 yx yu ux 2u(1 cos2x) 2u ( sin 2x) (2x)2u ( sin 2x) 2 4 sin 2 x(1 cos2x) y 4 sin 2x (1 cos2 x) . 例 2 已知函數(shù)122(x 1)( x 1)f (x) 判斷 f(x) 在 x=1 處是否可導(dǎo)？1(x 1)( x 1

9、)21 12 2 (1 x) 1 (1 1)2 2錯(cuò)解： lim 1, f (1) 1。 x 0x分析： 分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)，須根據(jù)定義來(lái)判斷是否可導(dǎo) .1 12 2(1 x) 1 (1 1)y2 2解： lim lim 1x x0 xx 0 f(x) 在 x=1 處不可導(dǎo) .注： x 0 ，指 x 逐漸減小趨近于 0； x 0 ，指 x 逐漸增大趨近于 0。點(diǎn)評(píng)： 函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，是一個(gè)極限值，即limx 0f (x0x) f x(x0)，x0，包括 x0 ，與 x，與 x0，因此，在判定分段函數(shù)在“分界點(diǎn)”處的導(dǎo)數(shù)是否存在時(shí)，要驗(yàn)證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等

10、，才能判定這點(diǎn)存在導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù) .2 例 3 求 y 2x 3在點(diǎn) P (1, 5) 和Q( 2,9) 處的切線方程。錯(cuò)因： 直接將 P ，Q 看作曲線上的點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)求解。分析： 點(diǎn) P 在函數(shù)的曲線上，因此過(guò)點(diǎn) P 的切線的斜率就是 y 在 x 1處的函數(shù)值；點(diǎn)Q 不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導(dǎo)數(shù)求值，要通過(guò)設(shè)切點(diǎn)的方法求切線2解： 2 3, 4 . 1 4y x y x yx即過(guò)點(diǎn) P 的切線的斜率為 4，故切線為： y 4x 1設(shè)過(guò)點(diǎn) Q的切線的切點(diǎn)為 T( x0, y0 ) ，則切線的斜率為 4x0 ，又y 90kPQ ，x 20故22x 60 4x0x 202， 2x 8

11、0 6 0. 0 1,3。0 x x即切線 QT 的斜率為 4 或 12，從而過(guò)點(diǎn) Q 的切線為：y 4x 1, y 12x 15點(diǎn)評(píng)： 要注意所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)若是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法求；不是則需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo) 例 4 求證：函數(shù)y x1x圖象上的各點(diǎn)處切線的斜率小于 1，并求出其斜率為 0 的切線方程 .分析： 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，要證函數(shù)y x1x的圖象上各點(diǎn)處切線的斜率都小于 1，只要證它的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值都小于 1，因此，應(yīng)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，再進(jìn)行論證與求解 .1 1解： （1） 1y x , y 1 ，即對(duì)函數(shù)2x xy x1x定義域內(nèi)的任一 x，其導(dǎo)數(shù)值都小于 1，于是由導(dǎo)數(shù)的幾

12、何意義可知，函數(shù)y x1x圖象上各點(diǎn)處切線的斜率都小于 1.（2）令1 1 02x1，得 x 1，當(dāng) x 1時(shí)， 2y 1 ；當(dāng) x 1時(shí)， y 2 ，1曲線y x1x的斜率為 0 的切線有兩條，其切點(diǎn)分別為 (1,2 ) 與( 1, 2) ，切線方程分別為 y 2或y 2 。點(diǎn)評(píng)： 在已知曲線 y f (x) 切線斜率為 k 的情況下，要求其切線方程，需要求出切點(diǎn)，而切點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是 y f ( x) 的導(dǎo)數(shù)值為 k 時(shí)的解，即方程 f (x) k 的解，將方程 f (x) k 的解代入 y f (x) 就可得切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求出了切點(diǎn)坐標(biāo)即可寫(xiě)出切線方程，要注意的是方程 f ( x) k 有

13、多少個(gè)相異實(shí)根，則所求的切線就有多少條 . 例 5 已知 a 0 ，函數(shù) f (x) x3 a， x 0, ，設(shè) 0x ，記曲線 y f (x)在點(diǎn) M (x1 , f (x1 ) 處1的切線為 l .（1）求 l 的方程；（2）設(shè) l 與 x軸交點(diǎn)為 ( x2 ,0) ，求證：1 1 1 3 x ，則 3 2 1x ； 若 32 a 1 a ax x分析： 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用其求出切線斜率，導(dǎo)出切線方程 .解： （1） f/ y ( x x)(x) lim limx 0 x 0x3ax3xalimx 03x2x3x(2x)x(x)32 2 2lim 3x 3x x ( x) 3xx

14、 02f (x1 ) 3x 切線 l 的方程為 y f (x1) f (x1)( x x1 )13 2即 ( ) 3 ( 1)y x1 a x x x .1（2）依題意，切線方程中令 y=0 得，由知3x a1x x ，2 123x1x2x13x123x1a 例 6 求拋物線2y x 上的點(diǎn)到直線 x y 2 0 的最短距離 .分析： 可設(shè) P(x, x2 )為拋物線上任意一點(diǎn)，則可把點(diǎn) P 到直線的距離表示為自變量 x的函數(shù)，然后求函數(shù)最小值即可， 另外，也可把直線向靠近拋物線方向平移， 當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)的切點(diǎn)到直線 x y 2 0的距離即為本題所求 .解：根據(jù)題意可知， 與直線 x y

15、2=0 平行的拋物線 y=x2 的切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)到直線 xy2=0 的距離最短，'設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（ ），那么 | 0 2x| 2x 1yx , x x x 00x0121 1 切點(diǎn)坐標(biāo)為 )( , ，切點(diǎn)到直線 xy2=0 的距離2 41 1| 2| 2 47 2d ，827 2 拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離為 .8§2、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、 知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 可導(dǎo)函數(shù)的極值（1）極值的概念設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)x 附近有定義，且若對(duì) x0 附近的所有的點(diǎn)都有 f (x) f (x0) （或 f ( x) f (x0 ) ），則稱(chēng)0f (x0 ) 為函數(shù)的一個(gè)極大（?。┲担Q(chēng) x0 為

16、極大（?。┲迭c(diǎn) .（2）求可導(dǎo)函數(shù) f (x) 極值的步驟 :求導(dǎo)數(shù) f (x) 。求方程 f ( x) 0 的根.求方程 f ( ) 0的根 ./ x檢驗(yàn) f (x) 在方程 f ( x) 0 的根的左右的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù) y f ( x) 在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的右側(cè)附近為正， 左側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù) y f (x)在這個(gè)根處取得極小值 .2. 函數(shù)的最大值和最小值（1）設(shè) y f (x)是定義在區(qū)間 a,b 上的函數(shù)， y f ( x) 在(a,b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù) y f (x)在 a,b 上的最大值與最小值，可分兩步進(jìn)行 .求 y f (x

17、)在 (a, b)內(nèi)的極值 .將 y f (x)在各極值點(diǎn)的極值與 f (a) 、 f (b) 比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.（2）若函數(shù) f (x) 在 a,b 上單調(diào)增加，則 f (a) 為函數(shù)的最小值， f (b) 為函數(shù)的最大值；若函數(shù) f (x) 在a,b 上單調(diào)遞減，則 f (a)為函數(shù)的最大值， f (b) 為函數(shù)的最小值 .二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1. 在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意： （以下將導(dǎo)函數(shù) f (x) 取值為 0 的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù) f (x) 的駐點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn)，注意一定要是可導(dǎo)函數(shù)。例如函數(shù) y | x |在點(diǎn) x 0 處有極小值 f (0

18、) =0，可是這里的 f (0) 根本不存在，所以點(diǎn) x 0不是 f (x) 的駐點(diǎn) .(1) 可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。例如函數(shù)3f ( x) x 的導(dǎo)數(shù)2f ( x) 3x ，在點(diǎn) x 0處有 f (0) 0 ，即點(diǎn) x 0 是 f ( x) x3 的駐點(diǎn)， 但從 f (x) 在 , 上為增函數(shù)可知， 點(diǎn) x 0不是 f (x) 的極值點(diǎn) .(2) 求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，常常把駐點(diǎn)附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然 .(3) 在求實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值時(shí)，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域. 如果

19、定義域是一個(gè)開(kāi)區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)（其實(shí)只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo)），并且按常理分析，此函數(shù)在這一開(kāi)區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大（?。┲担ㄈ绻x域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大（小） . 記住這個(gè)定理很有好處） ，然后通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么立即可以斷定在這個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大（小）值。知道這一點(diǎn)是非常重要的，因?yàn)樗趹?yīng)用上較為簡(jiǎn)便，省去了討論駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，求函數(shù)在端點(diǎn)處的值，以及同函數(shù)在極值點(diǎn)處的值進(jìn)行比較等步驟 .2. 極大（小）值與最大（?。┲档膮^(qū)別與聯(lián)系極值是局部性概念， 最大（?。┲悼梢钥醋髡w性概念， 因而在一般情況下

20、， 兩者是有區(qū)別的 . 極大（?。┲挡灰欢ㄊ亲畲螅ㄐ。┲?，最大（?。┲狄膊灰欢ㄊ菢O大（小）值，但如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間 ( a,b) 內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值 .三、經(jīng)典例題導(dǎo)講23 2 例 1 已知曲線 S y x x 4x:3及點(diǎn) P (0,0) ，求過(guò)點(diǎn) P 的曲線 S 的切線方程 .2 x錯(cuò)解： y 2x 2 4， 過(guò)點(diǎn) P 的切線斜率 k y x 0 4， 過(guò)點(diǎn) P 的曲線 S 的切線方程為 y 4x .錯(cuò)因： 曲線在某點(diǎn)處的切線斜率是該曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義 . 在此題中，點(diǎn) P 湊巧在曲線 S 上，求過(guò)點(diǎn) P 的切線方程，卻并

21、非說(shuō)切點(diǎn)就是點(diǎn) P ，上述解法對(duì)求過(guò)點(diǎn) P 的切線方程和求曲線在點(diǎn) P 處的切線方程，認(rèn)識(shí)不到位，發(fā)生了混淆 .正解： 設(shè)過(guò)點(diǎn) P 的切線與曲線 S切于點(diǎn) ( 0 , y )Q x ，則過(guò)點(diǎn) P 的曲線 S的切線斜率02k y x x0 2x 2x0 4 ，又0y0kPQ ，x02 0y2x0 2x 4 。 點(diǎn)Q 在曲線 S上，0x023 2y0 x x 4x .，代入得0 0 0322x02x04233x02x0x04x04 23化簡(jiǎn)，得 x 0 ， x0 0或0 x033x . 若 x0 0 ，則 k 4，過(guò)點(diǎn) P 的切線方程為 y 4x ；04若3x ，則0435 35k ，過(guò)點(diǎn) P 的

22、切線方程為 y x. 過(guò)點(diǎn) P 的曲線 S 的切線方程為 y 4x 或8 8y358x.3 x2 x 例 2 已知函數(shù) f (x) ax 3 1在 R 上是減函數(shù)，求 a 的取值范圍 .2 x錯(cuò)解： f (x) 3ax 6 1, f (x) 在 R上是減函數(shù)， f (x) 0 在 R 上恒成立，2 x3ax 6 1 0 對(duì)一切 x R恒成立， 0 ，即 36 12 a 0， a 3 .正解:2f (x) 3ax 6x 1， f (x) 在 R 上是減函數(shù)， f (x) 0 在 R上恒成立， 0 且 a 0，即 36 12a 0且 a 0， a 3 .x 例 3 當(dāng) x 0，證明不等式 x xl

23、n( 1 )1 x.證明：fx(x) ln( x 1) ，g (x) ln( x 1) x ，則1 xxf ，當(dāng) x 0時(shí)。 f (x) 在 0,( x)2(1 x)x內(nèi)是增函數(shù)， f (x) f (0) ，即 0 l n( 1 x) ，又1 xgx(x) ，當(dāng) x 0時(shí)，g (x) 0 ， g (x)1 xx在 0, 內(nèi)是減函數(shù)， g( x) g (0)，即nl( 1 x) x 0，因此，當(dāng) x 0時(shí)，不等式 x xln(1 ) 1 x成立.點(diǎn)評(píng)： 由題意構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)fx(x) ln( x 1) ，g( x) ln( x 1) x . 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，1 x從而導(dǎo)出 f (x)

24、f (0) 及 g( x) g (0)是解決本題的關(guān)鍵 . 例 4 設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為 20km,垂足為 B. 鐵路線上距離 B 為 100km處有一原料供應(yīng)站 C,現(xiàn)要在鐵路 BC之間某處 D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)車(chē)站 , 再由車(chē)站 D向工廠修一條公路 . 如果已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為 3:5, 那么,D 應(yīng)選在何處 , 才能使原料供應(yīng)站 C運(yùn)貨到工廠 A 所需運(yùn)費(fèi)最省 ?解 ： 設(shè) BD之間的距離為 xkm,則|AD|=2 202x ,|CD|= 100 x . 如果公路運(yùn)費(fèi)為 a元/km, 那么鐵路運(yùn)費(fèi)為3a5元/km. 故從原料供應(yīng)站 C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站 D到工廠 A 所需總運(yùn)

25、費(fèi) y3a + a 4002為: y (100 ) x ,( 0 x 100 ). 對(duì)該式求導(dǎo) , 得x5y =3a5+2xax400=a(5 x53 x2x2400400), 令 y 0 , 即得 252x =9(2x 400 ), 解之得x =15, x2 =-15( 不符合實(shí)際意義 , 舍去 ). 且 x1=15 是函數(shù) y 在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn) , 所以 x1=15 是函數(shù)1y 的極小值點(diǎn) , 而且也是函數(shù) y 的最小值點(diǎn) . 由此可知 , 車(chē)站 D建于 B,C 之間并且與 B 相距 15km處時(shí) , 運(yùn)費(fèi)最省.點(diǎn)評(píng)： 這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題 , 建立的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù) ,

26、 用過(guò)去的知識(shí)求其最值往往沒(méi)有一般方法 , 即使能求出 , 也要涉及到較高的技能技巧 . 而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí) , 求復(fù)合函數(shù)的最值就變得非常簡(jiǎn)單 .一般情況下 , 對(duì)于實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題 , 如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)、簡(jiǎn)單的分式函數(shù)簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)、簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù) , 或它們的復(fù)合函數(shù) , 均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值 . 由此也可見(jiàn) , 導(dǎo)數(shù)的引入 , 大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用空間 .3 ax g x f x ax ' x' 例 5 函數(shù) f (x) 3x 3 1, ( ) ( ) 5，其中 f ( ) 是 f (x) 的導(dǎo)函數(shù) .（1）對(duì)滿(mǎn)足 1 a1

27、的一切 a的值，都有 g(x) 0，求實(shí)數(shù) x 的取值范圍；（2）設(shè) a2m ，當(dāng)實(shí)數(shù) m 在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù) y f (x) 的圖象與直線 y 3 只有一個(gè)公共點(diǎn) .解：（1）由題意2g x 3x ax 3a 5令2x 3 x a 3x 5， 1 a 1對(duì) 1 a 1，恒有 g x 0，即 a 01 01 0即23x x 2 023x x 8 0解得23x 1故2x 時(shí)，對(duì)滿(mǎn)足 1a1 的一切 a的值，都有 g x 0 .,13（2）' 3 2 3 2f x x m當(dāng) m 0 時(shí)，3 1f x x 的圖象與直線 y 3只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng) m 0 時(shí)，列表：x , m m m ,

28、m m m ,'f x 0 0f x 極大 極小2f x f x 2m m 1 1極小又 f x 的值域是 R ，且在 m , 上單調(diào)遞增當(dāng) x m 時(shí)函數(shù) y f x 的圖象與直線 y 3只有一個(gè)公共點(diǎn) .當(dāng) x m 時(shí)，恒有 f x f m由題意得 f m 3即322m m 1 2 m 1 3解得m3 2,0 0, 3 2綜上， m 的取值范圍是 3 2, 3 2 . 例 6 若電燈 B 可在桌面上一點(diǎn) O的垂線上移動(dòng)，桌面上有與點(diǎn) O距離為 a的另一點(diǎn) A，問(wèn)電燈與點(diǎn) 0 的距離怎樣，可使點(diǎn) A處有最大的照度？（ BAO , BA r, 照度與 sin 成正比，與 r 2 成反比

29、）分析： 如圖，由光學(xué)知識(shí)，照度 y 與sin 成正比，與2r 成反比，即siny C （C 是與燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)）要想點(diǎn) A處有最2r大的照度，只需求 y 的極值就可以了 .解：設(shè)O 到 B 的距離為 x，則xsin ，rr x2 a22 2sin x x a 2x于是 C (0 ) y C .y C 2 C x ， 03 3 5r r2 2 2 2 2 2(x a ) (x a )2 x2當(dāng) y 0時(shí)，即方程 a 2 0的根為ax （舍） 與12ax ，在我們討論的半閉區(qū)間 0, 內(nèi)，22所以函數(shù) y f (x)在點(diǎn)a2取極大值， 也是最大值。 即當(dāng)電燈與 O 點(diǎn)距離為a2時(shí)，點(diǎn) A的照

30、度 y 為最大 .（0，a2a） ( , )2+ -yy 點(diǎn)評(píng)：在有關(guān)極值應(yīng)用的問(wèn)題中，絕大多數(shù)在所討論的區(qū)間上函數(shù)只有一點(diǎn)使得 f (x) =0 且在該點(diǎn)兩側(cè)， f (x) 的符號(hào)各異，一般稱(chēng)為單峰問(wèn)題，此時(shí)，該點(diǎn)就是極值點(diǎn)，也是最大（小）值點(diǎn) .【課后練習(xí)】一、與導(dǎo)數(shù)概念有關(guān)的問(wèn)題【例 1】函數(shù) f(x)= x( x- 1) (x- 2)(x- 100)在 x= 0 處的導(dǎo)數(shù)值為A.0 B.1002 C.200 D.100！解法一 f(0)=limx 0f ( 0x) f (0) x=limx 0x( x 1)(x2)x(100)0=limx 0(x- 1)(x-2 )(x- 100)=（

31、- 1）（- 2）（ - 100）=100！ 選 D. 101+ a100x100+ a1x+ a0，則 f(0)= a1，而 a1=（- 1）（-2 ）（- 100）=100！. 解法二 設(shè) f( x)=a101x選 D.點(diǎn)評(píng) 解法一是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義直接求解， 函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在這點(diǎn)平均變化率的極限 .解法二是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)法則使問(wèn)題獲解 .【例 3】 如圓的半徑以 2 cm/s 的等速度增加， 則圓半徑 R=10 cm 時(shí)，圓面積增加的速度是 .解 S=R 2，而 R= R(t)，2，而 R= R(t)，2R =2 cm/s， St = (R )tt=2R· Rt

32、 =4R，S /R=10=4R/R=10= 40 cm2/s.t點(diǎn)評(píng) R 是 t 的函數(shù)，而圓面積增加的速度是相當(dāng)于時(shí)間 t 而言的（ R 是中間變量） ，此題易出現(xiàn)“S=2，S=2R，S/R=10=20cm2/ s”的錯(cuò)誤.本題考查導(dǎo)數(shù)的物理意義及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，須注意導(dǎo)數(shù)的物 R理意義是距離對(duì)時(shí)間的變化率， 它是表示瞬時(shí)速度，因速度是向量，故變化率可以為負(fù)值 .2004 年高考湖北卷理科第 16 題是一道與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合考查導(dǎo)數(shù)物理意義的填空題，據(jù)資料反映：許多考生在求出距離對(duì)時(shí)間的變化率是負(fù)值后，卻在寫(xiě)出答案時(shí)居然將其中的負(fù)號(hào)舍去，以致痛失 4 分.二、與曲線的切線有關(guān)的問(wèn)題【例 4】 以正弦曲線 y=sin x 上一點(diǎn) P 為切點(diǎn)的切線為直線 l ，則直線 l 的傾斜角的范圍是A.30, ,4 4B. 0, C.,434D. 0, 4,234解 設(shè)過(guò)曲線 y=sinx 上點(diǎn) P 的切線斜率角為 ，由題意知， tan=y=cosx.cosx- 1，1， tan- 1，1，又 0,， 30, ,4 4.故選 A.點(diǎn)評(píng) 函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù) f(x0)表示曲線， y=f(x)在點(diǎn)（ x0，f(x0)