理學(xué)D換元法PPT課件

1、sincosxdxxC 我們有Cxxdx2cos2sin但Cxxdx2cos212sin應(yīng)該是第一類換元積分法cos22sin2xx1sin2sin222xdxxdxxu2dxdu2Cuuducos21sin21Cx2cos21故 f x dxgxx dx g u du xu第1頁/共56頁定理1（第一類換元積分法） ( ),g uxF ug uux設(shè)及連續(xù)，且則作變量代換后，有 gxx dx gxdx g u du F uC FxC第一類換元積分法的步驟 ( )()( )f xgxfxxxx將被積函數(shù)分解為的形式一部分為的，兩部分因式相乘函數(shù)另一部分為即導(dǎo)數(shù)的 ,( )x dxdxf x d

2、xug u duux湊微分作變量代換將轉(zhuǎn)化為新的積分變量 的不定積分第2頁/共56頁2udu2ln2uC5325xdx例1（1）解 5 3u x 令 ，則5dudx原式 （2）32 32xdx2dudx 3u du414uC41324xC解 32ux令 ，則原式532ln2xC第3頁/共56頁例例1. 求求).1(d)(mxbxam解解: 令,bxau則,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共56頁(3) xdx2cos2解：dxxxdx22cos2cos2uduxucos2)2(2cosxdxCu

3、sinCx 2sin(4) dxxex22解：xdxedxxexx2222Ceu)(22xdexdueuxu2Cex2(4)dxx 231dxx 231解：duuxu 12123Cu ln21.23ln21Cx )23(23121xdx第5頁/共56頁22)(1d1axxa例例2. 求求.d22xax解解:22dxax,axu 令則xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan)(ax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共56頁例例3. 求求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d

4、)(xxfxxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共56頁221dxxx211321dxxx212321d xdxxx2ln2ln 13xxC222dxxx（6）解 原式 (1)dxdx 湊微分一般地，求 ，令 ，則 ()f axb dxuaxb1()( )f axb dxf udua第8頁/共56頁Caxaxaln21例例5. 求求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d

5、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共56頁dxxxsin5sin21 xdxxdxsin55sin5121Cxxcos215cos101dxxx3cos2sin（8）解 原式 （7）2sin xdx11 cos22x dx1cos2224xxdx1sin224xxC解 原式 湊微分d(2x)湊微分d(5x)偶次方化倍角乘積化和差第10頁/共56頁幾個(gè)常用的三角公式21 cos 2sin,2xx21 cos 2cos2xx1sinsincoscos21coscoscoscos21sincossinsin2第11頁/共56頁22sincoscosxxdx 32sincos xx dx（9

6、）221 coscoscosxxdx 24coscoscosxx dx 3511coscos35xxC 解 原式 一奇一偶，則將奇次方的函數(shù)拆出一個(gè)，湊成另一個(gè)的微分第12頁/共56頁例例1 1 求.2sin xdx解法一解法一 xdx2sin)2(2sin21 xxd湊湊分分Cu cos21基本積分表基本積分表解法二解法二 xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxdCu 2解法三解法三 xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxdCu 2;2cos21Cx 還原還原 uduxusin212 uduxu2sin ;sin2Cx uduxu2cos .c

7、os2Cx 5/24第13頁/共56頁)(1baxdadx)(212xdxdx 211()dxdxx1lndxdxx1(2)dxdxxxxdedxexdxdxsincossin( cos )xdxdxxdxdxdxxtanseccos122221csc( cot )sindxxdxdxxxddxxarctan112xdxdxarcsin12常用湊微分公式第14頁/共56頁221112x dxCx321313414x dxx（2）4414 14d xx41ln 1416xC21xx dx例2（1）解 原式 解 原式 441411614dxx22112x d x第15頁/共56頁Cx13sin11

8、cos 33dxx 211cos 3dxxx（3）解 原式 11cos 3dxx 例7. 求.d3xxex解解: 原式 =xexd23)3d(323xexCex332第16頁/共56頁coscosdxx tan xdx例3（1）sincosxdxx（2）xdx3tan2tansec1xxdxxdxxxdtantantan21tanln cos2xxC 解 原式 解 原式 ln cosxC ln cosxC 可做公式使用cotln sinxdxxC第17頁/共56頁2arccotarccotdxx 22arccot1dxxx（3）解 原式 xdxlnln11lnln lnxxCdxxx1ln11

9、（4）解 原式 1arccotCx第18頁/共56頁解：dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21 (ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.ln21ln21Cx (6)dxxx )ln21(1.11dxex (5)解：dxex 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx dxeeexxx 11)ln2(ln21121xdxdxxx1)ln21 (1第19頁/共56頁例例8 8 求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 第

10、20頁/共56頁例例4 4 求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx .)1(21112Cxx 第21頁/共56頁例例1111 求.12321dxxx 原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 第22頁/共56頁例110axdx aax解dxxaxa 分子分母同乘xa dxxaxa22dxxaxdxxaa 22221Cxaaxa 22arcsin第23頁/共56頁例例1010 求.)11(12dxexxx 解解,111

11、2xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 例18dxxxxx cossinsincos解分子恰為分母的導(dǎo)數(shù)dxxxxx cossinsincosdxxxxx cossin)cos(sin(sincos )sincosdxxxxln sincosxxC第24頁/共56頁例例8. 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共56頁xxtansec解解 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secx

12、xxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln同樣可證xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 求.dsecxx第26頁/共56頁)2cos2cos21 (241xx 例例12 . 求求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C

13、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第27頁/共56頁例例1212 求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 或dxxdxx 2cos21cos112Cx 2tan第28頁/共56頁解解例例1616 設(shè) 求 .,cos)(sin22xxf )(xf令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 第29頁/共56頁思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 下列各題求積方法有何不同? xx4d)

14、1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第30頁/共56頁dxxex211(1)dxxx1xeC 2arctanxC22(arcsin )1dxxxdxxx22)tan1 (sec1arcsinCx 11tanCx 1uxuxarcsinux1tanux 第31頁/共56頁例例1. 求求.d4932xxxxx解解: 原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232

15、)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第32頁/共56頁xxxd11) 132) 1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52) 1(2 x) 1d( x2212xx Cx21arcsin5機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第33頁/共56頁第一換元法 dxxxgdxxf ( )uxg u du ux令第二換元法 fttttxd 0,f xtttfttF t設(shè)，及均，且，又存在原函數(shù)連續(xù)則 f x dx湊微分( )dx F tC 1FCx第34頁/共

16、56頁例例16. 求求. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax則taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第35頁/共56頁例例17. 求求. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax則22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax

17、 a)ln(1aCCCaxx22ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xa1C第36頁/共56頁例例18. 求求. )0(d22aaxx解解:,時(shí)當(dāng)ax 令, ),0(,sec2ttax則22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22ax axa第37頁/共56頁,時(shí)當(dāng)ax令,ux,au 則于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，時(shí)ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnC

18、axxa)ln2(1aCCCaxx22ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第38頁/共56頁則22cosaxat22,ax對(duì)于22tanxaat則22secaxat則對(duì)于22,ax對(duì)于22,xa 一般地：第二類換元法主要是利用三角關(guān)系式化根式 為三角函數(shù)的有理式，再積分。 2222sincos1, 1tansecxxxx222222, , axxaxa令sin ,xat令tan ,xat令sec ,xat0,a 上式中，均假設(shè) t為各對(duì)應(yīng)反三角函數(shù)的主值區(qū)間。第39頁/共56頁2dxudu221 121uduu 212 (1)1duu解 令 1,ux21,xu則 221uuduu原式2ar

19、ctanuuC2(1arctan1)xxC 例11xdxx求不定積分 直接令根式為u，化根式為有理式第40頁/共56頁231uduu1311uduu 233 (ln1)2uuuC 解 例231dxx 求不定積分 令 3,ux則32, 3xudxu du原式 32333 (ln1)2xxC 直接令根式為u，化根式為有理式21 131uduu 第41頁/共56頁221udxduu221duu解 2ln1 ,xu則 1xdxe例3求不定積分 令 1,xeu原式 11()11duuu1ln1uCu1111lnln1111xxxxeeCCee直接令根式為u，化根式為有理式第42頁/共56頁3(1)dxx

20、x例5 求不定積分 解 56dxu du6 ,x u則 6 ,ux令 5236(1)u duuu原式2261uduu216 (1)1duu6(arctan)uuC666(arctan)xxC第43頁/共56頁例例2222 求dxxx 251解解21xt 令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 第44頁/共56頁dxxx )2(17令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 例6當(dāng)分

21、母的階較高時(shí), , 可采用倒代換.1tx 求解：772112141ttd第45頁/共56頁例例24. 求求.d222 axxx解解: 令,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第46頁/共56頁例例2525 求解解.1124dxxx dxxx 1124令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111（分母的階較高）dttt 231222121dttt 2tu duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 第47頁/共56頁2.

22、已知已知,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解: 兩邊求導(dǎo), 得)(5xfx,12xx則1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt23)1 (312tCt21)1 (2(代回原變量代回原變量) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第48頁/共56頁基本積分公式基本積分公式tan xdxcot xdxsecxdxcscxdx22dxax1ln |2xaCaxa1arctanxCaa22dxax22dxxa22ln|xxaCln |cos|xC ln |sin|xCln |sectan|xxCln |csccot|xxC1ln |2axCaax22dxxa22dxaxarcsin(0)xC aa22dxxa22ln|xxaC第49頁/共56頁.32d2 xxx解解: 原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例20. 求求例例21. 求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212第50頁/共56頁例例22. 求求.1d2xxx解解: 原式 =22)()()(d21x2521xCx5