最新新課標高考數(shù)學總復(fù)習：考點17推理與證明含解析

1、 考點17 推理與證明 1.（20xx·山東高考文科·）觀察，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導函數(shù)，則=（ ）（a） (b) (c) (d)【命題立意】本題考查歸納推理的有關(guān)知識，考查了考生的觀察問題，分析問題，解決問題的能力.【思路點撥】觀察所給的結(jié)論，通過歸納類比聯(lián)想，得出結(jié)論.【規(guī)范解答】選d通過觀察所給的結(jié)論可知，若是偶函數(shù)，則其導函數(shù)是奇函數(shù)，故選d2.（20xx·陜西高考理科·）觀察下列等式：,根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為 _.【命題立意】本題考查歸納推理，屬送分題【思路點撥】找出等式兩邊底數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵【規(guī)范解答】由所給等

2、式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關(guān)系如下：即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)，故第五個等式為：【答案】 3.（20xx·福建高考文科·）觀察下列等式：可以推測，m n + p = .【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對系數(shù)進行猜測求解【思路點撥】根據(jù)歸納推理可得 【規(guī)范解答】觀察得：式子中所有項的系數(shù)和為1，又， 【答案】9624.（20xx·浙江高考理科·14）設(shè)，將的最小值記為，則其中=_ .【命題立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關(guān)知識，熟練掌握相關(guān)的推理規(guī)則是關(guān)鍵【思路點撥】觀察的奇數(shù)項與偶數(shù)項的特點【規(guī)范解答】觀察表達式的特點可以看

3、出，當為偶數(shù)時，；，當為奇數(shù)時，【答案】5.（20xx·北京高考文科·20）已知集合，對于，定義a與b的差為，a與b之間的距離為.（1）當n=5時，設(shè)，求，.（2）證明：，且.（3） 證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù).【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學生運用新知識的能力.本題情景是全新的，對學生的“學習能力”提出了較高要求.要求教師真正重視學生的探究性學習，更加注重學生“學習能力”“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)【思路點撥】（1）（2）直接按定義求解證明即可.(3) “至少”問題可采用反證法證明【規(guī)范解答】（1）（1,0,1,0,1），3.(2)設(shè)，所以中1的個數(shù)為k,中1的個數(shù)為，設(shè)是

4、使成立的的個數(shù)，則，由此可知，三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，即三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù) 6.（20xx·北京高考理科·20）已知集合，對于，定義a與b的差為 a與b之間的距離為.（1）證明：，且.（2）證明：三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù).(3) 設(shè)p，p中有m(m2)個元素，記p中所有兩元素間距離的平均值為(p). 證明：（p）.【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學生運用新知識的能力，考查了反證法、不等式證明等知識本題情景是全新的，對學生的“學習能力”提出了較高要求要求教師真正重視學生的探究性學習，更加注重學生“學習能力”“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)【思路點撥】（1）直接按定義證明即可（2）“至

5、少”問題可采用反證法證明(3)把表示出來，再利用基本不等式證明【規(guī)范解答】（1）設(shè)， 因為，所以 ， 從而， 又,由題意知，.當時，; 當時，,所以.(2)設(shè)，, ，. 記，由（1）可知, ， , , 所以中1的個數(shù)為，中1的個數(shù)為 設(shè)是使成立的的個數(shù)，則, 由此可知，三個數(shù)不可能都是奇數(shù)， 即,三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)（3）,其中表示中所有兩個元素間距離的總和，設(shè)中所有元素的第個位置的數(shù)字中共有個1，個0,則,由于,所以,從而.【方法技巧】（1）證明“至少有一個”時，一般采用反證法（2）證明不等式時要多觀察形式，適當變形轉(zhuǎn)化為基本不等式7.（20xx·江蘇高考·23）已知

6、abc的三邊長都是有理數(shù)，求證：cosa是有理數(shù).（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosna是有理數(shù).【命題立意】本題主要考查余弦定理、數(shù)學歸納法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力.【思路點撥】（1）利用余弦定理表示cosa，由三邊是有理數(shù)，求得結(jié)論.（2）可利用數(shù)學歸納法證明.【規(guī)范解答】方法一：（1）設(shè)三邊長分別為，是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法具有封閉性，必為有理數(shù)，cosa是有理數(shù).（2）當時，顯然cosa是有理數(shù)；當時，因為cosa是有理數(shù)， 也是有理數(shù).假設(shè)當時，結(jié)論成立，即coska、均是有理數(shù)，當時，解得：，cosa，均是有理數(shù)，是有理數(shù)，是有理數(shù)，即當時，結(jié)論成立.綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosna是有理數(shù).方法二：（1）由ab，bc，ac為有理數(shù)及余弦定理知，是有理數(shù).（2）用數(shù)學歸納法證明