高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)理二輪專題復(fù)習(xí)檢測(cè)：專題四第2講立體幾何中的向量方法 Word版含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 專題四專題四 立體幾何立體幾何 第第 2 講講 立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法 一、選擇題一、選擇題 1已知向量已知向量 a(1，0，1)，則下列向量中與則下列向量中與 a 成成 60夾角的是夾角的是( ) a(1，1，0) b(1，1，0) c(0，1，1) d(1，0，1) 解析：解析：經(jīng)檢驗(yàn)經(jīng)檢驗(yàn)，選項(xiàng)選項(xiàng) b 中向量中向量(1，1，0)與向量與向量 a(1，0，1)的夾角的余弦值為的夾角的余弦值為12，即它們的夾角為即它們的夾角為 60. 答案：答案：b 2如圖如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱 abc-a1b1

2、c1，cacc12cb，則直線則直線 bc1與直線與直線 ab1夾角的余弦值為夾角的余弦值為( ) a.55 b.53 c.2 55 d.35 解析：解析：不妨設(shè)不妨設(shè) cb1，則則 b(0，0，1)，a(2，0，0)，c1( (0，2，0)，b1(0，2，1) bc1(0，2，1)，ab1(2，2，1) cosbc1，ab1bc1ab1|bc1|ab1|0415355. 答案：答案：a 3已知正三棱柱已知正三棱柱 abc-a1b1c1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則則 ab1與側(cè)面與側(cè)面 acc1a1所成角的正弦值等于所成角的正弦值等于( ) a.64 b.104 c.22

3、d.32 解析：解析： 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為 2， o(0，0，0)，b( 3，0，0)，a(0，1，0)，b1( 3，0，2)，則則ab1( 3，1，2)，則則bo( 3，0，0)為側(cè)面為側(cè)面 acc1a1的法向量的法向量， 由由 sin |ab1bo|ab1|bo|64. 答案：答案：a 4.如圖所示如圖所示，正方體正方體 abcd-a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為 a，m、n 分別為分別為a1b 和和 ac 上的點(diǎn)上的點(diǎn)，a1man23a，則則 mn 與平面與平面 bb1c1c 的位置關(guān)的位置關(guān)系是系是( ) a垂直

4、垂直 b平行平行 c相交相交 d不能確定不能確定 解析：解析：分別以分別以 c1b1，c1d1，c1c 所在直線為所在直線為 x，y，z 軸軸，建立空間建立空間直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系，如圖所示如圖所示 a1man23a，m a，23a，a3，n 23a，23a，a ， mn a3，0，23a . 又又 c1(0，0，0)，d1(0，a，0)， c1d1(0，a，0)， mnc1d10，mnc1d1. 又又c1d1是平面是平面 bb1c1c 的法向量的法向量，且且 mn 平面平面 bb1c1c，mn平面平面 bb1c1c. 答案：答案：b 5(20 xx 江西紅色七校二模江西紅色七校二模)已知二面

5、角已知二面角 -l- 等于等于 120，a，b是棱是棱 l 上兩點(diǎn)上兩點(diǎn)，ac，bd 分別在半平面分別在半平面 ， 內(nèi)內(nèi)，acl，bdl，且且 abacbd1，則則 cd 的長(zhǎng)等于的長(zhǎng)等于( )(導(dǎo)學(xué)號(hào)導(dǎo)學(xué)號(hào) 55460126) a. 2 b. 3 c2 d. 5 解析：解析：法一：法一：依題意可知依題意可知，二面角二面角 -l- 的大小等于的大小等于ac與與bd所成所成的角的角，cdcaabbd，cd2ca2ab2bd22caab2cabd2abbd， acab，bdab，abacbd1， cd21112cabd32|ca|bd|cosca，bd32cosca，bd ， ac，bd120，c

6、a，bd60， 因此因此cd232124，|cd|2. 法二：法二：在在 內(nèi)作內(nèi)作 ae 綊 bd.連連 ce、de，易知易知cae120，cede，ce2ac2ae22acaecos 1203.在在 rtced 中中，cd2ce2ed24，cd2. 答案：答案：c 二、填空題二、填空題 6在棱長(zhǎng)為在棱長(zhǎng)為 1 的正方體的正方體 abcd-a1b1c1d1中中，m，n 分別為分別為 a1b1，bb1的中點(diǎn)的中點(diǎn)，那么直線那么直線 am 與與 cn 所成角的余弦值為所成角的余弦值為_(kāi) 解析：解析：以以 d 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以分別以 da，dc，dd1所在直線為所在直線為 x軸軸，

7、y軸軸， z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則則a(1， 0， 0)， m 1，12，1 ，c(0，1，0)，n 1，1，12. am 0，12，1 ，cn 1，0，12. 故故amcn0112011212， |am| 02 1221252， |cn| 1202 12252， cosam，cnamcn|am|cn|12525225. 答案：答案：25 7 在正方體在正方體 abcd-a1b1c1d1中中， 點(diǎn)點(diǎn) e 為為 bb1的中點(diǎn)的中點(diǎn)， 則平面則平面 a1ed與平面與平面 abcd 所成的銳二面角的余弦值為所成的銳二面角的余弦值為_(kāi) 解析：解析：以以 a

8、為原點(diǎn)為原點(diǎn)，ab，ad，aa1分別為分別為 x 軸軸，y 軸軸，z 軸建立如軸建立如圖圖所示的空間直角坐標(biāo)系所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為設(shè)棱長(zhǎng)為 1，則則 a1(0，0，1)，e 1，0，12，d(0，1，0)， a1d(0，1，1)，a1e 1，0，12，平面平面 a1ed 的法向量的法向量為為 n1(1，y，z)， 則則 yz0，112z0， y2，z2. n1(1，2，2)， 設(shè)平面設(shè)平面 abcd 的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為 n2(0，0，1)， cosn1，n223123. 故所成的銳二面角的余弦值故所成的銳二面角的余弦值為為23. 答案：答案：23 8在一直角坐標(biāo)系中在一直角

9、坐標(biāo)系中，已知已知 a(1，6)，b(3，8)，現(xiàn)沿現(xiàn)沿 x 軸將軸將坐標(biāo)平面折成坐標(biāo)平面折成 60的二面角的二面角， 則折疊后則折疊后 a、 b 兩點(diǎn)間的距離為兩點(diǎn)間的距離為_(kāi) 解析：解析：如圖為折疊后的圖形如圖為折疊后的圖形，其中作其中作 accd，bdcd， 則則 ac6，bd8，cd4， 兩異面直線兩異面直線 ac、bd 所成的角為所成的角為 60， 故由故由abaccddb， 得得|ab|2|accddb|268， |ab|2 17. 答案：答案：2 17 三、解答題三、解答題 9(20 xx 石家莊一模石家莊一模)在平面四邊形在平面四邊形 acbd(圖圖)中中，abc 與與abd

10、均為直角三角形且有公共斜邊均為直角三角形且有公共斜邊 ab，設(shè)設(shè) ab2，bad 30，bac45，將將abc 沿沿 ab 折起折起，構(gòu)成如圖構(gòu)成如圖所示的三棱錐所示的三棱錐c-abd，且使且使 cd 2. 圖圖 圖圖 (導(dǎo)學(xué)號(hào)導(dǎo)學(xué)號(hào) 55460127) (1)求證：平面求證：平面 cab平面平面 dab； (2)求二面角求二面角 a-cd-b 的余弦值的余弦值 (1)證明：證明：取取 ab 的中點(diǎn)的中點(diǎn) o，連接連接 co，do， 在在 rtacb，rtadb 中中，ab2， codo1，又又cd 2， co2do2cd2，即即 cood. 又又coab，abodo，ab，od平面平面 ab

11、d， co平面平面 abd. 又又co平面平面 abc，平面平面 cab平面平面 dab. (2)解：解：以以 o 為原點(diǎn)為原點(diǎn)，ab，oc所在直線分別為所在直線分別為 y，z 軸軸，建立如建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系圖所示的空間直角坐標(biāo)系 則則 a(0，1，0)，b(0，1，0)，c(0，0，1)，d 32，12，0 ， ac(0，1，1)， bc(0，1，1)， cd 32，12，1 . 設(shè)平面設(shè)平面 acd 的法向量為的法向量為 n1(x1，y1，z1)， 則則 n1ac，n1cd，即即 n1ac0，n1cd0， y1z10，32x112y1z10，令令 z11，則則 y11，x1 3，

12、 n1( 3，1，1) 設(shè)平面設(shè)平面 bcd 的法向量為的法向量為 n2(x2，y2，z2)， 則則 n2bc，n2cd，即即 n2bc0，n2cd0， y2z20，32x212y2z20，令令 z21，則則 y21，x233， n2 33，1，1 . cosn1，n2333（1）111311 13111573 10535， 二面角二面角 a-cd-b 的余弦值為的余弦值為10535. 10(20 xx 全國(guó)全國(guó)卷卷)如圖如圖，四棱錐四棱錐 p-abcd 中中，pa底面底面 abcd，adbc，abadac3，pabc4，m 為線段為線段 ad 上一點(diǎn)上一點(diǎn)，am2md，n 為為 pc 的中點(diǎn)

13、的中點(diǎn) (導(dǎo)學(xué)號(hào)導(dǎo)學(xué)號(hào) 55460128) (1)證明證明 mn平面平面 pab； (2)求直線求直線 an 與平面與平面 pmn 所成角的正弦值所成角的正弦值 (1)證明：證明：由已知得由已知得 am23ad2. 取取 bp 的中點(diǎn)的中點(diǎn) t，連接連接 at，tn，由由 n 為為 pc 的中點(diǎn)知的中點(diǎn)知 tnbc，tn12bc2. 又又 adbc，故故 tn 綊 am， 四邊形四邊形 amnt 為平行四邊形為平行四邊形，于是于是 mnat. at平面平面 pab，mn 平面平面 pab， mn平面平面 pab. (2)解：解：取取 bc 的中點(diǎn)的中點(diǎn) e，連接連接 ae. 由由 abac 得

14、得 aebc，從而從而 aead， 且且 ae ab2be2 ab2 bc22 5. 以以 a 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，ae的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)?x 軸正方向軸正方向，建立如圖所示的空間建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 a-xyz. 由題意知由題意知 p(0，0，4)，m(0，2，0)，c( 5，2，0)，n 52，1，2 ， pm(0，2，4)，pn 52，1，2 ，an 52，1，2 . 設(shè)設(shè) n(x，y，z)為平面為平面 pmn 的法向量的法向量，則則 n pm0，npn0， 即即 2y4z0，52xy2z0，可取可取 n(0，2，1) 于是于是|cosn，an|n an|n|an|8

15、525. 直線直線 an 與平面與平面 pmn 所成角的正弦值為所成角的正弦值為8 525. 11 (20 xx 河南洛陽(yáng)二模河南洛陽(yáng)二模)如圖如圖， 正方形正方形 adef 所在平面和等腰梯形所在平面和等腰梯形abcd 所在的平面互相垂直所在的平面互相垂直，已知已知 bc4，abad2. (導(dǎo)學(xué)導(dǎo)學(xué)號(hào)號(hào) 55460129) (1)求證：求證：acbf； (2)在線段在線段 be 上是否存在一點(diǎn)上是否存在一點(diǎn) p， 使得平面使得平面 pac平面平面 bcef？若？若存在存在，求出求出|bp|pe|的值；若不存在的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由 (1)證明：證明：平面平面 adef平面平面

16、abcd，平面平面 adef平面平面 abcdad，afad，af平面平面 adef， af平面平面 abcd. ac平面平面 abcd，afac. 過(guò)過(guò) a 作作 ahbc 于于 h，則則 bh1，ah 3，ch3， ac2 3，ab2ac2bc2，acab， abafa，ac平面平面 fab， bf平面平面 fab，acbf. (2)存在由存在由(1)知知，af，ab，ac 兩兩互相垂直以兩兩互相垂直以 a 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab，ac，af的方向分別為的方向分別為 x 軸軸，y 軸軸，z 軸正方向軸正方向，建立如圖所示的建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 a-xyz，則則 a(0，0，0)，b(2，0，0)，c(0，2 3，0)，e(1， 3，2) 假設(shè)在線段假設(shè)在線段 be 上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn) p 滿足題意滿足題意， 設(shè)設(shè)|bp|pe|(0)，則則 p 21，3 1，