一元二次方程知識點總結(jié)及相關(guān)練習題

1、學習必備歡迎下載一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：ax 2bxc于未知數(shù) x 的二次多項式，等式右邊是零，其中做一次項， b 叫做一次項系數(shù)； c 叫做常數(shù)項。二、一元二次方程的解法0( a0) ，它的特征是：等式左邊加一個關(guān)21、直接開平方法 :利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如(x a) 2b 的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x a 是 b的平方根，當 b0 時， xab ， xab ，當 b<0 時，方程沒有實數(shù)根。2、配

2、方法 :配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a22ab b 2( ab) 2 ，把公式中的a 看做未知數(shù) x，并用 x 代替，則有 x22bx b2( xb) 2 。配方法的步驟：先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項的系數(shù)化為1，再同時加上 1 次項的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程 ax 2bx c0(a0) 的求根公式：xbb24ac (b24ac0)2aa，一次項公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項的系數(shù)為的系數(shù)為 b，常數(shù)項的系數(shù)為c4、因式分解法因式分解法就是利用因式

3、分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。分解因式法的步驟：把方程右邊化為 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式5、韋達定理利用韋達定理去了解，韋達定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之積 =c/a 也可以表示為 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韋達定理，可以求出一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很常用三、一元二次方程根的判別式根的判別式一 元 二 次 方 程 ax 2bxc 0(a 0)中 ， b 24ac叫做一元二次方程ax 2bx c 0(a 0)

4、的根的判別式，通常用“”來表示，即b 24acI 當 >0 時，一元二次方程有2 個不相等的實數(shù)根；II 當 =0 時，一元二次方程有2 個相同的實數(shù)根；III 當 <0 時，一元二次方程沒有實數(shù)根四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系學習必備歡迎下載如 果 方 程 ax2bx c 0(a0) 的 兩 個實 數(shù) 根 是 x1， x2 ， 那 么 x1 x2b ，ax1x2c 。也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次a項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商。五、一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解

5、法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應使二次項系數(shù)化為正數(shù) 。直接開平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應先計算根的判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數(shù)學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學方法 之一，一定要掌握好。練習題：一、選擇題220，則 m的值等于（）1、若關(guān)于 x 的一元二次方程 (m-1)x +5x+m-

6、3m+2=0 有一個根為A 1B. 2C. 1或2D. 02、巴中日報訊：今年我市小春糧油再獲豐收，全市產(chǎn)量預計由前年的45 萬噸提升到50 萬噸，設從前年到今年我市的糧油產(chǎn)量年平均增長率為x ，則可列方程為（）A 452x50 B 45(1x)250C 50(1x) 245D 45(12 x)503、已知，b是關(guān)于 x 的一元二次方程x2nx1ba）a0 的兩實數(shù)根， 則的值是 （abA n22B n22C n22D n224、已知 a、b、c 分別是三角形的三邊，則 (a+ b)x 2 + 2cx + (a + b) 0 的根的情況是（）A沒有實數(shù)根B可能有且只有一個實數(shù)根C有兩個相等的實

7、數(shù)根D有兩個不相等的實數(shù)根5、已知 m, n 是方程 x22x 10 的兩根，且 (7m214m a)(3n26n7)8 ，則 a 的值等于 （）A 5B.5C.-9D.96、已知方程 x2bx a0 有一個根是a( a 0) ，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是 （）A abB aC a bD a bb7、 x22x20的一較小根為 x1 ,下面對 x1 的估計正確的是（）A 2x11B 1 x10C 0 x11D 1 x12學習必備歡迎下載8 、 關(guān) 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2mx 2m 1 0 的 兩 個 實 數(shù) 根 分 別 是 x1、 x2 ， 且x12x227 ，則 (x1x

8、2 ) 2 的值是（）A 1B 12C 13D 259、中江縣 20XX年初中畢業(yè)生診斷考試) 某校九年級學生畢業(yè)時，每個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送了2450 張相片，如果全班有x 名學生，根據(jù)題意，列出方程為 ()A.x( x1)2450B .x( x1)2450 C .2x( x1)2450 D . x(x1)2450210、設 a， b 是方程 x2x20090 的兩個實數(shù)根，則a22a b 的值為（）A 2006B 2007C 2008D 200911、對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0) ，下列說法：若 a+c=0，方程 ax2+bx+c=0

9、 必有實數(shù)根；若 b 2 +4ac<0，則方程ax2+bx+c=0 一定有實數(shù)根；若 a-b+c=0 ，則方程ax2+bx+c=0 一定有兩個不等實數(shù)根；若方程 ax 2 +bx+c=0 有兩個實數(shù)根，則方程cx 2 +bx+a=0 一定有兩個實數(shù)根其中正確的是 ()A BCD 二、填空題1、若一元二次方程2 (a+2)x+2a=0的兩個實數(shù)根分別是 3、 b，則 a+b=x3、方程（ x 1）（ x + 2） = 2 （ x + 2）的根是4、關(guān)于 x 的一元二次方程 ax20) 有兩個相等實根， 求ab2+bx+1=0(a的值為(a - 2)2b 2 - 4_ _5、在等腰 ABC中

10、，三邊分別為a， b，c，其中a=5，若關(guān)于 x 的方程 x2+(b+2)x+6-b=0有兩個相等的實數(shù)根，則ABC的周長為 _ 6、已知關(guān)于 x 的一元二次方程22=0（k為常數(shù)）設 x 1 ， x 2 為方程的兩個實數(shù)根，x-6x-k且 x 1 +2x 2 =14，則 k 的值為 _ 7、已知 m、n 是方程 x 2 -2003x+2004=0 的兩根，則 (n 2 -2004n+2005) 與 (m2 -2004m+2005) 的學習必備歡迎下載積是.計算題1、關(guān)于x 的方程kx 2(k2) xk0 有兩個不相等的實數(shù)根.4(1) 求 k 的取值范圍。(2) 是否存在實數(shù)k，使方程的兩個

11、實數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，說明理由增長率問題：1、某房屋開發(fā)公司經(jīng)過幾年的不懈努力，開發(fā)建設住宅面積由2000 年 4 萬平方米， 到 20XX年的 7 萬平方米。設這兩年該房屋開發(fā)公司開發(fā)建設住宅面積的年平均增長率為x ，則可列方程為 _ ；2、某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81 臺電腦被感染請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制， 3 輪感染后，被感染的電腦會不會超過700 臺？3、 20XX年 5 月 17 日至 21 日，甲型 H1N1 流感在日本迅速蔓延，每天的新增病例和累計確診病

12、例人數(shù)如圖所示(1)在 5月 17日至 5月21日這5 天中，日本新增甲型 H1N1 流感病例最多的是哪一天？該天增加了多少人？(2)在 5月 17日至 5月21日這5 天中，日本平均每天新增加甲型H1N1 流感確診病例多少人？如果接下來的5 天中，繼續(xù)按這個平均數(shù)增加，那么到5月26日，日本甲型 H1N1 流感累計確診病例將會達到多少人？(3)甲型 H1N1 流感病毒的傳染性極強，某地因1 人患了甲型 H1N1 流感沒有及時隔離治療 ，經(jīng)過兩天 傳染后共有9 人患了甲型 H1N1 流感，每天 傳染中平均一個人傳染了幾個人？如果按照這個傳染速度，再經(jīng)過 5 天的傳染后， 這個地區(qū)一共將會有 多

13、少人患甲型 H1N1 流感？日本 20XX 年5月16日至 5月21日人數(shù) (人)甲型 H1N1 流感疫情數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖300250新增病例人數(shù)267累計確診病例人數(shù)200163193150100966774502175430017017181920日期1621學習必備歡迎下載行程問題：1、甲、乙兩艘旅游客輪同時從臺灣省某港出發(fā)來廈門。甲沿直航線航行乙沿原來航線繞道香港后來廈門，共航行了720 海里，結(jié)果乙比甲晚知乙速比甲速每小時快6 海里，求甲客輪的速度（其中兩客輪速度都大于180 海里到達廈門；20 小時到達廈門。已16 海里 /小時）？2、為了開闊學生視野，某校組織學生從學校出發(fā)，步行6 千

14、米到科技展覽館參觀。返回時比去時每小題少走1 千米，結(jié)果返回時比去時多用了半小時。求學生返回時步行的速度3、甲、乙兩個城市間的鐵路路程為1600 公里，經(jīng)過技術(shù)改造，列車實施了提速，提速后比提速前速度增加20 公里 /小時， 列車從甲城到乙城行駛時間減少4 小時，這條鐵路在現(xiàn)有的安全條件下安全行駛速度不得超過 140 公里 /小時 .請你用學過的數(shù)學知識說明在這條鐵路現(xiàn)有的條件下列車還可以再次提速 .經(jīng)濟問題：1、某商店以 2400 元購進某種盒裝茶葉，第一個月每盒按進價增加20%作為售價，售出50盒，第二個月每盒以低于進價5 元作為售價，售完余下的茶葉在整個買賣過程中盈利350元，求每盒茶葉

15、的進價2、黃岡百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)： “寶樂”牌童裝平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元 .為了迎接“六·一”國際兒童節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存 .經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價4 元，那么平均每天就可多售出8 件 .要想平均每天銷售這種童裝上盈利1200 元，那么每件童裝因應降價多少元？學習必備歡迎下載3、某企業(yè) 20XX 年盈利 1500 萬元，20XX 年克服全球金融危機的不利影響，仍實現(xiàn)盈利萬元從20XX 年到 20XX 年，如果該企業(yè)每年盈利的年增長率相同，求：（1）該企業(yè)20XX 年盈利多少萬元？（2）若該企業(yè)盈利的年增

16、長率繼續(xù)保持不變，預計20XX 年盈利多少萬元？2160工程問題：1、為加強防汛工作, 市工程隊準備對蘇州河一段長為2240 米的河堤進行加固, 由于采用新的加固模式 , 現(xiàn)在計劃每天加固的長度比原計劃增加了20 米, 因而完成此段加固工程所需天數(shù)將比原計劃縮短2 天 . 為進一步縮短該段加固工程的時間, 如果要求每天加固224 米 , 那么在現(xiàn)在計劃的基礎(chǔ)上, 每天加固的長度還要再增加多少米?2、某公司需在一個月（31 天）內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程如果由甲、乙兩個工程隊合做， 12 天可完成；如果由甲、乙兩隊單獨做，甲隊比乙隊少用10 天完成（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數(shù)（2）如果請甲工程隊施工，公司每日需付費用2000 元；如果請乙隊