計算動力學第四章

1、運載工程與力學學部第四章第四章 運動穩(wěn)定性運動穩(wěn)定性非線性動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及系統(tǒng)動力學與非線性動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及系統(tǒng)動力學與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系是人們關(guān)心的重要問題。系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系是人們關(guān)心的重要問題。如果能夠獲得非線性動力系統(tǒng)的解，即使是如果能夠獲得非線性動力系統(tǒng)的解，即使是近似解，也可對這些問題進行直接討論。因近似解，也可對這些問題進行直接討論。因此，此，19世紀中葉之前，人們一直致力于求取世紀中葉之前，人們一直致力于求取常微分方程的解。常微分方程的解。 1919世紀世紀30-4030-40的年代，有兩件大事改變了人們的年代，有兩件大事改變了人們長期試圖尋找微分方程通解的研究思路。一

2、是長期試圖尋找微分方程通解的研究思路。一是法國數(shù)學家法國數(shù)學家CauchyCauchy在在18351835年證明，常微分方程年證明，常微分方程初值問題在相當寬的條件下存在唯一解。二是初值問題在相當寬的條件下存在唯一解。二是法國數(shù)學家法國數(shù)學家LiouvilleLiouville于于18411841年證明，即使非年證明，即使非常簡單的常簡單的RiccatiRiccati方程方程 其解也無法用初等函數(shù)或其積分表示。其解也無法用初等函數(shù)或其積分表示。)()()()()()(2trtutqtutptu 這促使人們開始從微分方程的向量場結(jié)構(gòu)來這促使人們開始從微分方程的向量場結(jié)構(gòu)來研究解的特性。研究解的特

3、性。1881-1886年，法國學者年，法國學者Poincar在研究天體力學問題中開創(chuàng)了對微在研究天體力學問題中開創(chuàng)了對微分方程所確定的積分曲線特性的研究。分方程所確定的積分曲線特性的研究。18821892年，俄國學者年，俄國學者Lyapunov在其博士在其博士論文中開創(chuàng)了對運動穩(wěn)定性的系統(tǒng)研究。進入論文中開創(chuàng)了對運動穩(wěn)定性的系統(tǒng)研究。進入20世紀后，基于幾何的定性研究取得了一系列世紀后，基于幾何的定性研究取得了一系列重要進展。例如，俄國學者重要進展。例如，俄國學者Andronov等對二等對二維系統(tǒng)維系統(tǒng)局部及全局特性的深入研究，美國學者局部及全局特性的深入研究，美國學者BirkhoffBirk

4、hoff對向量場規(guī)范型的研究，美國學者對向量場規(guī)范型的研究，美國學者SmaleSmale用符號用符號動力學方法對解的拓撲結(jié)構(gòu)的研究等。在計算技動力學方法對解的拓撲結(jié)構(gòu)的研究等。在計算技術(shù)獲得高度發(fā)展后，定性研究的結(jié)論則成為指導術(shù)獲得高度發(fā)展后，定性研究的結(jié)論則成為指導數(shù)值計算的工具。數(shù)值計算的工具。自治系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性自治系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性 考察考察n n維非線性自治系統(tǒng)維非線性自治系統(tǒng) nnnRRufRUuufu:, )(記記u us s U U是該系統(tǒng)的一個孤立平衡點，滿足是該系統(tǒng)的一個孤立平衡點，滿足0)(suf本節(jié)研究系統(tǒng)平衡點本節(jié)研究系統(tǒng)平衡點u us s的穩(wěn)定性。由的穩(wěn)定性。由于

5、對自治系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性、不穩(wěn)于對自治系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性、不穩(wěn)定性及漸近穩(wěn)定性定義采用了矩陣描定性及漸近穩(wěn)定性定義采用了矩陣描述，所以完全適用于高維自治系統(tǒng)。述，所以完全適用于高維自治系統(tǒng)。這樣的穩(wěn)定性概念出自這樣的穩(wěn)定性概念出自LyapunovLyapunov的研的研究，因此常稱作究，因此常稱作LyapunovLyapunov意義下的穩(wěn)意義下的穩(wěn)定性。定性。 不失一般性，今后設不失一般性，今后設u us s=0=0。否則可通過坐標。否則可通過坐標平移將平衡點移到新坐標系下系統(tǒng)的原點平移將平衡點移到新坐標系下系統(tǒng)的原點. .Lyapunov直接方法直接方法Lyapunov從系統(tǒng)總能量隨時間從系

6、統(tǒng)總能量隨時間的變化率考察了系統(tǒng)運動的演變的變化率考察了系統(tǒng)運動的演變趨勢這一思路出發(fā)，研究了如何趨勢這一思路出發(fā)，研究了如何根據(jù)微分方程來構(gòu)造類似于能量根據(jù)微分方程來構(gòu)造類似于能量的某種函數(shù)，通過計算該函數(shù)隨的某種函數(shù)，通過計算該函數(shù)隨時間的變化率來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定時間的變化率來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于這種方法可免去求解微性。由于這種方法可免去求解微分方程的難題，從而被稱為研究分方程的難題，從而被稱為研究運動穩(wěn)定性的運動穩(wěn)定性的Lyapunov直接方直接方法，應用該方法時所需構(gòu)造的函法，應用該方法時所需構(gòu)造的函數(shù)被稱為數(shù)被稱為Lyapunov函數(shù)。函數(shù)。 (1) (1) LyapunovLyap

7、unov函數(shù)函數(shù) 考察單值可微函數(shù)考察單值可微函數(shù) 其定義域為其定義域為 定義定義1 1 如果在如果在U U內(nèi)恒有內(nèi)恒有V(u)0V(u)0或或V(V(u)0)0， 則稱則稱V(V(u) )為正常號函數(shù)或負常號函數(shù)，統(tǒng)稱為為正常號函數(shù)或負常號函數(shù)，統(tǒng)稱為 常號函數(shù)。否則稱為變號函數(shù)。常號函數(shù)。否則稱為變號函數(shù)。 0)0(),()(21VuuuVuVn0.,constHHuuU定義定義2 對于常號函數(shù)對于常號函數(shù)V(u) ,如果當且僅當如果當且僅當u=0時時V=0，則稱正常號函數(shù)，則稱正常號函數(shù)V(u)為正定函數(shù)，負為正定函數(shù)，負常號函數(shù)常號函數(shù)V(u)為負定函數(shù)，通稱為定號函數(shù)。為負定函數(shù)，通

8、稱為定號函數(shù)。如果如果V=0不等價于不等價于u=0，則稱正常號函數(shù)，則稱正常號函數(shù)u=V(u)為半正定函數(shù)，負常號函數(shù)為半正定函數(shù)，負常號函數(shù)V(u)為半為半負定函數(shù)，統(tǒng)稱為半定號函數(shù)。負定函數(shù)，統(tǒng)稱為半定號函數(shù)。 二次型是最常用的常號函數(shù)，線性代數(shù)理二次型是最常用的常號函數(shù)，線性代數(shù)理論已給出了二次型正定、半正定等判據(jù)。以論已給出了二次型正定、半正定等判據(jù)。以n=3為例：為例：232221321),(uuuuuuV是正定函數(shù)；是正定函數(shù)； 2221321),(uuuuuV是正常號函數(shù)，但因?qū)τ谑钦Ｌ柡瘮?shù)，但因?qū)τ趗30有有V (0,0,u3) =0，從而非正定；，從而非正定； 232221

9、321),(uuuuuuV是變號函數(shù)，因為是變號函數(shù)，因為. 1) 1 , 0 , 0(, 1)0 , 0 , 1 (VV(2) (2) LyapunovLyapunov定理定理 定理定理1 (1 (穩(wěn)定性定理穩(wěn)定性定理) ) 如果存在定號函數(shù)如果存在定號函數(shù)V(uV(u) )，其沿系統(tǒng)其沿系統(tǒng)確定的相軌線上的全導數(shù)確定的相軌線上的全導數(shù) )()()()(ufuVuuVtuV是與是與V(uV(u) )異號的常號函數(shù)或恒為零，則該系異號的常號函數(shù)或恒為零，則該系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的。統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的。 nnnRRufRUuufu:, )( 證明：不妨設證明：不妨設V(uV(u) )是是U U內(nèi)的正定

10、函數(shù)，內(nèi)的正定函數(shù)，是負號函數(shù)或恒為零。以下先導出一個不等式，是負號函數(shù)或恒為零。以下先導出一個不等式，然后用反證法完成證明。然后用反證法完成證明。 0)(tuV 任給任給0，記，記 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)V(uV(u) )在超球面在超球面 上上的下確界。因的下確界。因V(uV(u) )正定，必有正定，必有 。根據(jù)。根據(jù)V(uV(u) )在在u=0u=0處的連續(xù)性，對于上述處的連續(xù)性，對于上述 ，存在，存在 ，只要只要 則有則有 注意到注意到 ，沿著自，沿著自u u(t(t0 0)=)=u u0 0出發(fā)的相軌線必有出發(fā)的相軌線必有 u00)(0,0u.)(0uV0)(tuV(1) )()(0uV

11、tuV 如果系統(tǒng)的原點不穩(wěn)定，則存在某一時如果系統(tǒng)的原點不穩(wěn)定，則存在某一時刻刻t*t0使得使得u(u(t*) = 。注意到。注意到 是是V(uV(u) )在在u=上的下確界，連同不等式上的下確界，連同不等式(1)(1)得到矛盾結(jié)果得到矛盾結(jié)果 )()(0*uVtuV因此，系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的。證畢。因此，系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的。證畢。 定理定理2 (2 (漸近穩(wěn)定性定理漸近穩(wěn)定性定理) ) 如果存在定號如果存在定號函數(shù)函數(shù)V(uV(u) )，其沿系統(tǒng)，其沿系統(tǒng)確定的相軌線上的全導數(shù)是與確定的相軌線上的全導數(shù)是與V(uV(u) )異號的定號異號的定號函數(shù)，則該系統(tǒng)的原點是漸近穩(wěn)定的。函數(shù)，則該系統(tǒng)的

12、原點是漸近穩(wěn)定的。 nnnRRufRUuufu:, )(證明：不妨設證明：不妨設V(uV(u) )是是U U內(nèi)的正定函數(shù)，內(nèi)的正定函數(shù)，是負定函數(shù)。根據(jù)定理是負定函數(shù)。根據(jù)定理1 1，系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定，系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的?，F(xiàn)考察的?，F(xiàn)考察u u(t(t) )的漸近性質(zhì)。由于的漸近性質(zhì)。由于 負定，不等式負定，不等式(1)(1)可推廣為可推廣為 0)(tuV0)(tuV(2) )()()()(0012uVuVuVuvr其中其中 (3) ,2, 1 ,0, )(1rtttuurrrr不等式不等式(2)(2)說明，序列說明，序列(3)(3)使使 根據(jù)函數(shù)根據(jù)函數(shù)V(uV(u) )的連續(xù)性，可得到的連

13、續(xù)性，可得到 。再。再根據(jù)函數(shù)根據(jù)函數(shù)V(uV(u) )的連續(xù)性及正定條件，必有的連續(xù)性及正定條件，必有 。證畢。證畢。 . 0)(limrrtuV0)(limtuVr0)(limturLyapunovLyapunov及其后繼學者曾對系統(tǒng)的不穩(wěn)定性及其后繼學者曾對系統(tǒng)的不穩(wěn)定性進行過深入研究，提出了多種充分性判據(jù)，進行過深入研究，提出了多種充分性判據(jù)，此處僅給出最常用的一種。此處僅給出最常用的一種。 定理定理3 (不穩(wěn)定性定理不穩(wěn)定性定理) 若存在連續(xù)可微函數(shù)若存在連續(xù)可微函數(shù)V(u)，它在原點的任意鄰域內(nèi)總能取到正值，它在原點的任意鄰域內(nèi)總能取到正值（或負值），而其沿系統(tǒng)（或負值），而其沿系

14、統(tǒng)確定的相軌線上的全導數(shù)正定（或負定），確定的相軌線上的全導數(shù)正定（或負定），則該系統(tǒng)的原點不穩(wěn)定。則該系統(tǒng)的原點不穩(wěn)定。 nnnRRufRUuufu:, )( 證明：任給證明：任給00，取原點的鄰域，取原點的鄰域 并約定在除去原點的該鄰域內(nèi)并約定在除去原點的該鄰域內(nèi) 。根據(jù)定根據(jù)定理的前提，對于理的前提，對于0 0ttt0 0恒有恒有u u(t)(t)，這意味著這意味著V(V(u u( (t t)有界。而由有界。而由 知，知，0V(u0)V(u(t)且單調(diào)遞增。根據(jù)且單調(diào)遞增。根據(jù)V(uV(u) )的連續(xù)的連續(xù)性及性及V(0)=0V(0)=0，存在，存在00 ttt0 0恒恒有有u(tu(t

15、)。對于環(huán)域?qū)τ诃h(huán)域U U U U及其閉包，記及其閉包，記連續(xù)正定函數(shù)連續(xù)正定函數(shù) 在其上的最小值為在其上的最小值為m0m0。對。對 積分得積分得V(uV(u0 0)+m(t-t)+m(t-t0 0)V(u(t)V(u(t)。這與這與V(u(tV(u(t)有界相矛盾。證畢。有界相矛盾。證畢。0)(tuV)(uVmtuV)(例例1 1 考察剛度軟化的考察剛度軟化的DuffingDuffing系統(tǒng)系統(tǒng) 式中參數(shù)均為正，研究其平衡點的穩(wěn)定性。式中參數(shù)均為正，研究其平衡點的穩(wěn)定性。 解：將方程解：將方程(a)(a)改寫為改寫為 該系統(tǒng)具有三個平衡點及該系統(tǒng)具有三個平衡點及(0,0),(0,0),及及

16、以下分別討論它們的穩(wěn)定性。以下分別討論它們的穩(wěn)定性。 a.a.對于平衡點（對于平衡點（0,0)0,0)，取系統(tǒng)總能量為，取系統(tǒng)總能量為LyapunovLyapunov函數(shù)函數(shù))(02320200auuuu )()(2)(2031120221bufuuuuuuu)0 ,/1()(02)()()()(220223112022131120duuuuuuuuuuufuVV)(21421),(224120212021cuuuuuV顯然，在除去顯然，在除去(0,0)(0,0)的鄰域中的鄰域中V(uV(u1 1,u,u2 2)0)0，而根據(jù)方程而根據(jù)方程(b) (b) 根據(jù)定理根據(jù)定理2 2，該系統(tǒng)的平衡點

17、漸近穩(wěn)定。，該系統(tǒng)的平衡點漸近穩(wěn)定。 b. b. 平衡點平衡點 是對稱的，故只需研究是對稱的，故只需研究 。通過坐標平移。通過坐標平移)0 ,/1()0 ,/1 ()(/111euv 可將方程可將方程(b)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 )()(2)32(203121120221ivgvvvvvvvv仍以系統(tǒng)總能量構(gòu)成仍以系統(tǒng)總能量構(gòu)成LyapunovLyapunov函數(shù)函數(shù) 顯然，若顯然，若v v1 100，則，則V(V(v v1,1,0)00)0,r=1,2,3是轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動慣量, ,k kr r0,r=1,2,30,r=1,2,3是線是線性控制力矩的反饋增益。現(xiàn)研究飛行器在指定姿性控制力矩的反饋增益?，F(xiàn)研究飛行器在指定姿態(tài)態(tài)r r=0,r=1,2,3=0,r=1,2,3處的穩(wěn)定性。處的穩(wěn)定性。解：取解：取LyapunovLyapunov函數(shù)為正定二次型函數(shù)為正定二次型 )(),(231222213211bJJJV其沿方程其沿方程(a)相軌線的全導數(shù)是負定函數(shù)相軌線的全導數(shù)是負定函數(shù) )()(2)(223322222