湖南大學(xué)第五章采樣講義

1、第五章采樣基本題考慮正弦信號(hào)x(t) =si n.i0t)若x(t)用頻率is =2二T rad /s采樣，那么離散時(shí)間信號(hào)xn =x(nT)就等于xn =s i n0nT)假定采樣頻率固定在 =2二(8192)rad /s。1 假設(shè)氏=2二(loooo)rad/S并定義 T=1/8192。創(chuàng)建向量 n=0:8192，使得 t=n*T包含了區(qū)間0祖：1內(nèi)8192個(gè)時(shí)間樣本。創(chuàng)建向量x，它包含在t的時(shí)間樣本上x(t) 的樣本。t=liiwpace (0, U 8192);w=2*pi*1000;尸】:1=1/8192;x=sin(w*t ;for n=l:50y(n)=x (n);endfisu

2、re(l)st em(y) h2.用stem對(duì)n展示前50個(gè)xn樣本，用plot對(duì)采樣時(shí)間展示x（t）的前50個(gè)樣本為了計(jì)算帶限重建信號(hào)xr (t)的連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的樣本，今用下列函數(shù)fun ctio n X,w=ctffts(x,T)N=le ngth(x);X=fftshift(fft(x,N)*(2*pi/N);w=li nspace(-1,1-1/N,N)/(2*T);這個(gè)函數(shù)用fft計(jì)算重建信號(hào)的傅立葉變換。文件ctffts.m應(yīng)該裝在相應(yīng)的MATLABPATH 中。t=linspace ttl3 8192) bw=2«pi«1000;尸】；T二1/8192;

3、x=sin(v*t);for n=l：50y (n)5);endXj w =ctfft sI);subplot(211)plot (w,K);axis(-1500 1500 0 1.5);subpltrt (212)xn= angle Of);clot(xn):幅值圖。X在合理的頻率值上是非零嗎？假定當(dāng)X接近于零時(shí)，相位等于零，X的相位正確嗎？中等題4.對(duì)正弦頻率-Jo =2二(15000)rad / s和2二(20000)rad / s重作13。X的幅值對(duì)于所預(yù)計(jì)的頻率還是非零嗎？ X的相位正確嗎？t=luupacB(Uf 1,過】9刃,¥=21*1500;尸；1=1/8192;x

4、=sin(w*t);for n=l:50y (n)(n);endfigure (1)st sin (y) ; |t=li nspace(0,1,8192); w=2*pi*2000;y=;T=1/8192;x=si n(w*t);for n=1:50y( n)=x( n);end X,w=ctffts(x,T); subplot(211) plot(w,X);axis(-2500 2500 0 1.5);subplot(212)xn=an gle(X);plot(x n);1.5rliijT_i0501000 2000-2000 -1000 05用sound(x,1/T)將4中創(chuàng)建的每個(gè)采樣信

5、號(hào)放出來。你聽到的音調(diào)隨門。頻率的提高而提高嗎？注意，和 plot 樣，sou nd函數(shù)也有內(nèi)插的作用。有提咼6 . 現(xiàn)在對(duì)正 弦頻率 1】0 =2二(35000)rad / s ,2 二(40000)rad / s ,2 二(45000)rad / s ,2二(50000)rad /s和2二(55000)rad /s重作1和3。也用sou nd將每個(gè)采樣信號(hào)放出來。你所聽到的音調(diào)高度隨每次頻率 -0的增加而提高嗎？如果不是，你能解釋這個(gè)現(xiàn)象嗎？深入題現(xiàn)在考慮信號(hào)x(t)二s i n%t 12 -t2)由于這個(gè)信號(hào)當(dāng)通過一個(gè)揚(yáng)聲器放出來時(shí)，其聲音聽起來像鳥叫的聲音，所以常稱它為鳥聲信號(hào)，這是由

6、于這個(gè)信號(hào)的瞬時(shí)頻率隨時(shí)間而增加的緣故。一個(gè)正弦信號(hào)的瞬時(shí)頻率是它的相位的導(dǎo)數(shù)，即 si n(.)的宗量的導(dǎo)數(shù)。對(duì)于這個(gè)鳥聲信號(hào)，具瞬時(shí)頻率是S(t)=df2)dt在下面習(xí)題中，假設(shè)'Js =2二(8192)rad /s。7 .設(shè) 氏=2二(30000)rad/s和=2000rad/s2，將該鳥聲信號(hào)在區(qū)間0乞t：1內(nèi)的樣本 存入時(shí)間向量x中。w=2*pi*30000;r=2000;T=1/8192;n=0:8192;t=T*n;x=sin(w*t+1/2*r*t 八2)sound(x,1/T);當(dāng)t等于0.548的時(shí)候，即瞬時(shí)頻率等于抽樣頻率的一半時(shí)，鳥聲的強(qiáng)度最大。8.用sou n

7、d放出在x中的鳥聲信號(hào)。你能解釋剛才聽到的嗎？9 確定鳥聲信號(hào)有最大強(qiáng)度的近似時(shí)間樣本。已知瞬時(shí)頻率的線性方程和你對(duì) 混疊的理解，請(qǐng)解釋怎樣本就能預(yù)計(jì)到這個(gè)時(shí)間樣本。§ 5.2由樣本重建信號(hào)目的這個(gè)練習(xí)討論由樣本重建原連續(xù)時(shí)間信號(hào)。相關(guān)知識(shí)這個(gè)練習(xí)包含信號(hào)x(t)從它的樣本x(nT)的重建，這里T是采樣周期，n是任 意整數(shù)。正如在練習(xí)5.1中所討論的。如果x(t)的帶寬小于嘔2=燈，那么x(t)就 能用低通過濾x(t)的沖激串采樣Xp(t)完全恢復(fù)Xp(t) = ' x(n T)、.(t- nT)n =o由xp(t)重建x(t)所用的低通濾波器是H(Z；卜；72其余門它是一個(gè)

8、截止頻率為"s2的理想低通濾波器。這個(gè)濾波器的單位沖激響應(yīng)s i OSt 2) hbi(t)J-.st 2然后帶限重建由下式給出aXbi(t)二'x(nT)hbi(t_nT)這個(gè)信號(hào)是否是x(t)的一個(gè)“好”的重建取決于x(t)的帶寬。正如在練習(xí)5.1所指 出的，如果x(t)的帶寬是大于I '2，那么這個(gè)重建信號(hào) 陽一般不等于x(t) o如果x(t)的帶寬超過I】s2，仍然有可能從它的樣本x(nT)恢復(fù)x(t)，如果還有關(guān)于x(t)的樣本的另外一些信息的話。譬如，若已知x(t)是分段線性的，那么就可以用一個(gè)線性內(nèi)插器重建x(t)。樣本x(nT)的線性內(nèi)插器由Xp(t)

9、與下面單位沖激響應(yīng)卷積給出:hiin(t)腫/TPXT其余t連續(xù)時(shí)間重建信號(hào)xiin (tx(t) - hiin (t)等效于用直線將這些樣本連起來。然而，就如同在采樣率低于奈奎斯特率時(shí)，帶限內(nèi)插在不能很好的恢復(fù)一個(gè)信號(hào)一樣，如果原信號(hào)不是分段線性的，線性內(nèi)插器不能產(chǎn)生一個(gè)很好的重建。F面的練習(xí)將說明，任何內(nèi)插濾波器的性能都取決于原信號(hào)x(t)的特征。在下面的練習(xí)中，既用帶限內(nèi)插，又用線性內(nèi)插從采樣時(shí)刻t =n T,T =1 2 得到的樣本來重建下列信號(hào):xi (t) =c 0X2(t)二t -2其余t基本題1 用解析法證明，在采樣時(shí)刻Xbi(t)和x“n(t)都等于樣本值x(nT)這樣的內(nèi)插

10、器稱為嚴(yán)格內(nèi)插器，因?yàn)樗鼈儽Ａ袅嗽夹盘?hào)在采樣時(shí)刻的真正值。這個(gè)帶限內(nèi)插和線性內(nèi)插濾波器時(shí)因果的嗎？2.為和X2(t)帶限嗎？若是，帶寬是多少？syms t;x1t=sym('cos(8*pi*t/5)'); ht=sym('heaviside(t+2)-heaviside(t-2)') x2=sym('1-abs(t)/2');x2t=ht.*x2;subplot(1,4,1);ezplot(x1t);grid on;subplot(1,4,2);ezplot(x2t);grid on;F1=fourier(x1t);subplot(1,4,3

11、);ezplot(F1,-100,100);grid on;F2=fourier(x2t);subplot(1,4,4);ezplot(F2,-10,10);grid on;cos(JB 7i t越日諒sid已(t +2J-heaviside(t-2) (it-(b2ael(5 ti) +dirac(w+S/5 k)2/w2 sin(w)210.60.50.600.4020t-12 -100 0 1001w21510.600 10w根據(jù)頻譜圖形可以看出x1t是帶限的，其大小是8*pi/5*2,x2t不是帶限的3.創(chuàng)建一個(gè)向量tS,它包含在t <4內(nèi)的采樣間隔t=nT。將對(duì)應(yīng)于ts的Xi(

12、t)和X2(t)的樣本存入向量 xs1和xs2，用stem畫出xs1和xs2對(duì)ts的圖。T=1/2;n=-4:4;ts=n*T;x1t=cos(8*pi*ts/5);x2t=(1-abs(ts)/2) *(heaviside(ts+2)-heaviside(ts-2);xs1=x1t;xs2=x2t;figure;subplot(1,2,1); stem(ts,xs1); grid on;title('xs1 ? i?D?');Xlabel('x1n'); subplot(1,2,2); stem(ts,xs2); grid on;title('xs2

13、? i?D?');Xlabel('x2n');x1NA 日二!x2n為了從這個(gè)樣本重建Xi(t)和X2(t),要注意到這些重建信號(hào)在 MATLAB中僅僅能夠一個(gè)有限的樣本數(shù)上被計(jì)算出。因此，要計(jì)算這些內(nèi)插信號(hào)僅在區(qū)間t乞2上, 將含在xs1和xs2中的每個(gè)樣本之間計(jì)算3個(gè)樣本。因此這個(gè)內(nèi)插信號(hào)的采樣間 隔就是Ts =1 8。另一個(gè)冋題是hb1 (t)的無限長(zhǎng)持續(xù)時(shí)間冋題。下面將用有限長(zhǎng)內(nèi)插器來代替hbi(t)；It 2其余t用這個(gè)內(nèi)插濾波器hb1f (t)內(nèi)插x1(t)和x2 (t)的樣本所得出的信號(hào)稱作 y1b1 (t)和 y2b1(t)。相類似地，用線性內(nèi)插器(t)

14、內(nèi)插X,t)和X2(t)的樣本所得出的信號(hào)稱作y1lin (t)和 y2lin (t)。4假設(shè)Ti=1/8并創(chuàng)建一個(gè)內(nèi)插時(shí)刻ti=-2:Ti:2向量。將在內(nèi)插時(shí)刻 亦和九 的值存入向量hb1和hlin中。用plot畫出這兩個(gè)單位沖激響應(yīng)對(duì)ti的圖。在采 樣時(shí)刻ts上這兩個(gè)單位沖激響應(yīng)的值是什么？每個(gè)單位沖激響應(yīng)的峰值都應(yīng)該 在t=o處。Ts=1/8;ws=4*pi;n1= -16:16;t1=n1*Ts;hb1f=sinc(2 *t1) *(heaviside(t1+2)-heaviside(t1-2);x1t1=cos(8*p i *t1/5);x2t1=(1-abs(t1)/2) *(he

15、aviside(t1+2)-heaviside(t1-2); y1b1=conv(hb1f,x1t1);y2b1=conv(hb1f,x2t1);hlin=(1-abs(t1)/T) *(heaviside(t1+T)-heaviside(t1-T); y1lin=conv(hlin,x1t1);y2lin=conv(hlin,x2t1);T勺I|>1 k11UJ!l l|4!l !lii1I1 k4Il|1Iii1(ip :11II911 kI1I1_ 1 _IIIi1 I111 i t t1I1IiV,L"11111f t bibiI1八piiiIi0.80.60.40.2

16、0-0.2-0.4-0.6-112-D0rni中等題因?yàn)閔bif(t)和hn(t)都僅對(duì)于t <2為非零，所以在區(qū)間r<2上的這些內(nèi)插信號(hào)就僅是在區(qū)間t _4的樣本x(nT)的函數(shù)。下面的練習(xí)將用conv (離散卷積)函 數(shù)從在xs1和xs2中的樣本，在ti的內(nèi)插時(shí)刻上重建這些信號(hào)。然而，為了考慮 這些內(nèi)插濾波器的非因果性，并且要保持住與在xs1和xs2中樣本的關(guān)系，還應(yīng)做以下練習(xí)。5計(jì)算在ti時(shí)刻點(diǎn)上的內(nèi)插信號(hào)要求作許多 hlin或(hb1)移位形式的疊加，每 個(gè)都用適當(dāng)?shù)臉颖局导訖?quán)。這個(gè)求和式等效于一個(gè)卷積，它能用函數(shù)conv來實(shí)現(xiàn)。現(xiàn)考慮X2(t)樣本的線性內(nèi)插。第一步是要使

17、在xs2中的樣本時(shí)刻對(duì)應(yīng)于在hlin中的樣本的時(shí)刻。這可以用創(chuàng)建如下向量來完成>> N=4*(le ngth(xs2)-1)+1;>> xe2=zeros(1,N);>> xe2(1:4:N)=xs2;在xe2中每個(gè)元素的時(shí)間由te=-4:Ti:4給出。對(duì)于在te中的每一個(gè)時(shí)刻等于在 ts中的一個(gè)樣本時(shí)間，xe2就包含了在xs2中的相應(yīng)值；否則，xe2是零。用stem 畫出xe2對(duì)te的圖，并將它與xs2圖比較。N=4*(length(xs2)-1)+1;xe2=zeros(1,N);xe2(1:4:N)=xs2; te=-4:1/4:4; figure;stem(te,xe2,'fill','-');grid on;6.利用conv將xe2與hlin作卷積，conv輸出的一個(gè)子集含有在時(shí)刻ti上的線 性內(nèi)插。記住，存在hlin中的線性的內(nèi)插器對(duì)應(yīng)于一個(gè)非因果濾波器，而conv則認(rèn)為濾波器是因果的。參照8.1節(jié)有關(guān)conv如何能用來