【浙江】高考數(shù)學(xué)文二輪：專題4第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列專題訓(xùn)練及答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5專題四數(shù)列、推理與證明第一講等差數(shù)列與等比數(shù)列1an與sn的關(guān)系：sna1a2an，an2等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1常數(shù)(n2)常數(shù)(n2)通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：2an1anan2(n1)an為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：anpnq(p、q為常數(shù))an為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：snan2bn(a、b為常數(shù))an為等差數(shù)列(5)an為等比數(shù)列，an>0logaan為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：aan·an2(n1)(an0)an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)

2、公式法：anc·qn(c、q均是不為0的常數(shù)，nn*)an為等比數(shù)列(4)an為等差數(shù)列aan為等比數(shù)列(a>0且a1)性質(zhì)(1)若m、n、p、qn*，且mnpq，則amanapaq(2)anam(nm)d(3)sm，s2msm，s3ms2m，仍成等差數(shù)列(1)若m、n、p、qn*，且mnpq，則am·anap·aq(2)anamqnm(3)等比數(shù)列依次每n項(xiàng)和(sn0)仍成等比數(shù)列前n項(xiàng)和snna1d(1)q1，sn(2)q1，snna11 (20xx·江西)等比數(shù)列x,3x3,6x6，的第四項(xiàng)等于()a24 b0 c12 d24答案a解析由x,

3、3x3,6x6成等比數(shù)列得，(3x3)2x(6x6)解得x13或x21(不合題意，舍去)故數(shù)列的第四項(xiàng)為24.2 (20xx·福建)等差數(shù)列an中，a1a510，a47，則數(shù)列an的公差為()a1 b2 c3 d4答案b解析方法一設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得解得d2.方法二在等差數(shù)列an中，a1a52a310，a35.又a47，公差d752.3 (20xx·遼寧)下面是關(guān)于公差d0的等差數(shù)列an的四個(gè)命題：p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列an3nd是遞增數(shù)列其中的真命題為()ap1，p2 bp3，p4 cp2，p3

4、 dp1，p4答案d解析ana1(n1)d，d0，anan1d0，命題p1正確nanna1n(n1)d，nan(n1)an1a12(n1)d與0的大小和a1的取值情況有關(guān)故數(shù)列nan不一定遞增，命題p2不正確對(duì)于p3：d，當(dāng)da10，即da1時(shí)，數(shù)列遞增，但da1不一定成立，則p3不正確對(duì)于p4：設(shè)bnan3nd，則bn1bnan1an3d4d0.數(shù)列an3nd是遞增數(shù)列，p4正確綜上，正確的命題為p1，p4.4 (20xx·重慶)已知an是等差數(shù)列，a11，公差d0，sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則s8_.答案64解析因?yàn)閍1，a2，a5成等比數(shù)列，則aa1

5、83;a5，即(1d)21×(14d)，d2.所以an1(n1)×22n1，s84×(115)64.5 (20xx·江蘇)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a5，a6a73.則滿足a1a2an>a1a2an的最大正整數(shù)n的值為_答案12解析由已知條件a5，a6a73，即qq23，整理得q2q60，解得q2，或q3(舍去)ana5qn5×2n52n6，a1a2an(2n1)，a1a2an2524232n62 ，由a1a2an>a1a2an可知2n>2 1，n12.題型一等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算例1(20xx·山東)已知等差數(shù)列an

6、的前5項(xiàng)和為105，且a102a5.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)任意mn*，將數(shù)列an中不大于72m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm.求數(shù)列bm的前m項(xiàng)和sm.審題破題(1)由已知列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解得a1和d，從而求出an.(2)求出bm，再根據(jù)其特征選用求和方法解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為tn，由t5105，a102a5，得解得a17，d7.因此ana1(n1)d77(n1)7n(nn*)(2)對(duì)mn*，若an7n72m，則n72m1.因此bm72m1.所以數(shù)列bm是首項(xiàng)為7，公比為49的等比數(shù)列，故sm.反思?xì)w納關(guān)于等差(等比)數(shù)列的基本運(yùn)算，一般通過其通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和

7、公式構(gòu)造關(guān)于a1和d(或q)的方程或方程組解決，如果在求解過程中能夠靈活運(yùn)用等差(等比)數(shù)列的性質(zhì)，不僅可以快速獲解，而且有助于加深對(duì)等差(等比)數(shù)列問題的認(rèn)識(shí)變式訓(xùn)練1(20xx·浙江)在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比數(shù)列(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|a2|a3|an|.解(1)由題意得5a3·a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4.所以ann11，nn*或an4n6，nn*.(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn.因?yàn)閐<0，由(1)得d1，ann11.當(dāng)n11時(shí)，|a1|a2|a3|an|snn2n

8、.當(dāng)n12時(shí)，|a1|a2|a3|an|sn2s11n2n110.綜上所述，|a1|a2|a3|an|題型二等差(比)數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列an，前20項(xiàng)和為100，則a7·a14的最大值是()a25 b50 c100 d不存在(2)在等差數(shù)列an中，a12 013，其前n項(xiàng)和為sn，若2，則s2 013的值為()a2 011 b2 012 c2 010 d2 013審題破題(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a7a14a1a20，s20可求出a7a14，然后利用基本不等式；(2)等差數(shù)列an中，sn是其前n項(xiàng)和，則也成等差數(shù)列答案(1)a(2)d解析(1)s20

9、15;20100，a1a2010.a1a20a7a14，a7a1410.an>0，a7·a14225.當(dāng)且僅當(dāng)a7a14時(shí)取等號(hào)(2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得數(shù)列也是等差數(shù)列，根據(jù)已知可得這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)a12 013，公差d1，故2 013(2 0131)×11，所以s2 0132 013.反思?xì)w納等差數(shù)列和等比數(shù)列的項(xiàng)，前n項(xiàng)和都有一些類似的性質(zhì)，充分利用性質(zhì)可簡(jiǎn)化解題過程變式訓(xùn)練2(1)數(shù)列an是等差數(shù)列，若<1，且它的前n項(xiàng)和sn有最大值，那么當(dāng)sn取得最小正值時(shí)，n等于()a11 b17 c19 d21答案c解析an的前n項(xiàng)和sn有最大值，數(shù)列為遞減數(shù)列又

10、<1，a10>0，a11<0，得a10a11<0.而s1919·a10>0，s2010(a10a11)<0.故當(dāng)n19時(shí)，sn取得最小正值(2)公比為2的等比數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a1116，則log2a10等于()a4 b5 c6 d7答案b解析a3·a1116，a16.又等比數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，a74.又a10a7q34×2325，log2a105.題型三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn滿足條件2sn3(an1)，其中nn*.(1)證明：數(shù)列an為等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足bnlog

11、3an，若cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和審題破題(1)利用ansnsn1求出an與an1之間的關(guān)系，進(jìn)而用定義證明數(shù)列an為等比數(shù)列(2)由(1)的結(jié)論得出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，求出cn的表達(dá)式，再利用錯(cuò)位相減法求和(1)證明由題意得ansnsn1(anan1)(n2)，an3an1，3(n2)，又s1(a11)a1，解得a13，數(shù)列an為首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列(2)解由(1)得an3n，則bnlog3anlog33nn，cnanbnn·3n，設(shè)tn1·312·323·33(n1)·3n1n·3n，3tn1·322&

12、#183;333·34(n1)·3nn·3n1.2tn3132333nn·3n1n·3n1，tn.反思?xì)w納等差、等比數(shù)列的判斷與證明方法是由已知條件求出an或得到an1與an的遞推關(guān)系，再確認(rèn)an1and(nn*，d為常數(shù))或q(nn*，q為非零常數(shù))是否對(duì)一切正整數(shù)均成立變式訓(xùn)練3已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d>0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)(1)求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn對(duì)nn*，均有an1成立，求c1c2c2 013.解(1)a21d，a514d，a14113d，d&

13、gt;0，(14d)2(1d)(113d)，解得d2.則an1(n1)×22n1.又b2a23，b3a59，等比數(shù)列bn的公比q3.bnb2qn23×3n23n1.(2)由an1，得當(dāng)n2時(shí)，an，兩式相減，得an1an2，cn2bn2×3n1 (n2)而當(dāng)n1時(shí)，a2，c1c2c2 01332×312×322×32 01233332 01332 013.典例(14分)已知數(shù)列a1，a2，a30，其中a1，a2，a10是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；a10，a11，a20是公差為d的等差數(shù)列；a20，a21，a30是公差為

14、d2的等差數(shù)列(d0)(1)若a2040，求d；(2)試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式，并求a30的取值范圍；(3)續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30，a31，a40是公差為d3的等差數(shù)列，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列提出同(2)類似的問題(2)應(yīng)當(dāng)作為特例)，并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？規(guī)范解答解(1)由題意可得a1010，a201010d40，d3.3分(2)a30a2010d210(1dd2)10(d0)5分當(dāng)d(，0)(0，)時(shí)，a307.5，)7分(3)所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列an，其中a1，a2，a10是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)n1時(shí)，數(shù)列a10n，a10n1，a10(n1)是

15、公差為dn的等差數(shù)列9分研究的問題可以是：試寫出a10(n1)關(guān)于d的關(guān)系式，并求出a10(n1)的取值范圍研究的結(jié)論可以是：由a40a3010d310(1dd2d3)，11分依次類推可得a10(n1)10(1ddn)13分當(dāng)d>0時(shí)，a10(n1)的取值范圍為(10，)14分評(píng)分細(xì)則(1)列出關(guān)于d的方程給1分；(2)求a30的范圍時(shí)沒有注明d0扣1分閱卷老師提醒本題從具體數(shù)列入手，先確定d，然后利用函數(shù)思想求a30的范圍，最后通過觀察尋求一般規(guī)律，將結(jié)論進(jìn)行推廣，要求熟練掌握數(shù)列的基本知識(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)列性質(zhì)1 已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a3·a74a，a22，則a1等

16、于()a1 b. c2 d.答案a解析設(shè)數(shù)列an的公比為q(q>0)，由a2>0，知a4>0，a5>0，由于a3·a7a，所以a4a，從而a52a4，q2，故a11.2 已知an為等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，以sn表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則使得sn取得最大值的n是()a21 b20 c19 d18答案b解析設(shè)數(shù)列an的公差是d，則a2a4a6(a1a3a5)3d991056，即d2.又3a3105，所以a335.所以ana3(n3)d412n.令an>0得n<20.5，即數(shù)列an的前20項(xiàng)均為正，自第21項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)，因此

17、使得sn達(dá)到最大值的n為20.3 首項(xiàng)為24的等差數(shù)列an從第10項(xiàng)開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是()a.d<3 b.<d<3c.<d3 d.d3答案c解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知得即所以d的取值范圍是<d3.4 (20xx·遼寧)已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，sn是an的前n項(xiàng)和若a1，a3是方程x25x40的兩個(gè)根，則s6_.答案63解析a1，a3是方程x25x40的兩根，且q1，a11，a34，則公比q2，因此s663.5 (20xx·浙江)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若s23a22，s43a42，則

18、q_.答案解析方法一s4s2a3a43a22a3a43a42，將a3a2q，a4a2q2代入得，3a22a2qa2q23a2q22，化簡(jiǎn)得2q2q30，解得q(q1不合題意，舍去)方法二設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，由s23a22，得a1(1q)3a1q2.由s43a42，得a1(1q)(1q2)3a1q32.由得a1q2(1q)3a1q(q21)q>0，q.6 (20xx·安徽)如圖，互不相同的點(diǎn)a1，a2，an，和b1，b2，bn分別在角o的兩條邊上，所有anbn相互平行，且所有梯形anbnbn1an1的面積均相等設(shè)oanan，若a11，a22，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_答案a

19、n解析由已知s梯形anbnbn1an1s梯形an1bn1bn2an2，sobn1an1sobnansobn2an2sobn1an1，即sobnansobn2an22sobn1an1由相似三角形面積比是相似比的平方知oaoa2oa，即aa2a，因此a為等差數(shù)列且aa3(n1)3n2，故an.專題限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練一、選擇題1 (20xx·課標(biāo)全國)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，已知s3a210a1，a59，則a1等于()a. b c. d答案c解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由s3a210a1得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1.2 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)

20、和為sn，若2s4s5s6，則數(shù)列an的公比q的值為()a2或1 b1或2c2 d1答案c解析方法一若q1，則s44a1，s55a1，s66a1，顯然不滿足2s4s5s6，故a、d錯(cuò)若q1，則s4s60，s5a50，不滿足條件，故b錯(cuò)，因此選c.方法二經(jīng)檢驗(yàn)q1不適合，則由2s4s5s6，得2(1q4)1q51q6，化簡(jiǎn)得q2q20，q1(舍去)，q2.3 已知an為等差數(shù)列，a2a8，則s9等于()a4 b5 c6 d7答案c解析an為等差數(shù)列，a2a8a1a9，s96.4 一個(gè)由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列，它的前6項(xiàng)和是前3項(xiàng)和的9倍，則此數(shù)列的公比為()a2 b3 c. d.答案a解析等比數(shù)列中

21、，s69s3，s6s38s3，q38，q2.5 已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為an和bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()a2 b3 c4 d5答案d解析由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，可得7 (nn*)，故n1,2,3,5,11時(shí)，為整數(shù)6 已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，sn為an的前n項(xiàng)和，nn*，則s10的值為()a110 b90c90 d110答案d解析a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，(a112)2(a14)·(a116)，解得a120.s1010×20&

22、#215;10×9×(2)110.7 已知數(shù)列an滿足1log3anlog3an1(nn)，且a2a4a69，則log(a5a7a9)的值是()a. b c5 d5答案d解析由1log3anlog3an1得3，an為等比數(shù)列，公比為3.a5a7a927(a2a4a6)27×935，log(a5a7a9)log355.8 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且滿足s15>0，s16<0，則，中最大的項(xiàng)為()a. b. c. d.答案d解析由s1515a8>0，得a8>0.由s16<0，得a9a8<0，所以a9<0，且d<0

23、.所以數(shù)列an為遞減數(shù)列所以a1，a8為正，a9，an為負(fù)，且s1，s2，s15>0，s16，s17，sn<0，則<0，<0，>0.又s8>s7>s6>0，a6>a7>a8>0.>>，故最大二、填空題9 (20xx·課標(biāo)全國)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和snan，則an的通項(xiàng)公式是an_.答案(2)n1解析當(dāng)n1時(shí)，a11；當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1anan1，故2，故an(2)n1.10(20xx·課標(biāo)全國)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，已知s100，s1525，則nsn的最小值為_答案49解析由題意知a1a100，a1a15.兩式相減得a15a105d，d，a13.nsnn·f(n)，f(n)n(3n20)令f(n)0得n0(舍)或n.當(dāng)n>時(shí)，f(n)是單調(diào)遞增的；當(dāng)0<n<時(shí)，f(n)是單調(diào)遞減的故當(dāng)n7時(shí)，f(n)取最小值，f(n)min49.nsn的最小值為49.11設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若a111，a4a66，則當(dāng)sn取最小值時(shí)，n_.答案6解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由a4a66得2a56，a53.又a111，3114d，d2，sn11n×2n212n(n6)236，故當(dāng)n6時(shí)sn取最小值12在數(shù)列an中，如果對(duì)任意n