高中圓錐曲線解題技巧和方法綜合

1、圓錐曲線的解題技巧一、常規(guī)七大題型：（1）中點弦問題具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法（點差法）：設曲線上兩點為，代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式（當然在這里也要注意斜率不存在的請款討論） ，消去四個參數(shù)。如：（ 1 ） x2y 21(ab0) 與直線相交于A、 B，設弦 AB 中點為 M(x 0 ,y0)，則有a 2b 2x0y0k0 。a2b2x2y21(a0,b0) 與直線 l 相交于 A、B，設弦 AB 中點為 M(x0,y0)則有（ 2）b2a 2x0y0k0a2b 2（ 3）y2=2px（ p>0）與直線 l 相交于 A、B 設弦 AB 中點為 M(x 0

2、,y0),則有 2y0k=2p,即 y0k=p.典型例題給定雙曲線。過 A（ 2，1）的直線與雙曲線交于兩點及，求線段的中點 P 的軌跡方程。（2）焦點三角形問題橢圓或雙曲線上一點P，與兩個焦點、構成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。典 型 例 題設P(x,y)為 橢圓上 任 一點，為焦 點，。（ 1）求證離心率esin()；sinsin（ 2）求的最值。（3）直線與圓錐曲線位置關系問題直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判別式、 根與系數(shù)的關系、 求根公式等來處理， 應特別注意數(shù)形結合的思想， 通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結

3、合三大曲線的定義去解。典型例題（ 1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點（ 2）設直線與拋物線的交點為A、 B，且 OA OB，求 p 關于 t 的函數(shù) f(t) 的表達式。（ 4）圓錐曲線的相關最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。<2>若命題的條件和結論體現(xiàn)明確的函數(shù)關系式，則可建立目標函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。（ 1），可以設法得到關于a 的不等式，通過解不等式求出a 的范圍，即： “ 求范圍，找不等式 ”?；蛘邔?a 表示為另一個變

4、量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a 的范圍；對于（ 2）首先要把 NAB 的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“ 最值問題，函數(shù)思想 ”。最值問題的處理思路：1、建立目標函數(shù)。用坐標表示距離，用方程消參轉化為一元二次函數(shù)的最值問題，關鍵是由方程求x、 y 的范圍；2、數(shù)形結合，用化曲為直的轉化思想；3、利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線 y2=2px(p>0)，過 M（ a,0）且斜率為 1 的直線 L 與拋物線交于不同的兩點A、B，|AB| 2p（ 1）求 a 的取值范圍；（ 2）若線段 A

5、B 的垂直平分線交 x 軸于點 N，求 NAB 面積的最大值。（ 5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知- 這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線 L 過原點，拋物線C 的頂點在原點，焦點在x 軸正半軸上。若點A（ -1， 0）和點 B（ 0，8）關于 L 的對稱點都在 C上，求直線 L 和拋物線 C 的方程。2曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標平面上點Q（ 2，0）和圓 C：x2+y2 =1, 動M點 M 到圓 C的切線長與 |MQ| 的比等于常數(shù)（ >0）,N求動點 M 的軌跡方程，并說明它是什么曲線。OQ（6） 存在兩點關于直線對稱問題在曲線上兩點關于某直線對稱

6、問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內。 （當然也可以利用韋達定理并結合判別式來解決）典型例題已知橢圓C 的方程，試確定m 的取值范圍，使得對于直線，橢圓 C 上有不同兩點關于直線對稱（7）兩線段垂直問題圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用來處理或用向量的坐標運算來處理。典型例題已知直線的斜率為，且過點，拋物線，直線與拋物線 C 有兩個不同的交點（如圖）。（ 1）求的取值范圍；（ 2）直線的傾斜角為何值時， A、 B 與拋物線C 的焦點連線互相垂直。四、解題的技巧方面：在教學中， 學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上， 如果我們能夠充分

7、利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結合平面幾何知識，這往往能減少計算量。典型例題設直線與圓相交于P、 Q 兩點， O 為坐標原點，若，求的值。（2） 充分利用韋達定理及“設而不求”的策略我們經(jīng)常設出弦的端點坐標而不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點O，焦點在軸上的橢圓與直線相交于 P、Q 兩點，且，求此橢圓方程。（3） 充分利用曲線系方程利用曲線系

8、方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。典型例題求經(jīng)過兩已知圓和0 的交點，且圓心在直線：上的圓的方程。（4）充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、 余弦，利用正、余弦的有界性， 可以解決相關的求最值的問題 這也是我們常說的三角代換法。典型例題P 為橢圓 x2y21上一動點， A 為長軸的右端點， B 為短軸的上端點，求四a2b2邊形 OAPB面積的最大值及此時點P 的坐標。（5）線段長的幾種簡便計算方法 充分利用現(xiàn)成結果，減少運算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB 長的方法是：把直線方程代入圓錐曲線方程中，得到型如的方程，方程的兩根設為，判別式為，則1k 2·，

9、若直接用結論，能減少配方、開方等運算| a |過程。例求直線被橢圓所截得的線段AB 的長。 結合圖形的特殊位置關系，減少運算在求過圓錐曲線焦點的弦長時， 由于圓錐曲線的定義都涉及焦點， 結合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復雜運算。例、是橢圓的兩個焦點， AB 是經(jīng)過的弦，若，求值| F2A|F2B| 利用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉化為到準線的距離例點 A（ 3，2）為定點， 點F 是拋物線的焦點， 點P 在拋物線上移動，若取得最小值，求點P 的坐標。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲備：1. 直線方程的形式（1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。（ 2）與直

10、線相關的重要內容傾斜角與斜率 k tan ,0, ) 點 到 直 線 的 距 離 dAx0By0C夾角公式：A2B2tank2k11k2 k1（3）弦長公式直線 ykx b 上兩點 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 間的距離： AB1 k 2 x1 x2(1k 2 )( x1 x2 )24x1x2 或 AB11y1 y2k2（4）兩條直線的位置關系 l1l2k1k2 =-1 l1 / l2k1k2 且b1b22、圓錐曲線方程及性質(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）標準方程： x2y21(m0, n0且 mn)mn距離式方程：(xc)2y2( x c)2y22a參數(shù)

11、方程： xa cos , yb sin(2)、雙曲線的方程的形式有兩種標準方程： x2y21(m n0)mn距離式方程： | ( xc)2y2(x c)2y2 | 2a(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？2b22b2橢圓：；雙曲線：a；拋物線：2 pa(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如：已知 F1、F2 是橢圓 x2y 21的兩個焦點，平面內一個動點M 滿43足 MF1MF 22則動點 M 的軌跡是（）A、雙曲線； B、雙曲線的一支； C、兩條射線； D、一條射線(5)、焦點三角形面積公式： P在橢圓上時， S F PF2b2 tan12P在雙曲線上時， S F PFb2 cot212（其

12、中 F PF,cos| PF1 |2| PF2 |24c2, PFPF2|PF |PF| cos）12|PF1| |PF2 |112(6) 、記住焦半徑公式：（1）橢圓焦點在 x軸上時為 aex0 ; 焦點在 y軸上時為 aey0，可簡記為“左加右減，上加下減” 。（2） 雙曲線焦點在x軸上時為e | x0|a（3） 拋物線焦點在x軸上時為| x1 |p ,焦點在2y軸上時為| y1 |p2(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？第二、方法儲備1、點差法（中點弦問題）設 A x , y、 B x, y2， Ma, b 為橢圓 x 2y 21 的弦 AB 中點則有11243x12y121 ，

13、 x22y221 ；兩式相減得 x12x22y12y220434343x1x2 x1x2y1y2y1 y2k AB =3a434b2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？設直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個二次方程， 使用判別式 0 ，以及根與系數(shù)的關系， 代入弦長公式，設曲線上的兩點 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，將這兩點代入曲線方程得到 12兩個式子，然后 1-2 ，整體消元······，若有兩個字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系

14、， 消去一個，比如直線過焦點，則可以利用三點 A、B、F 共線解決之。若有向量的關系，則尋找坐標之間的關系， 根與系數(shù)的關系結合消元處理。 一旦設直線為 y kx b ，就意味著 k 存在。例 1、已知三角形 ABC 的三個頂點均在橢圓 4x2 是橢圓短軸的一個端點（點 A 在 y 軸正半軸上）.5 y 280上，且點A（1）若三角形ABC 的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC 的方程;（2）若角 A 為 900 ，AD 垂直 BC 于 D ，試求點 D 的軌跡方程 .分析：第一問抓住“重心” ，利用點差法及重心坐標公式可求出中點弦 BC 的斜率，從而寫出直線 BC 的方程。第二問抓住角 A 為

15、 900 可得出 ABAC，從而得 x1 x2y1 y214( y1y2 )160 ，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點D 的軌跡方程；解：（1）設B （ x1 , y1） ,C( x2, y2 ),BC 中點為 ( x0 , y0 ),F(2,0)則有x12y121, x22y22120162016兩式作差有( x1x2 )( x1x2 ) ( y1y2 )( y1y2 )x0y0 k(1)20160504F(2,0)為三角形重心，所以由x1x22 ，得 x03 ，由 y1y240 得33y062 ，代入（ 1）得 k5直線 BC 的方程為 6x5 y2802)由 ABAC 得 x1x2y1

16、y214( y1y2 )160 （2）設直線 BC方 程 為ykx, 代入4x25280，得by(45k 2 )x 210bkx 5b2800x1x210kb， x1 x25b 2805k245k24y1y28k, y1 y24b 280k 2代入（ 2）式得5k24245k9b232b160 ，解得 b4(舍 ) 或 b445k 29y4y4直線過定點（0，4)， 設 D （ x,y ）， 則91 ， 即x9x9 y 29x 232y16 0所以所求點 D 的軌跡方程是 x 2( y16)2( 20) 2 ( y4) 。994、設而不求法例 2、如圖，已知梯形 ABCD 中 AB2 CD ，

17、點 E 分有向線段AC 所成的比為，雙曲線過 C、D、E 三點，且以 A、B 為焦點當 23 時，34求雙曲線離心率e 的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。建立直角坐標系xOy，如圖，若設 Cc ,h，代入x2y 21，求得h，2a 2b2進 而 求 得 xE, yE, 再 代 入 x2y 2 1 ， 建 立 目 標 函 數(shù)a2b 2f (a,b,c, ) 0 ，整理 f (e,) 0 ，此運算量可見是難上加難 .我們對 h 可采取設而不求的解題策略 ,建立目標函數(shù) f (a,b,c, )0 ，整理 f

18、(e, )0 ,化繁為簡 .解法一：如圖，以AB 為垂直平分線為 y 軸，直線 AB 為 x 軸，建立直角坐標系 xOy ，則 CD y 軸因為雙曲線經(jīng)過點 C、D，且以 A、 B 為焦點，由雙曲線的對稱性知 C、D 關于 y 軸對稱依題意，記 Ac,0 ，C c , h ，E x0 , y0 ，其中 c1 | AB | 為雙22曲線的半焦距，h 是梯形的高，由定比分點坐標公式得cc2 chx02，y01211設雙曲線的方程為x2y21 ，則離心率 eca2b2a由點 C、E 在雙曲線上，將點 C、E 的坐標和 ec 代入雙曲線方a程得e2h21，4b2e22h21411 b2由式得h 2e2

19、1 ，b24將式代入式，整理得e24412，4故由題設解得13e2123得，21323343e247e10所以雙曲線的離心率的取值范圍為7,10分析：考慮 AE , AC 為焦半徑 ,可用焦半徑公式 ,AE , AC 用 E, C 的橫坐標表示，回避 h 的計算 , 達到設而不求的解題策略解法二：建系同解法一，AEa exE , AC aexC ，cc2 c ，又 AE3 ，由題2，代入整理xE12121AC1e1設 23得，2133343e22 4解得7e10所以雙曲線的離心率的取值范圍為7,105、判別式法例 3 已知雙曲線 C : y2x 21，直線 l 過點 A 2,0 ，斜率為 k

20、，當 0 k 122時，雙曲線的上支上有且僅有一點B 到直線 l 的距離為 2 ，試求 k 的值及此時點 B 的坐標。分析 1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數(shù)形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B 作與 l 平行的直線，必與雙曲線C 相切 . 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構造方程的判別式0 . 由此出發(fā)，可設計如下解題思路：l : y k( x2) 0 k 1直線 l在 l 的上方且到直線l 的距離為2把直線 l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式0l ': y kx2k 222k解得 k的值解題過程略 .

21、分析 2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應當把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B 到直線 l 的距離為2 ”，相當于化歸的方程有唯一解 . 據(jù)此設計出如下解題思路：問題kx2x22k關于x 的方程20k1有唯一k 21轉化為一元二次方程根的問題求解簡解：設點 M ( x,2x2 ) 為雙曲線C 上支上任一點，則點M 到直線 l 的距離為：kx 2x 22k0 k 1k 212于是，問題即可轉化為如上關于x 的方程 .由于 0k1，所以2x 2xkx ，從而有kx2x22kkx2x22k.于是關于 x 的方程kx2x22k2( k 21)22( k2kx) 2 ,2x2(1)2k2(k 2

22、1)2kkx0k 21 x22(k 22(k 222k1)2k x1)2k2 0,2(k 21)2kkx0.由 0k1可知：方程 k 21 x 22k2(k 21)2k x2( k21)220的二根同2k正，故 2(k 21)2kkx0 恒成立，于是等價于k 21 x 22k2(k 21)2kx2( k 21)2k220 .由如上關于 x 的方程有唯一解，得其判別式0，就可解得k2 5 .5點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性 .例 4 已知橢圓 C:和點 P（4，1），過 P 作直線交橢圓于A、B 兩點，在線段 AB 上取點 Q，使，求動點 Q

23、的軌跡所在曲線的方程 .分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設法將點Q 的橫、縱坐標用參數(shù)表達，最后通過消參可達到解題的目的.由于點 Q( x, y) 的變化是由直線 AB 的變化引起的，自然可選擇直線 AB 的斜率 k 作為參數(shù)，如何將 x, y 與 k 聯(lián)系起來？一方面利用點 Q 在直線 AB 上；另一方面就是運用題目條件：來轉化 .由 A、B、P、Q 四點共線，不難得到 xxB ) 2xA xB4(x A8(x A x B )，要建立 x 與 k 的關系，只需將直線 AB 的方程

24、代入橢圓C 的方程，利用韋達定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).APAQPBQBx4(xAxB )2xA xB8(xAxB )將直線方程代入橢圓方程，消去y ，利用韋達定理xf k利用點 Q 滿足直線AB 的方程： y = k (x 4)+1，消去參數(shù)k點 Q 的軌跡方程在得到 xf k 之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于x, y 的方程（不含k），則可由 yk( x4)1 解得k y 1 ，直接代入 x f k 即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過x 4程。簡解：設A x1,y1,(，y2),(, )

25、，則由APAQ4 x1x x1 ，B x2Qx yPBQB可得：4x2 xx2解之得： x4(x1x2 ) 2x1 x2（1）8( x1x2 )設直線 AB 的方程為： yk( x4)1 ，代入橢圓 C 的方程，消去 y得出關于 x 的一元二次方程：2k 21 x24k(14k )x2(14k) 280（2）x1x4k (4k1)22,2k1x1 x22(14k)28.212k代入（1 ） ，化簡得：x4k 3.k 2(3)與 yk( x4)1 聯(lián)立，消去 k 得： 2xy4 (x4)0.在（2）中，由64k 264k240，解得 210k210 ，結合（3）44可求得 16 210x162

26、10.99故知點 Q 的軌跡方程為：2xy40（ 16210x16210 ）.99點評：由方程組實施消元 ，產(chǎn)生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到 . 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參 .，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道 .6、求根公式法例 5 設直線 l 過點 P（0，3），和橢圓 x 2y21順次交于 A、B 兩點，94試求的取值范圍 .分析：本題中，絕大多數(shù)同學不難得到：AP =xA ，但從此后卻一PBxB籌莫展 , 問題的根源在于對題目的整體把握不夠 . 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其

27、一是構造所求變量關于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關系式（或方程） ，這只需利用對應的思想實施；其二則是構造關于所求量的一個不等關系 .分析 1:從第一條想法入手，=xA 已經(jīng)是一個關系式，但由于xB有兩個變量 xA , xB ，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第 3 個變量直線AB的斜率 . 問題就轉化為如何將 xA , xB 轉化k為關于 k 的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y 得出關于 x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出 .把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程， 消去 y 得到關于 x 的一元二次方程求根公式xA= f（ k）， xB = g（

28、k）AP/PB = （ xA / x B）得到所求量關于k 的函數(shù)關系式由判別式得出k 的取值范圍所求量的取值范圍簡解 1：當直線 l 垂直于 x 軸時，可求得 AP1 ;PB5當 l 與 x軸不垂直時，設A x1, y1, B(x2， y2 ) ，直線 l 的方程為：y kx 3 ，代入橢圓方程，消去y 得 9k 24 x254kx 450解之得x1, 227k6 9k25 .9k 24因為橢圓關于 y 軸對稱，點 P 在 y 軸上，所以只需考慮 k0 的情形.當 k0 時， x127k69k 25 ， x227k 69k25 ，9k 249k24所以 APx1=9k29k 25 = 118

29、k= 118.PBx29k 2 9k 259k 2 9k259 2 952k由(54k) 2180 9k 240 , 解得 k 25 ，9所以11181 ，559292k綜上1AP1 .PB5分析 2: 如果想構造關于所求量的不等式， 則應該考慮到： 判別式往往是產(chǎn)生不等的根源 . 由判別式值的非負性可以很快確定 k 的取值范圍，于是問題轉化為如何將所求量與 k 聯(lián)系起來 . 一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于 APx1不是關于 x1 , x2 的對稱關系式 . 原因找到后，解決問題的PBx2方法自然也就有了，即我們可以構造關于x1 , x2 的對稱

30、關系式 .把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程， 消去 y得到關于x 的一元二次方程韋達定理xA+ xB = f（ k），xA xB = g（k）AP/PB = （ xA / xB）構造所求量與k 的關系式由判別式得出k 的取值范圍關于所求量的不等式簡解 2：設直線l 的方程為： ykx3 ，代入橢圓方程，消去 y 得9k 24 x 254kx 450（*）則x1x254k ,9k24x1 x245.9k 24令x1，則，12324k 2.x245k 2 20在（ *）中，由判別式0, 可得 k25 ，9136 ，解得從而有4324k 236 ，所以4245k 220551.55

31、結合 01得 11.5綜上， 1AP1 .PB5點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質法，數(shù)形結合法等等 . 本題也可從數(shù)形結合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法 .解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里 . 第三、推理訓練：數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學求解的核心。 以已知的真實數(shù)學命題， 即定義、公理、定理、性質等為依據(jù)，選擇恰當?shù)慕忸}方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程。 在推理過程中， 必須注意所使用的命題之間的相互關系（充分性、必要性、充要性等） ，做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦， 快速提高解題能力。例 6 橢圓長軸端點為 A, B ， O 為橢圓中心， F 為橢圓的右焦點，且AF FB1， OF 1（）求橢圓的標準方