計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析（第4版）：第1章 算法概述

1、計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析（第計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析（第4版）版）第第1章章 算法概述算法概述學(xué)習(xí)要點(diǎn)學(xué)習(xí)要點(diǎn): 理解算法的概念。 理解什么是程序，程序與算法的區(qū)別和內(nèi)在聯(lián)系。 掌握算法的計(jì)算復(fù)雜性概念。 掌握算法漸近復(fù)雜性的數(shù)學(xué)表述。 掌握用C+語言描述算法的方法。算法算法(Algorithm) 算法是指解決問題的一種方法或一個(gè)過程。 算法是若干指令的有窮序列，滿足性質(zhì)： (1)輸入輸入：有外部提供的量作為算法的輸入。 (2)輸出輸出：算法產(chǎn)生至少一個(gè)量作為輸出。 (3)確定性確定性：組成算法的每條指令是清晰，無歧義的。 (4)有限性有限性：算法中每條指令的執(zhí)行次數(shù)是有限的，執(zhí)行每條指令的時(shí)間也是有

2、限的。程序程序(Program) 程序是算法用某種程序設(shè)計(jì)語言的具體實(shí)現(xiàn)。 程序可以不滿足算法的性質(zhì)(4)。 例如操作系統(tǒng)，是一個(gè)在無限循環(huán)中執(zhí)行的程序，因而不是一個(gè)算法。 操作系統(tǒng)的各種任務(wù)可看成是單獨(dú)的問題，每一個(gè)問題由操作系統(tǒng)中的一個(gè)子程序通過特定的算法來實(shí)現(xiàn)。該子程序得到輸出結(jié)果后便終止。問題求解問題求解(Problem Solving)證明正確性分析算法設(shè)計(jì)程序理解問題精確解或近似解選擇數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法設(shè)計(jì)策略設(shè)計(jì)算法算法復(fù)雜性分析算法復(fù)雜性分析 算法復(fù)雜性 = 算法所需要的計(jì)算機(jī)資源 算法的時(shí)間復(fù)雜性T(n)； 算法的空間復(fù)雜性S(n)。 其中n是問題的規(guī)模（輸入大?。?。算法的時(shí)間復(fù)雜

3、性算法的時(shí)間復(fù)雜性（1）最壞情況最壞情況下的時(shí)間復(fù)雜性 Tmax(n) = max T(I) | size(I)=n （2）最好情況最好情況下的時(shí)間復(fù)雜性 Tmin(n) = min T(I) | size(I)=n （3）平均情況平均情況下的時(shí)間復(fù)雜性 Tavg(n) = 其中I是問題的規(guī)模為n的實(shí)例，p(I)是實(shí) 例I出現(xiàn)的概率。nIsizeITIp)()()(算法漸近復(fù)雜性算法漸近復(fù)雜性 T(n) , as n ; (T(n) - t(n) )/ T(n) 0 ，as n; t(n)是T(n)的漸近性態(tài)，為算法的漸近復(fù)雜性。 在數(shù)學(xué)上， t(n)是T(n)的漸近表達(dá)式，是T(n)略去低階

4、項(xiàng)留下的主項(xiàng)。它比T(n) 簡單。漸近分析的記號漸近分析的記號 在下面的討論中，對所有n，f(n) 0，g(n) 0。 （1）漸近上界記號漸近上界記號O O(g(n) = f(n) | 存在正常數(shù)c和n0使得對所有n n0有：0 f(n) cg(n) （2）漸近下界記號漸近下界記號 (g(n) = f(n) | 存在正常數(shù)c和n0使得對所有n n0有：0 cg(n) f(n) （3）非緊上界記號非緊上界記號o o(g(n) = f(n) | 對于任何正常數(shù)c0，存在正數(shù)和n0 0使得對所有n n0有：0 f(n)0，存在正數(shù)和n0 0使得對所有n n0有：0 cg(n) f(n) 等價(jià)于 f(

5、n) / g(n) ，as n。 f(n) (g(n) g(n) o (f(n) （5）緊漸近界記號緊漸近界記號 (g(n) = f(n) | 存在正常數(shù)c1,c2和n0使得對所有n n0有：c1g(n) f(n) c2g(n) 定理定理1： (g(n) = O (g(n) (g(n) 漸近分析記號在等式和不等式中的意義漸近分析記號在等式和不等式中的意義 f(n)= (g(n)的確切意義是：f(n) (g(n)。 一般情況下，等式和不等式中的漸近記號(g(n)表示(g(n)中的某個(gè)函數(shù)。 例如：2n2 + 3n + 1 = 2n2 + (n) 表示 2n2 +3n +1=2n2 + f(n)，

6、其中f(n) 是(n)中某個(gè)函數(shù)。 等式和不等式中漸近記號O,o, 和的意義是類似的。漸近分析中函數(shù)比較漸近分析中函數(shù)比較 f(n)= O(g(n) a b; f(n)= (g(n) a b; f(n)= (g(n) a = b; f(n)= o(g(n) a b.漸近分析記號的若干性質(zhì)漸近分析記號的若干性質(zhì) （1）傳遞性：）傳遞性： f(n)= (g(n)， g(n)= (h(n) f(n)= (h(n)； f(n)= O(g(n)， g(n)= O (h(n) f(n)= O (h(n)； f(n)= (g(n)， g(n)= (h(n) f(n)= (h(n)； f(n)= o(g(n)

7、， g(n)= o(h(n) f(n)= o(h(n)； f(n)= (g(n)， g(n)= (h(n) f(n)= (h(n)； （2）反身性：）反身性： f(n)= (f(n)； f(n)= O(f(n)； f(n)= (f(n). （3）對稱性：）對稱性： f(n)= (g(n) g(n)= (f(n) . （4）互對稱性：）互對稱性： f(n)= O(g(n) g(n)= (f(n) ； f(n)= o(g(n) g(n)= (f(n) ； （5）算術(shù)運(yùn)算：）算術(shù)運(yùn)算： O(f(n)+O(g(n) = O(maxf(n),g(n) ； O(f(n)+O(g(n) = O(f(n)+g

8、(n) ； O(f(n)*O(g(n) = O(f(n)*g(n) ； O(cf(n) = O(f(n) ； g(n)= O(f(n) O(f(n)+O(g(n) = O(f(n) 。規(guī)則O(f(n)+O(g(n) = O(maxf(n),g(n) 的證明：證明：對于任意f1(n) O(f(n) ，存在正常數(shù)c1和自然數(shù)n1，使得對所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。類似地，對于任意g1(n) O(g(n) ，存在正常數(shù)c2和自然數(shù)n2，使得對所有n n2，有g(shù)1(n) c2g(n) 。令c3=maxc1, c2， n3 =maxn1, n2，h(n)= maxf(n),g(n) 。則

9、對所有的 n n3，有f1(n) +g1(n) c1f(n) + c2g(n) c3f(n) + c3g(n)= c3(f(n) + g(n) c32 maxf(n),g(n) = 2c3h(n) = O(maxf(n),g(n) .算法漸近復(fù)雜性分析中常用函數(shù)算法漸近復(fù)雜性分析中常用函數(shù) （1）單調(diào)函數(shù)）單調(diào)函數(shù) 單調(diào)遞增：m n f(m) f(n) ; 單調(diào)遞減：m n f(m) f(n); 嚴(yán)格單調(diào)遞增：m n f(m) f(n); 嚴(yán)格單調(diào)遞減：m f(n). （2）取整函數(shù)）取整函數(shù) x ：不大于x的最大整數(shù)； x ：不小于x的最小整數(shù)。 取整函數(shù)的若干性質(zhì)取整函數(shù)的若干性質(zhì) x-1

10、 x x x 0，有： n/a /b = n/ab ; n/a /b = n/ab ; a/b (a+(b-1)/b; a/b (a-(b-1)/b; f(x)= x , g(x)= x 為單調(diào)遞增函數(shù)。 （3）多項(xiàng)式函數(shù)）多項(xiàng)式函數(shù) p(n)= a0+a1n+a2n2+adnd； ad0; p(n) = (nd); f(n) = O(nk) f(n)多項(xiàng)式有界； f(n) = O(1) f(n) c; k d p(n) = O(nk) ; k d p(n) = (nk) ; k d p(n) = o(nk) ; k 0: a0=1; a1=a ; a-1=1/a ; (am)n = amn

11、; (am)n = (an)m ; aman = am+n ; a1 an為單調(diào)遞增函數(shù); a1 nb = o(an)0limnbnanex 1+x;|x| 1 1+x ex 1+x+x2 ; ex = 1+x+ (x2), as x0;032! 3! 21iixixxxxexnnenx1lim （5）對數(shù)函數(shù)）對數(shù)函數(shù) log n = log2n; lg n = log10n; ln n = logen; logkn = (log n)kl; log log n = log(log n); for a0,b0,c0abbalogbaabcccloglog)(loganabnbloglogba

12、accblogloglogaabblog)/1 (logbaablog1logacbbcaloglog|x| 1 for x -1,for any a 0, , logbn = o(na).5432)1ln(5432xxxxxxxxxx)1ln(10loglim)2(loglimlogabnnabnnnn （6）階層函數(shù)）階層函數(shù) Stirlings approximation 00)!1(1!nnnnnnn321!nennnn112!neennnn2!nnn1211121)(!nnon )2(!nn)log() !log(nnn算法分析中常見的復(fù)雜性函數(shù)算法分析中常見的復(fù)雜性函數(shù)小規(guī)模數(shù)據(jù)小

13、規(guī)模數(shù)據(jù)中等規(guī)模數(shù)據(jù)中等規(guī)模數(shù)據(jù)用用C+描述算法描述算法 （1）選擇語句：）選擇語句： （1.1) if 語句：語句： （1.2) ？語句：？語句： if (expression) statement;else statement; exp1?exp2:exp3 y= x9 ? 100:200; 等價(jià)于： if (x9) y=100; else y=200;（1.3) switch語句：語句：switch (expression) case 1: statement sequence; break; case 2: statement sequence; break; default: sta

14、tement sequence; （2）迭代語句：）迭代語句：（2.1) for 循環(huán)：循環(huán)： for (init;condition;inc) statement;（2.2) while 循環(huán)：循環(huán)： while (condition) statement;（2.3) do-while 循環(huán)：循環(huán)： do statement; while (condition); （3）跳轉(zhuǎn)語句：）跳轉(zhuǎn)語句：（3.1) return語句：語句： return expression;（3.2) goto語句：語句： goto label; label:（4）函數(shù)：）函數(shù)： 例：例： return-type f

15、unction name(para-list) body of the function int max(int x,int y) return xy?x:y; （5）模板）模板template ：template Type max(Type x,Type y) return xy?x:y; int i=max(1,2)；double x=max(1.0,2.0)；（6）動態(tài)存儲分配：）動態(tài)存儲分配：（6.1）運(yùn)算符）運(yùn)算符new ：運(yùn)算符new用于動態(tài)存儲分配。 new返回一個(gè)指向所分配空間的指針。例：int x；y=new int；y=10；也可將上述各語句作適當(dāng)合并如下：int y=ne

16、w int；y=10；或 int y=new int(10)；或 int y；y=new int(10)；（6.2）一維數(shù)組）一維數(shù)組 ：為了在運(yùn)行時(shí)創(chuàng)建一個(gè)大小可動態(tài)變化的一維浮點(diǎn)數(shù)組x，可先將x聲明為一個(gè)float類型的指針。然后用new為數(shù)組動態(tài)地分配存儲空間。例：例：float x=new floatn；創(chuàng)建一個(gè)大小為n的一維浮點(diǎn)數(shù)組。運(yùn)算符new分配n個(gè)浮點(diǎn)數(shù)所需的空間，并返回指向第一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的指針。然后可用x0，x1，xn-1來訪問每個(gè)數(shù)組元素。（6.3）運(yùn)算符）運(yùn)算符delete ： 當(dāng)動態(tài)分配的存儲空間已不再需要時(shí)應(yīng)及時(shí)釋放所占用的空間。 用運(yùn)算符delete來釋放由new分配

17、的空間。 例：例： delete y； delete x； 分別釋放分配給y的空間和分配給一維數(shù)組x的空間。（6.4）動態(tài)二維數(shù)組）動態(tài)二維數(shù)組 ： 創(chuàng)建類型為Type的動態(tài)工作數(shù)組，這個(gè)數(shù)組有rows行和cols列。template void Make2DArray(Type* &x,int rows, int cols) x=new Type*rows; for (int i=0;irows;i+) xi=new Typecols;當(dāng)不再需要一個(gè)動態(tài)分配的二維數(shù)組時(shí)，可按以下步驟釋放它所占用的空間。首先釋放在for循環(huán)中為每一行所分配的空間。然后釋放為行指針分配的空間。釋放空間后將

18、x置為0，以防繼續(xù)訪問已被釋放的空間。template void Delete2DArray(Type* &x,int rows) for (int i=0;irows;i+) delete xi; delete x; x=0;算法分析方法算法分析方法 例：順序搜索算法例：順序搜索算法templateint seqSearch(Type *a, int n, Type k) for(int i=0;in;i+) if (ai=k) return i; return -1;（1）Tmax(n) = max T(I) | size(I)=n =O(n)（2）Tmin(n) = min T(

19、I) | size(I)=n =O(1)（3）在平均情況下，假設(shè)： (a) 搜索成功的概率為p ( 0 p 1 )； (b) 在數(shù)組的每個(gè)位置i ( 0 i n )搜索成功的概率相同，均為 p/n。nIsizeavgITIpnT)()()()(pnnpnnpnpnp1321)1 (2) 1(11pnnppninpni算法分析的基本法則算法分析的基本法則 非遞歸算法：非遞歸算法：（1）for / while 循環(huán)循環(huán)體內(nèi)計(jì)算時(shí)間*循環(huán)次數(shù)；（2）嵌套循環(huán)循環(huán)體內(nèi)計(jì)算時(shí)間*所有循環(huán)次數(shù)；（3）順序語句各語句計(jì)算時(shí)間相加；（4）if-else語句if語句計(jì)算時(shí)間和else語句計(jì)算時(shí)間的較大者。templatevoid insertion_sort(Type *a, int n) Type key; / cost times for (int i = 1; i =0 & ajkey ) / c4 sum of ti aj+1=aj; / c5 sum of (ti-1) j-; / c6 sum og (ti-1)