高中圓的基本性質(zhì)與點圓關(guān)系-知識點及試題答案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高中圓的基本概念與點圓關(guān)系知識點與答案解析第一節(jié)圓的基本概念1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ( x- a) 2 + ( y - b) 2 = r 2 （圓心 (a, b) ，半徑為 r ）例 1寫出下列方程表示的圓的圓心和半徑（1）x2 + (y + 3)2 = 2；（2）(x + 2)2 + (y 1)2 = a2 (a 0)例 2 圓心在直線 x 2y 3 = 0 上，且過 A(2，3)，B(2，5)，求圓的方程 .例 3 已知三點 A(3， 2)，B(5，3)，C(1，3)，以 P(2，1)為圓心作一個圓，使A、B、C 三點中一點在圓外，一點在圓上，一點在圓內(nèi)，求這個圓的方程.2.

2、 圓的一般方程： x2 + y2+ Dx + Ey+ F = 0 （其中 D 2 + E2 - 4F > 0），圓心為點( D , E ) ，半徑 rD 2E24F222（）當(dāng) D2 + E2- 4F = 0時，方程表示一個點，這個點的坐標(biāo)為 (-D ,-E )22（）當(dāng) D2+ E2- 4F < 0時，方程不表示任何圖形。例 1：已知方程 x2+y2+2kx+4y+3k+8=0 表示一個圓，求 k 的取值范圍。解： 方程 x2+y2+2kx+4y+3k+8=0 表示一個圓， (2k) 2424(3k 8) 0 ，解得 k 4或k1當(dāng) k4或 k1時，方程 x2+y2+2kx+4y

3、+3k+8=0 表示一個圓。例 2：若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的圖形表示一個圓，則 m的值是。答案： 3例 3：求經(jīng)過三點 A （1， 1）、B（1,4）、 C（4， 2）的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為x 2y2DxEyF0 ，A （1， 1）、B（1,4）、C（4， 2）三點在圓上，代入圓的方程并化簡，得學(xué)習(xí)必備歡迎下載DEF2D 4E F17 ，解得 D 7，E3，F(xiàn)24D2EF20所求圓的方程為x2y 27x 3y20 。例 4：若實數(shù) x, y 滿足 x2y 24x2 y 40 ，則 x2y2 的最大值是 _。解：由 x 2y 24x2y4 0 ，得

4、(x2)2( y1) 29點 P(x, y)在以（ 2,1）為圓心，半徑 r=3 的圓 C 上，|OC |(02) 2( 01) 25 ，原點到圓上的點 P(x, y)之間的最大距離為 OC r5 3 x 2y 2 的最大值為 (53) 2146 5 。3. 圓的一般方程的特點：(1) x2 和 y2 的系數(shù)相同，不等于 0。沒有 xy 這樣的二次項。(2) 圓的一般方程中有三個特定的系數(shù) D、E、 F，只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了。(3) 與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，代數(shù)特征明顯，而圓的標(biāo)準(zhǔn)方程幾何特征較明顯。4. 圓的一般方程變形如果 Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey

5、+ F = 0 是圓，一定有（ 1） A=C 0；（2）B=0；（3）D2+E2-4AF>0。反之，也成立。例 1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。(1)4x2 + 4y2 - 4x + 12y + 9 = 0(2)4x2 + 4y2 - 4x + 12y + 11= 0例 2：方程 x2+y2 +4mx-2y+5m=0表示圓時 , m 的取值范圍是（D）學(xué)習(xí)必備歡迎下載A. 1< m < 1B.m> 1 C.m<1D.m<1 或 m> 1444例 3：如果圓的方程為 x2+y2+kx+2y+k2=0，那么當(dāng)圓面積最

6、大時圓心坐標(biāo)為（）A.（-1 ，1）B.（1，-1 ） C.（-1 ，0） D.（0，-1 ）例 4 ：圓 x2y 22ax c o s 2ay s in0的圓心坐標(biāo)為，半徑為.例 5：方程 x2+y2 -2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m4+9=0 表示一個圓。1 ：求實數(shù) m的范圍。2 ：求該圓半徑 r 的范圍。3 ：求圓心 C 的軌跡的普通方程。解： (1)方程表示圓的充要條件是 D2+ E2- 4F> 0，即：m2224，4(m) -4(16m+9)>0+3) +4(1-4解之得-1m7< <1.(2) rD2E24 F，得到 r的取值范圍2(3) 設(shè)

7、圓心為 ( x，y) ，則消去 m得： y=4( x-3) 2-1 ， - 1 <m<1，7 20 <x<4，7即軌跡為：y=4(x-3)2-1(20x。7< <4)例 6：已知實數(shù) x, y 滿足等式 (x4)2( y 3) 29 ，求 xy 的最值。學(xué)習(xí)必備歡迎下載第二節(jié) 點與圓的關(guān)系1. 點 M ( x0 , y0 ) 與圓 ( x- a)2 + ( y - b)2 = r 2 的關(guān)系的判斷方法（ 1） (x0 - a) 2 + (y0 - b)2 > r 2 ，點在圓外（ 2） (x0 - a) 2 + (y0 - b)2 = r 2 ，點在圓

8、上（ 3） (x0 - a) 2 + (y0 - b)2 < r 2 ，點在圓內(nèi)例 1： ABC 的三個頂點的坐標(biāo)是 A(5,1), B(7, - 3),C (2,- 8), 求它的外接圓的方程。解析：用待定系數(shù)法確定 a、 b、 r 三個參數(shù)。例 2：已知圓經(jīng)過點 A(1,1)和 B(2, - 2) , 且圓心在 l : x- y + 1= 0上, 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解析：圓心為 C 的圓經(jīng)過點 A(1,1)和 B(2, - 2) , 由于圓心 C 與 A,B 兩點的距離相等，所以圓心 C 在 AB的垂直平分線 m上，又圓心 C 在直線 l 上，因此圓心 C 是直線 l 與直線 m的交點

9、，半徑長等于 CA 或 CB 。例3：寫出圓心為 A(2,3)半徑長等于5的圓的方程，并判斷點M1 (5, 7), M 2 (5, 1) 是否在這個圓上。2. 圓的對稱性問題： 圓的對稱性問題可以轉(zhuǎn)化為原點的對稱性，而圓的半徑r相等。例 1：求 x2+y2+4x-12y+39=0 關(guān)于直線 3x-4y-5=0 的對稱圓方程解析：圓方程可以轉(zhuǎn)化為 (x+2) 2+(y-6) 2 =1，圓心 O(-2,6) ，半徑為 1。設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點 O'(a,b) ，OO'和直線 3x-4y-5=0 對稱，因此有：解得32 226 2所求圓的方程為 (x -5)+ ( y +5)= 1

10、。3. 與圓有關(guān)的軌跡方程學(xué)習(xí)必備歡迎下載方法一：代入轉(zhuǎn)移求軌跡方程已知線段 AB的端點 B(4,3),端點 A在圓( x 1)2y24上運動 ,求線段 AB的中點 M的軌跡方程。如：方法二：參數(shù)法求軌跡方程當(dāng) 取不同的非零實數(shù)時，方程x2y22 2 3ay3a20表示的曲線是不同的圓 。aax求圓心的軌跡方程。方法三：充分利用韋達(dá)定理22如：設(shè) O為坐標(biāo)原點 , 曲線 x +y +2x-6y+1=0 上有兩點 P,Q, 滿足關(guān)于直線 x+my+4=0 對稱 , 又滿足 OP · OQ =0，求直線 PQ的方程。解：曲線方程為（ x+1）2+（y3）2 =9 表示圓心為（ 1，3），

11、半徑為 3 的圓 .點 P、Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對稱，圓心（ 1，3）在直線上 . 代入得 m= 1。直線 PQ與直線 y=x+4 垂直，設(shè) P（x1， y1）、Q（x2， y2）， PQ方程為 y=x+b.將直線 y=x+b 代入圓方程，得2x2 +2（4b）x+b2 6b+1=0.=4（4b）2 4× 2×（ b26b+1）>0，得 232 <b<2+3 2 。由韋達(dá)定理得 x1+x2=（ 4b），x1·x2= b 2 6b1 。21221212 b 2 6b 1+4b.y · y =b b（x +x ）+x·

12、;x =2 OP · OQ =0， x1x2+y1y2 =0，即 b26b+1+4b=0.解得 b=1（ 2 32 ， 2+32 ）。所求的直線方程為y=x+1。4. 圓中的最值思想m =y - b（ 1）形如x - a 的最值問題，轉(zhuǎn)化為動直線斜率的問題；（ 2）形如 m=ax+by的最值問題，轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；（ 3）形如 m=(x-a) 2+(y-b) 2 最值問題，轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方最值問題。如：已知點 P（x,y ）是圓（ x+2） 2+y2 =1 上任意一點。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）求 P到直線 3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；（2）求 x-2y 的最大值和最小值；y- 2（3）求 x- 1 的最大值和最小值。解：（ 1）圓心 C（-2,0 ）到到直線 3x+4y+12=0的距離為：d = | 3*( - 2) + 4*0