《完全平方公式》典型例題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載完全平方公式典型例題例 1利用完全平方公式計(jì)算：（1）(23x)2 ；（ 2） (2ab4a)2 ；（3） (1am 2b)2 2例2計(jì)算：（1） (3a1)2 ；（ 2） ( 2x3y)2 ；（3） ( 3xy)2 例 3用完全平方公式計(jì)算：（1）22；（ ）2；（ ）4b 5c)2( 3yx)2( ab)3 (3a3例 4運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1） ( xa)( x a)( x2a2 ) ；（ 2） (ab c)(a b c) ；（3） ( x1)2 (x 1)2 (x21)2 例 5計(jì)算：（1） ( 1 x 3) 21 x2 ；（2） (2a b1)( 2a b1) ；（3

2、） ( x y) 2( x y)2 2422例 6 利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算： （1） 2012 ；（ 2） 992 ；（ 3） (30 1)2 3例 7已知 ab 3, ab12，求下列各式的值（1）a2b2；（ ）a2abb2；（ ）(a b)223例 8若 3( a2b2c2 )( abc)2 ，求證： abc學(xué)習(xí)必備歡迎下載參考答案例 1 分析：這幾個(gè)題都符合完全平方公式的特征，可以直接應(yīng)用該公式進(jìn)行計(jì)算解：（1） (2 3x)222223x(3x)24 12x 9x2 ；（2） ( 2ab 4a) 2( 2ab)222ab4a(4a) 24a2b216a2b 16a2 ；（3） (1

3、am 2b)21a2m22amb4b2 24說(shuō)明：（1）必須注意觀察式子的特征，必須符合完全平方公式，才能應(yīng)用該公式；（ 2）在進(jìn)行兩數(shù)和或兩數(shù)差的平方時(shí)，應(yīng)注意將兩數(shù)分別平方，避免出現(xiàn)(2 3x)24 12 x 3x2 的錯(cuò)誤例 2分析：（2）題可看成 (2x)3y 2 ，也可看成 (3 y2x)2 ；（ 3）題可看成 (3xy)2 ，也可以看成 (3x)y 2 ，變形后都符合完全平方公式解：（1） (3a 1) 2(3a) 22 3a 1129a26a1（2）原式(2x) 22(2x) 3y (3y)24x212xy9 y2或原式 (3 y2x) 2(3 y)22 3 y 2x (2x)

4、29 y212xy4x2（3）原式(3xy)2(3xy) 2(3x) 22 3xyy29x26xyy 2或原式 (3x) 22( 3x)yy2學(xué)習(xí)必備歡迎下載9x26xyy 2說(shuō)明：把題目變形為符合公式標(biāo)準(zhǔn)的形式有多種方式，做題時(shí)要靈活運(yùn)用例 3分析：第（ 1）小題，直接運(yùn)用完全平方公式2 x 為公式中 a， 3y 為公3式中 b，利用差的平方計(jì)算；第（2）小題應(yīng)把 (a b)2 化為 (ab)2 再利用和的平方計(jì)算；第（ 3）小題，可把任意兩項(xiàng)看作公式中a，如把 (3a4b) 作為公式中的 a， 5c作為公式中的 b，再兩次運(yùn)用完全平方公式計(jì)算解：（1） ( 3y2 x)2 = ( 2 x3

5、y) 24 x24xy9y 2339（2） ( ab)2 = (ab)2a22abb2（3） (3a4b 5c)2(3a4b) 2 10c(3a 4b) 25c 2= 9a230ac40bc25c216b224ab說(shuō)明： 運(yùn)用完全平方公式計(jì)算要防止出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：( ab) 2a 2b2 ，(a b) 2a2b2 例 4 分析：第（ 1）小題先用平方差公式計(jì)算前兩個(gè)因式的積，再利用完全平方式計(jì)算第（ 2）小題，根據(jù)題目特點(diǎn)，兩式中都有完全相同的項(xiàng) a c ，和互為相反數(shù)的項(xiàng)b，所以先利用平方差公式計(jì)算( ac)b 與 ( ac)b 的積，再利用完全平方公式計(jì)算(ac)2 ；第三小題先需要利用冪的

6、性質(zhì)把原式化為( x 10( x 1)( x2 1) 2 ，再利用乘法公式計(jì)算解：（1）原式 = ( x2a2 )( x2a2 )(x2a2 ) 2x42a2 x2a4（2）原式 =( ac)b( ac)b(ac) 2b2= a22acc 2b2（3）原式 =( x1)(x1)( x21) 2( x 21)( x21) 2=( x4 1)2x82x41說(shuō)明：計(jì)算本題時(shí)先觀察題目特點(diǎn)， 靈活運(yùn)用所學(xué)過(guò)的乘法公式和冪的性質(zhì)，學(xué)習(xí)必備歡迎下載以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的例 5 分析：（ 1）和（3）首先我們都可以用完全平方公式展開(kāi)，然后合并同類項(xiàng)；第（ 2）題可以先根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，然后如果還可以應(yīng)用

7、公式，我們繼續(xù)應(yīng)用公式解：（1）1 x3)21 x21 x2x91 x293x ；(44342（2） ( 2ab1)(2ab1 )( 2a b)1( 2ab)12222(2ab) 214a 24ab b2 1 ；44() 2(x y)2x22xy y2(x22xy y2 )（3）x yx22xyy 2x22xyy 24xy 說(shuō)明：當(dāng)相乘的多項(xiàng)式是兩個(gè)三項(xiàng)式時(shí)，在觀察時(shí)應(yīng)把其中的兩項(xiàng)看成一個(gè)整體來(lái)研究例 6 分析：在利用完全平方公式求一個(gè)數(shù)的平方時(shí)，一定要把原有數(shù)拆成兩個(gè)數(shù)的和或差解：（1）2012(2001)2200222001 40401 ；（2） 992(1001) 2100221001

8、9801 （3） (301)2 (301) 23022301(1)233339002011 .99 2 02說(shuō)明：在利用完全平方公式，進(jìn)行數(shù)的平方的簡(jiǎn)算時(shí)，應(yīng)注意拆成的兩個(gè)數(shù)必須是便于計(jì)算的兩個(gè)數(shù)，這才能達(dá)到簡(jiǎn)算的目的例 7分 析 ：（ 1 ） 由 完 全 平 方 公 式 (ab) 2a22ab b2 ， 可 知a2b2(ab)22ab ，可求得 a2b233；（2） a2abb2a2b2ab33( 12)45 ；（3） ( a b) 2a22abb2332( 12)57 解：（1） a2b2(a b) 22ab322(12)92433（2） a 2abb2( a2b2 ) ab33(12)331245學(xué)習(xí)必備歡迎下載（3） ( ab)2a22abb2(a2b2 )2ab332(12)332457說(shuō) 明 ： 該 題 是 (ab)2a22ab b2 是 靈 活 運(yùn) 用 ， 變 形 為a2b2( ab) 22ab ，再進(jìn)行代換例 8分析：由已知條件展開(kāi)，若能得出 (ab) 2(bc) 2(c a)20, 就可得到 ab0,bc0, ca0, 進(jìn)而 ab, bcca abc, 同時(shí)此題還用到公式 (abc)2a2b2c22ab2ac2bc 證明：由 3(a2b2c2 )(abc)2 , 得3a23b23c2a 2b