簡支梁的相關(guān)計算

1、首頁教學(xué)隊伍教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法實踐教學(xué)教學(xué)效果教科研成果課程特色第十章    彎曲梁的設(shè)計第一節(jié)              梁平面彎曲的概念和彎曲內(nèi)力一、彎曲的概念工程實際中，存在大量的受彎曲桿件，如火車輪軸，橋式起重機大梁。如圖10.1.1，圖10.1.2所示，這類桿件受力的共同特點是外力（橫向力）與桿軸線相垂直，變形時桿軸線由直線變成曲線，這種變形稱為彎曲變形。以彎曲變形為主的桿件稱為梁。     

2、60;                    圖10.1.1 火車輪軸              圖10.1.2 起重機大梁 工程中常見的梁，其橫截面通常都有一個縱向?qū)ΨQ軸，該對稱軸與梁的軸線組成梁縱向?qū)ΨQ面。如圖10.1.3所示。     

3、0;                          圖10.1.3 梁的縱向?qū)ΨQ 如果梁上所有的外力都作用于梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，則變形后的軸線將在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)變成一條平面曲線。這種彎曲稱為平面彎曲。平面彎曲是彎曲問題中最基本、最常見的，所以，這里只討論平面彎曲問題。 二、梁的計算簡圖及基本形式梁上的荷載和支承情況比較復(fù)雜，為便與分析和計算，在

4、保證足夠精度的前提下，需要對梁進行力學(xué)簡化。 (一)、梁的簡化 為了繪圖的方便，首先對梁本身進行簡化，通常用梁的軸線來代替實際的梁。 （二）、荷載分類作用在梁上的載荷通?？梢院喕癁橐韵氯N類型： 1 、集中荷載   當(dāng)載荷的作用范圍和梁的長度相比較是很小時，可以簡化為作用于一點的力，稱為集中荷載或集中力。如車刀所受的切削力便可視為集中力P，如圖10.1.4（a）所示，其單位為牛（N）或千牛（kN）。2 、集中力偶   當(dāng)梁的某一小段內(nèi)（其長度遠遠小于梁的長度）受到力偶的作用，可簡化為作用在某一截面上的力偶，稱為集中力偶。如圖10.1.4（b）所

5、示。它的單位為牛·米 （N·m）或千牛·米（kN·m）。 3 、均布載荷   沿梁的長度均勻分布的載荷，稱為均布載荷。分布載荷的大小用載荷集度 q 表示，均布集度 q 為常數(shù)。如圖10.1.4（c）所示。其單位為牛米（ N m ）或千牛米（ k m ）。（三）、梁的基本形式 按照支座對梁的約束情況，通常將支座簡化為以下三種形式：固定鉸鏈支座、活動鉸鏈支座和固定端支座。這三種支座的約束情況和支反力已在靜力學(xué)中討論過，這里不再重復(fù)。根據(jù)梁的支承情況，一般可把梁簡化為以下三種基本形式。 1 、簡支梁  梁的一端為固定鉸鏈支座，另一

6、端為活動餃鏈支座的梁稱為簡支梁。如圖10.1.5（a）。 2 、外伸梁  外伸梁的支座與簡支梁一樣，不同點是梁的一端或兩端伸出支座以外，所以稱為外伸梁。如圖10.1.5（b） 3 、懸臂梁  一端固定，另一端自由的梁稱為懸臂梁。如圖10.1.5（c）                              

7、     圖10.1.4 載荷類                   圖10.1.5 梁的類以上三種梁的未知約束反力最多只有三個，應(yīng)用靜力平衡條件就可以確定這三種形式梁的內(nèi)力。三、 梁彎曲時的內(nèi)力剪力和彎矩計算作用于梁上的外力以及支承對梁的約束力都是梁的外載荷。支承對梁所產(chǎn)生的約束反力一般都由靜力平衡條件求得。在外載荷的作用下，梁要產(chǎn)生彎曲變形，梁的各橫截面內(nèi)就必定存在相應(yīng)的內(nèi)

8、力。求解梁橫截面上內(nèi)力的方法是截面法。     圖10.1.6 截面法求梁的內(nèi)如圖10.1.6所示的簡支梁，受集中力和作用。為了求出距A端支座為x處橫截面m-m上的內(nèi)力，首先按靜力學(xué)中的平衡方程求出支座反力RA、RB。然后用截面法沿m-m截面假想地把梁截開，并以左邊部分為研究對象（圖10.1.6(b)）。因為原來梁處于平衡狀態(tài)，故左段梁在外力及截面處內(nèi)力的共同作用下也應(yīng)保持平衡。截面m-m上必有一個與截面相切的內(nèi)力Q來代替右邊部分對左邊部分沿截面切線方向移動趨勢所起的約束作用；又因為RA與P1對截面形心的力矩一般不能相互抵消，為保持這部分不發(fā)生轉(zhuǎn)動，在橫截面m-m上必有一個

9、位于載荷平面的內(nèi)力偶，其力矩為M，來代替右邊部分對左邊部分轉(zhuǎn)動趨勢所起的約束作用。由此可見，梁彎曲時，橫截面上一般存在兩個內(nèi)力因素，其中Q稱為剪力，M稱為彎矩。剪力和彎矩的大小可由左段梁的平衡方程確定。 由 Fy = 0   得                  由 MC = 0   得         &#

10、160;         式中，C 為橫截面的形心。  若取右段梁研究，根據(jù)作用力與反作用力定律，在m-m截面上也必然有剪力 和彎矩，并且它們分別與 Q 和 M 數(shù)值相等、方向相反。剪力和彎矩的正負按梁的變形來確定。凡使所取梁段具有作順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為正，反之為負。如圖10.1.7所示。凡使梁段產(chǎn)生上凹下凸彎曲變形的彎矩為正，反之為負。如圖10.1.8所示。             

11、  圖10.1.7 剪力的符                     圖10.1.8 彎矩的綜上所述，可得求剪力、彎矩大小和方向的規(guī)則：對于剪力：梁內(nèi)任一橫截面上的剪力等于該截面一側(cè)梁上所有橫向外力的代數(shù)和；正負號由“外力左上右下，產(chǎn)生的剪力為正”確定。對于彎矩：梁內(nèi)任一橫截面上的彎矩等于該截面一側(cè)梁上所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和。正負號由“外力矩左順右逆，產(chǎn)生的彎矩為正”確定。利用上

12、述規(guī)則，可以直接根據(jù)截面左側(cè)或右側(cè)梁上的外力求出指定截面的剪力和彎矩。例10.1.1  簡支梁受集中力，力偶，均布載荷，如圖10.1.9所示，試求-和-截面上的剪力和彎矩。                                    圖10.1.9 簡支梁 解：（1）求

13、支座反力。      即 可得        即可得       （2）計算剪力和彎矩（應(yīng)取簡單的一側(cè)為研究對象）。-                -      例10.1.2   圖10.1.10（a）是薄板軋機的示

14、意圖。下軋輥尺寸表示在圖10.1.10（b）中軋制力約為,并假定均勻分布在軋輥的CD的范圍內(nèi)。試求軋輥中央截面上的彎矩及截面C的剪力。                                        

15、60;          圖10.1.10 剪板機電解： 軋輥可簡化為如圖10.1.10（c）所示形式。軋制力均勻分布于長度為0.8m的范圍內(nèi)，故軋制力的載荷集度為由于梁上的載荷與約束反力對跨度中點是對稱的，所以容易求出兩段的約束反力為       以截面C左側(cè)為研究對象，求得該截面上的剪力為        在跨度中點截面左側(cè)的外力為和一部分均布載荷。以中點截面左側(cè)為

16、研究對象，求得彎矩為                     四、剪力圖和彎矩圖在一般情況下，剪力和彎矩是隨著截面的位置不同而變化的。如果取梁的軸線為x軸，以坐標(biāo)x表示橫截面的位置，則剪力和彎矩可表示為x的函數(shù)，即              上述兩函數(shù)表達了剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，故

17、分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。為了能一目了然地看出梁各截面上的剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況，在設(shè)計計算中常把各截面上的剪力和彎矩用圖形表示。即取一平行于梁軸線的橫坐標(biāo)x來表示橫截面的位置，以縱坐標(biāo)表示各對應(yīng)橫截面上的剪力和彎矩，畫出剪力和彎矩與x的函數(shù)曲線。這樣得出的圖形叫做梁的剪力圖和彎矩圖。利用剪力圖和彎矩圖，很容易確定梁的最大剪力和最大彎矩，以及梁的危險截面的位置。所以畫剪力圖和彎矩圖往往是梁的強度和剛度計算中的重要步驟。剪力圖和彎矩圖的畫法是首先求出梁的支座反力，然后以力和力偶的作用點為分界點，將梁分為幾段，分段列出剪力和彎矩方程。取橫坐標(biāo)x表示截面的位置；縱坐標(biāo)表示各截面的剪力和彎

18、矩，按方程繪圖。下面通過分析例題說明剪力圖和彎矩圖的繪制方法及步驟例10.1.3   如圖10.1.11（a）所示起重機橫梁長，起吊重量為P。不計梁的自重，試繪制圖示位置橫梁的剪力圖和彎矩圖，并指出最大剪力和最大彎矩所在的截面位置。 圖10.1.11 簡支梁受集中力解  （1）繪制橫梁的計算簡圖   根據(jù)橫梁兩端A、B輪的實際支承情況，將其簡化為簡支梁（圖10.1.11（a）。起吊重量為P可簡化為作用于沿橫梁行走的小車兩輪中點所對應(yīng)的梁的梁截面C處的集中力。（2）計算A、B兩端的支座的約束反力   根據(jù)靜力平衡方程得

19、0;              ，  （3）建立剪力方程和彎矩方程   由于截面C有集中力p作用，梁AC端和BC段上任意截面左段研究對象的平衡方程不同，故應(yīng)分別建立兩段的剪力方程和彎矩方程。設(shè)AC段和BC段的任一截面位置分別用x表示 （圖10.1.11（a），并以左段為研究對象計算剪力和彎矩，則方程為AC段，             ， 

20、       BC段                  ，                          ，   &

21、#160;   （4）繪制剪力圖和彎矩圖   由AC段和BC段剪力方程可知，兩段的剪力分別為一正一負的常數(shù)，故剪力圖是分別位于x軸上方和下方的兩條平行線（圖10.1.11(b)）。由兩段的彎矩方程可知，彎矩圖為兩條斜直線，由邊界條件可得出斜直線上兩點的坐標(biāo)值：AC段     ， ；， BC段     ， ；，于是便得到如圖10.1.11(c)所示的橫梁的彎矩圖。（5）確定剪力和彎矩的最大值  由圖10.1.11c，結(jié)合剪力方程，可以看出，當(dāng)時，BC段各截面的剪力值最

22、大；當(dāng)時，AC段各截面的剪力值最大。小車行駛時，力P作用點的坐標(biāo)發(fā)生變化，最大剪力值也隨之發(fā)生變化。小車接近支座B點或A點時，剪力達到最大值。由圖10.1.11c，結(jié)合彎矩方程，可以分析得出，集中力F作用的C點所在截面處有最大彎矩。當(dāng)小車位于梁的中點時，即處，因乘積ab最大，所以最大彎矩值也最大，為                       例10.1.4 

23、0; 如圖10.1.12（a）所示簡支梁，在全梁上受集度q的均布載荷。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）求支座反力。      由及得                2）列剪力方程和彎矩方程。   取A為坐標(biāo)軸原點，并在截面x處切開取左段為研究對象，如圖10.1.12（b）所示，則    (10.1.1)        

24、;                                            圖10.1.12 簡支梁受均布    &

25、#160;    (10.1.2) 3）畫剪力圖。 式（10.1.1）表明，剪力FS是x的一次函數(shù)，所以剪力圖是一條斜直線                   4）畫彎矩圖。 式（10.1.2）表明，彎矩M是x的二次函數(shù)，彎矩圖是一條拋物線。由方程 既曲線頂點為（），開口向下，可按下列對應(yīng)值確定幾點。x0M00   剪力圖與彎矩圖分別如圖

26、10.1.12（c）、(d)所示。由圖可知，剪力最大值 在兩支座A、B內(nèi)側(cè)的橫截面上，。彎矩的最大值在梁的中點，。例10.1.5    如圖10.1.13（a）所示簡支梁，在C點處受大小為Me的集中力偶作用。試作其剪力圖和彎矩圖。 解：1）求支反力。得：         圖10.1.13 簡支梁受集中力偶2）列出剪力方程和彎矩方程。因C點處有集中力偶，故彎矩需分段考慮。AC段   BC段   3）畫剪力圖。由剪力方程知，剪力為常數(shù)，故是一水平直線

27、，如圖10.1.13（b）所示。4）畫彎矩圖。由彎矩方程知，C截面左右段均為斜直線。AC段 BC段 彎矩圖如圖10.1.13（c）所示。如,則最大彎矩發(fā)生在集中力偶作用處右側(cè)橫截面上，。分析以上幾例即可得出剪力圖和彎矩圖規(guī)律：1梁上沒有分布載荷時，剪力圖為一水平線，彎矩圖為一斜直線。斜率為對應(yīng)的剪力圖的值，剪力為正時，彎矩圖向上傾斜（/）；剪力為負時，彎矩圖向下傾斜（）。2集中力F作用的截平面上，剪力圖發(fā)生突變，突變的方向與集中力的作用方向一致；突變幅度等于外力大小，彎矩圖在此面上出現(xiàn)一個尖角。3梁上有均布載荷作用時，其對應(yīng)區(qū)間的剪力圖為斜直線，均布載荷向下時，直線由左上向右下傾斜(

28、)，斜線的斜率等于均布載荷的載荷集度q。對應(yīng)的彎矩圖為拋物線，剪力圖下斜（）,彎矩圖上凸（），反之則相反。剪力圖的點其彎矩值最大，拋物線部分的最大值等于拋物線起點至最大值點對應(yīng)的剪力圖形的面積，如圖10.1.12（d）所示，。4集中力偶Me作用的截面上，剪力圖不變，彎矩圖出現(xiàn)突變。Me逆時針時，彎矩圖由上向下突變，Me順時針時，彎矩圖由下向上突變。 前面總結(jié)了集中力、集中力偶和均布力作用時，剪力圖和彎矩圖的做圖規(guī)律,下面我們根據(jù)這些規(guī)律快速而準(zhǔn)確地做出梁的剪力圖和彎矩圖。例10.1.6  簡支梁受的集中力作用（圖10.1.14（a）。已知約束反力，其他尺寸如圖所示。試繪出該

29、梁的剪力圖和彎矩圖.。圖10.1.14  解：（1）繪剪力圖。剪力圖從零開始,一般自左向右,逐段畫出。根據(jù)規(guī)律可知，因A點有集中力故在A點剪力圖突變，由零向上突變2.5kN，從A點右側(cè)到C點左側(cè)，兩點之間無力作用，故剪力圖平行與軸的直線。因C點有集中力,故在C點剪力圖由2.5kN向下突變3kN，C點左側(cè)的剪力值為2.5kN，C點右側(cè)的剪力值為。同樣的道理，依次，可完成其剪力圖（圖10.1.14（b）。需要說明，剪力圖最后應(yīng)回到零。圖中虛線箭頭只表示畫圖走向和突變方向。    （2）繪彎矩圖。彎矩圖也是從零開始，自左向右邊，逐段畫出。A點因無力偶作用，故無

30、突變。因AC段剪力圖為軸的上平行線，故其彎矩圖為一條從零開始的上斜線，其斜率為2.5（圖10.1.14（c）中斜率僅為繪圖方便而標(biāo)注），C點的彎矩值為。  CD段的彎矩圖為一條從開始的下斜線，斜率為0.5，故D點的彎矩值為，同樣的道理可畫出DB段彎矩圖，最后回到零（圖10.1.14（c）。例10.1.7  外伸梁受力如圖10.1.15（a）所示，。其它尺寸如圖所示。試繪出梁的剪力圖和彎矩圖。圖10.1.15解：（1）繪剪力圖。根據(jù)規(guī)律畫剪力圖時可不考慮力偶的影響。因此，繪其剪力圖時，從A點零開始，向下突變6，從6開始畫X軸平行線至B點，向上突變16，在畫X軸平行線，最后連D

31、點向下突變10而回到零（圖10.1.15（b）.     （2）繪彎矩圖從A點零開始，畫斜率為6的下斜線至C點，因C點有力偶作用，故彎矩圖有突變，根據(jù)“順上逆下”，故向上突變4，在畫斜率為6的下斜線至B點，在B點轉(zhuǎn)折，作斜率為10的上斜線至D點而回到零（圖10.1.15（c）。例10.1.8    外伸梁受力如圖10.1.16（a）所示，已知，約束反力，試繪出梁的剪力圖和彎矩圖，并求距A點4m處截面的剪力和彎矩。解：（1）繪制剪力圖。從A點零開始，向上突變7.2，AC段為x軸的平行線。CB段，剪力圖從7.2下斜至B點，斜率為

32、2，故B點左側(cè)的剪力值為8.8，從8.8向上突變14.8，即到B點右側(cè)。BD段剪力圖仍為斜率2的下斜線至D點左側(cè)，因D點有集中力P，故向下突變回到零（圖10.1.16（b）。剪力圖 中Q=0的點可由幾何關(guān)系求得，如：(m)。（2）繪彎矩圖。AC段彎矩圖為一條從零開始的斜率為7.2的上斜線。因C點有力偶，故彎矩圖在C點                          

33、            圖 10.1.16向下突變1.6。CB段剪力圖為一條下斜線，故對應(yīng)的彎矩圖為一條從1.6開始的上彎拋物線，最大值點應(yīng)對應(yīng)于Q=0的點，其值可由對應(yīng)的三角形面積求得                     B點的值也可由對應(yīng)的三角形面積求得  &#

34、160;              也可暫不求此值，繼續(xù)繪圖，因B，D點無力偶，故彎矩圖直接轉(zhuǎn)折上彎至零，最后利用對應(yīng)的剪力圖梯形面積計算該值  需要注意，圖10.1.16（b）中CB段剪力圖能否下斜而過x軸？圖10.1.16（c）中的CB段彎矩圖能否上彎而過x軸？都可根據(jù)圖形幾何關(guān)系預(yù)先測算而定。（3）求距A點4m處截面的剪力和彎矩。該截面剪力和彎矩可由圖中幾何關(guān)系直接求得。由圖10.1.16（b）可知，該截面的剪力由圖10.1.16（c）可知

35、，該截面的彎矩     由上述各例可以看出，繪制剪力圖和彎矩圖的基本過程為：熟記規(guī)律，從左至右，從零開始，到點即停，標(biāo)值判定（是否突變），最終回零。 第二節(jié)  梁的彎曲強度計算一 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力前面對梁彎曲時橫截面上的內(nèi)力進行了分析討論。為了進行梁的強度計算，還需要進一步研究橫截面上的應(yīng)力情況。通常梁的橫截面上既有彎矩又有剪力，這種彎曲稱為剪切彎曲。若梁的橫截面上只有彎矩而無剪力，則梁的橫截面上僅有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。這種彎曲稱為純彎曲。梁純彎曲的強度主要決定于截面上的正應(yīng)力，切應(yīng)力居于次要地位。所以這里只討論梁在純彎曲時橫

36、截面上的正應(yīng)力。要想分析正應(yīng)力的分布規(guī)律并計算正應(yīng)力，先是通過實驗，觀察其變形，提出假設(shè)。在這個基礎(chǔ)上綜合應(yīng)用幾何變形，物理和靜力學(xué)關(guān)系，找出變形及其應(yīng)力的變化規(guī)律而推導(dǎo)出應(yīng)力計算公式。（一）、實驗觀察取一矩形截面直桿，實驗前，在梁的側(cè)面上，畫上垂直于梁軸的橫向線 = 1 * ROMAN I = 1 * ROMAN I和 = 2 * ROMAN II = 2 * ROMAN II及平行于梁軸的縱向線ab和cd，然后在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)兩端施加集中力偶M，使梁產(chǎn)生純彎曲。如圖10.2.1所示。梁發(fā)生彎曲變形后，我們可以觀察到以下現(xiàn)象：1、橫向線ac和bd仍是直線且仍與梁的軸線正交，只是相互傾斜了

37、一個角度2、縱向線ab和cd（包括軸線）都變成了弧線。且ab變成后縮短了，cd變成后伸長了3、梁橫截面的寬度發(fā)生了微小變形，在壓縮區(qū)變寬了些，在拉伸區(qū)則變窄了些。                        圖10.2.1 梁的彎曲試驗圖         10.2.2 梁的中性層 根據(jù)上述現(xiàn)象，可對梁的變形

38、提出如下假設(shè)： 平面假設(shè)：梁彎曲變形時，其橫截面仍保持平面，且繞某軸轉(zhuǎn)過了一個微小的角度。 單向受力假設(shè)：設(shè)梁由無數(shù)縱向纖維組成，則這些纖維處于單向受拉或單向受壓狀態(tài)?？梢钥闯?，梁下部的縱向纖維受拉伸長，上部的縱向纖維受壓縮短，其間必有一層纖維既不伸長也不縮短，這層纖維稱為中性層。中性層和橫截面的交線稱為中性軸。如圖10.2.2所示。（二）、變形的幾何關(guān)系由于純彎曲時，各層縱向纖維受到軸向拉伸和壓縮的作用，因此材料的應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系應(yīng)符合拉壓胡克定律由上式可知，若搞清應(yīng)力分布規(guī)律，必須搞清應(yīng)變的變化規(guī)律，為此，將變形后的梁中取一微段來進行研究，如圖10.2.3所示。兩截面 = 1 * ROMA

39、N I = 1 * ROMAN I和 = 2 * ROMAN II = 2 * ROMAN II原來是平行的，現(xiàn)在相互傾斜了一個微小角度。圖中為中性層，設(shè)其曲率半徑為，到中性層的距離為形后中性層纖維長度仍為且。距中性層為y，則縱向線的線應(yīng)變?yōu)椋?#160;   即梁內(nèi)任一縱向纖維的線應(yīng)變與它到中性層的距離y成正比。（三）、變形的物理關(guān)系 由單向受力假設(shè)，當(dāng)正應(yīng)力不超過材料的比例極限時，將虎克定律代入上式，得：      （ 10.2.1）上式表明了橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律，即：橫截面上任一點處的正應(yīng)力與它到中性軸的距離成正比

40、，與中性層距離相同的點，正應(yīng)力相等；距離中性層越遠，正應(yīng)力越大；中性軸上各點的正應(yīng)力為零，由此可得橫截面上各點的正應(yīng)力分布情況，如圖10.2.4所示。為了準(zhǔn)確計算正應(yīng)力值，必須確定中性軸的位置與曲率半徑的大小，而這又需要通過應(yīng)力與內(nèi)力間的靜力學(xué)關(guān)系來解決。（四）、靜力學(xué)關(guān)系                            

41、              圖10.2.3 彎曲變形                         圖 10.2.4 彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律梁發(fā)生純彎曲時，橫截面上只有彎矩而無剪力，且彎曲變形時橫截面繞中性軸Z轉(zhuǎn)動。所以，橫截面上所有內(nèi)力合

42、成的結(jié)果只有一個對中性軸Z的彎矩M，而沿梁軸線的分量和對橫截面對稱軸的彎矩均為零。 通過對靜力學(xué)和截面形心進行分析可得如下結(jié)論：純彎曲時，橫截面的中性軸必須通過截面的形心。純彎曲時，中性軸的曲率半徑的計算公式為     （10.2.2）式中，值越大，則梁彎曲的曲率半徑越大，中性軸的曲率就越小，也就是梁的彎曲變形越??；反之，值越小，則梁的彎曲變形越大。因此，值的大小反映了梁抵抗彎曲變形的能力，故稱為梁的彎曲剛度。將式（10.2.2）帶入（10.2.1）中，得到純彎曲梁橫截面上任意一點正應(yīng)力的計算公式為：    

43、60;               （10.2.3）為截面上的彎矩；為截面上所求應(yīng)力點到中性軸的距離；為橫截面對中性軸Z的慣性矩。是一個僅與橫截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，可以通過理論計算來求得。一般地，各種平面幾何圖形的都求出并列表備用，使用時直接查表即可。上式是梁純彎曲時橫截面上任一點的正應(yīng)力計算公式。應(yīng)用時及均可用絕對值代入，至于所求點的正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，可根據(jù)梁的變形情況，由纖維的伸縮來確定，即以中性軸為界，梁變形后靠凸的一側(cè)受拉應(yīng)力，靠凹的一側(cè)受壓應(yīng)

44、力。也可根據(jù)彎矩的正負來判斷，當(dāng)彎矩為正時，中性軸以下部分受拉應(yīng)力，以上部分受壓應(yīng)力，彎矩為負時，則相反。由公式10.2.2可知，橫截面上最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠的各點處。即            （10.2.4）令     則             （10.2.5）稱為抗彎截面模量，也是衡量截面抗彎強度的一個幾何量，其值與橫截面的形狀和尺寸有關(guān) &#

45、160; 式（10.2.2）和（10.2.3）是純彎曲梁的兩個重要公式，前者用于計算梁的變形，后者用于計算梁橫截面上的應(yīng)力。 彎曲正應(yīng)力計算公式是梁在純彎曲的情況下導(dǎo)出來的。對于一般的梁來說，橫截面上除彎矩外還有剪力存在，這樣的彎曲稱為剪切彎曲。在剪切彎曲時，橫截面將發(fā)生翹曲，平截面假設(shè)不再成立。但較精確的分析證明，對于跨度與截面高度之比 的梁，計算其正應(yīng)力所得結(jié)果誤差很小。在工程上常用的梁，其跨高比遠大于5，因此，計算式可足夠精確地推廣應(yīng)用于剪切彎曲的情況。例10.2.1  如圖10.2.5（a）所示矩形截面簡支梁。已知：5，180，30，60。試分別求將截面豎放和橫放時

46、梁截面上的最大正應(yīng)力。                         圖 10.2.5 簡支梁受力解：1）求支座反力。根據(jù)外力平衡條件列平衡方程，可解得支座反力為2) 畫出剪力圖和彎矩圖，如圖10.2.5（b）、（c）所示。可見，在CD段橫截面上剪力為零，故CD段為純彎曲段，截面上彎矩值為  3)豎放時最大正應(yīng)力。先由表10.2.1中查得矩形截面的截面彎曲系Wz的計

47、算公式，代入式即可求出豎放時橫截面上的最大正應(yīng)力為同理可求得橫放時橫截面上的最大正應(yīng)力為        由此例可知：矩形截面梁的橫截面放置方位不同，其最大正應(yīng)力值也不同，即梁的彎曲強度不同，矩形截面梁的橫截面豎放比橫放時強度高。 二 梁的彎曲強度計算在進行梁的強度計算時，由于梁上的應(yīng)力一般是隨截面位置的不同而變化的，因此應(yīng)首先找出最大應(yīng)力所在截面，即危險截面以及求出最大應(yīng)力。一般情況下，對于等截面直梁，其危險點在彎矩最大的截面上的上下邊緣處，即最大正應(yīng)力所在處。(一)、強度條件為了使梁安全可靠的工作，危險點的最大工

48、作應(yīng)力不能超過梁所用材料的許用應(yīng)力，強度條件為： ( 10.2.6)   式中，為危險點的應(yīng)力；、分別為危險截面的彎矩和拉彎截面系數(shù)；為梁材料的許用應(yīng)力?？紤]到材料的力學(xué)性質(zhì)和截面的幾何性質(zhì)，判定危險點的位置是建立強度條件的主要問題。(二)、關(guān)于危險點的討論1、對稱截面若截面對稱于中性軸，則稱為對稱截面，否則稱為非對稱截面。對于塑性材料，其許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力相同。對稱截面塑性材料的危險點可以選擇距中性軸最遠端的任一點計算。對于許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不同的脆性材料，由于脆性材料的許用壓應(yīng)力大于許用拉應(yīng)力，所以只需計算受拉邊的最大應(yīng)力值。2、非對稱截面對于塑性材料，危險點一

49、定出現(xiàn)在距中性軸最遠處，所以這種情況下只需計算一個危險點。對于脆性材料，需要結(jié)合彎矩的正負及截面形狀分別計算。如果距中性軸最遠處的是受拉邊則只需計算一個危險點；如果距中性軸最遠處的是受壓邊則需要計算兩個危險點。其強度條件為：式中，和分別為最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；      和分別為許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力；      和分別是拉應(yīng)力和壓應(yīng)力一側(cè)最遠點到中性軸的距離。(三)、強度條件三類問題與拉壓強度條件應(yīng)用相似，彎曲強度條件同樣可以用來解決以下三類問題。 強度校核 驗算梁的強度是否滿足強度條件，判

50、斷梁在工作時是否安全。 截面設(shè)計 根據(jù)梁的最大載荷和材料的許用應(yīng)力，確定梁截面的尺寸和形狀，或選用合適的標(biāo)準(zhǔn)型鋼。 確定許用載荷根據(jù)梁截面的形狀和尺寸及許用應(yīng)力，確定梁可承受的最大彎矩，再由彎矩和載荷的關(guān)系確定梁的許用載荷。對于非對稱截面，需按公式    例10.2.2  圖10.2.6（a）所示，托架為一T形截面的鑄鐵梁。已知截面對中性軸z的慣性矩 ,，鑄鐵的彎曲許用應(yīng)力=40MPa，=80MPa，若略去梁的自重影響，使校核梁的強度。解：（1）畫其受力圖（見圖10.2.6（b）。（2）繪制剪力圖（見圖10.2.6（c）.  

51、60;              圖10.2.6 T形鑄鐵梁(3)繪制彎矩圖（見圖10.2.6（d），并求最大彎矩值              =4.5×1=4.5(kN.m)    (4)校核強度         &#

52、160;         所以此鑄鐵梁的強度足夠。 例10.2.3 一矩形截面簡支梁（見圖10.2.7（a），=10MPa。試求梁能承受的許可均布載荷q。                                圖

53、10.2.7 簡支梁 解：（1）求支座反力。       （2）繪剪力圖（10.2.7（b）。（3）繪彎矩圖（10.2.7（c）,并求最大彎矩。          （4）確定許可載荷     因          故         

54、60;                               例10.2.4  簡易吊車梁如圖10.2.8（a）所示，已知起吊最大載荷，跨度,若梁材料的許用應(yīng)力=180MPa，不計梁的自重，試求：（1）選擇工字鋼的型號；（2）若選用矩形截面，其高度比為時，確定截面尺寸；（3）比較兩種梁的重量。 解：（1

55、）繪制梁的受力圖（10.2.8（b）,求約束反力。              （2）繪制梁的剪力圖（10.2.8（ c ）。   (3)繪制梁的彎矩圖（10.2.8（ d ）, 并求最大彎矩。                      &#

56、160;      圖10.2.7 簡支梁（4）選擇工字鋼型號                                         

57、60;                                           圖10.2.7 簡支梁     

58、60;               查表得32a號工字鋼WZ=692687cm3,故可選用32a號工字鋼，查得其截面面積為67.156cm2。     （5）若采用矩形截面。                      &

59、#160;                                          (6)比較兩梁的重量。在材料和長度相同的條件下，梁的重量之比等于截面面積之比，   &

60、#160;                    即矩形截面的梁的重量是工字鋼截面梁的2.98倍。 第三節(jié)  拉伸（壓縮）與彎曲組合的強度計算 前面討論了桿件在拉伸（壓縮）、和彎曲變形時的強度和剛度計算。但在工程實際中，許多構(gòu)件受到外力作用時，將同時產(chǎn)生兩種或兩種以上的基本變形。例如建筑物的邊柱，機械工程中的夾緊裝置，皮帶輪傳動軸等。我們把桿件在外力作用下同時產(chǎn)生兩種或兩種以上的基本變形

61、稱為組合變形。工程中許多受拉（壓）構(gòu)件同時發(fā)生彎曲變形，稱為拉（壓）彎組合變形。處理組合變形問題的基本方法是疊加法，先將組合變形分解為基本變形，再分別考慮在每一種基本變形情況下產(chǎn)生的應(yīng)力和變形，最后再疊加起來。組合變形強度計算的步驟一般如下：(1) 外力分析  將外力分解或簡化為幾種基本變形的受力情況；(2) 內(nèi)力分析  分別計算每種基本變形的內(nèi)力，畫出內(nèi)力圖，并確定危險截面的位置；(3) 應(yīng)力分析 在危險截面上根據(jù)各種基本變形的應(yīng)力分布規(guī)律，確定出危險點的位置及其應(yīng)力狀態(tài)。(4) 建立強度條件 將各基本變形情況下的應(yīng)力疊加，然后建立強度條件進行計算。下面舉例說明拉（壓）彎

62、組合變形的強度計算。例10.3.1  懸臂吊車的計算簡圖如圖10.3.1a所示，橫梁AC用工字鋼制成。已知最大吊重P=15kN，=30 º，梁的許用應(yīng)力=100MPa，試選擇工字鋼型號。 圖10.3.1 橫梁AC的內(nèi)力及應(yīng)用解:（1）外力分析：取橫梁AB為研究對象，受力分析如圖10.3.1（b）所示。當(dāng)小車移到點C時，梁處于最不利的受力狀態(tài)，此時由平衡條件知：由            得       

63、60;      由和，可解出：   將外力分解兩組,分別產(chǎn)生兩種基本功變形,一組由HA、HB產(chǎn)生的壓縮變形（圖10.3.1c），一組由RA、RB、P產(chǎn)生的彎曲變形（圖10.3.1e）。（2）內(nèi)力分析：分別繪制軸力圖（圖10.3.1d）和彎矩圖（圖10.3.1g）。由內(nèi)力圖可知，B截面為危險截面，其上的內(nèi)力值絕對值分別為：（3）應(yīng)力分析：B截面由軸向力產(chǎn)生的壓應(yīng)力和由彎矩產(chǎn)生的正應(yīng)力分布如圖10.3.1f所示，其中為疊加后的應(yīng)力分布?？梢?，危險點在B截面的下邊緣處，為壓應(yīng)力。最大壓應(yīng)力值為：   

64、0;          （4）選擇工字鋼型號：因為上式中的橫截面面積A和抗彎截面模量Wz均為未知數(shù)，一般情況下需先按彎曲正應(yīng)力條件選擇截面，再按組合變形進行校核。由彎曲條件得               查型鋼表選取20a工字鋼，其A=35.5 cm2, Wz=237 cm3。按組合變形校核強度：在工程中，如果不超過的5%，一般是允許的。這里，偏于不安全。重新選取20

65、b號工字鋼，其A=39.5 cm2 ,  Wz= 250cm3，則只超過的0.25%，故選用20b號工字鋼能滿足梁的要求。例10.3.2     小型壓力機的鑄鐵框架如圖10.3.2所示。已知材料的許用拉應(yīng)力，許用壓應(yīng)力。試按立柱的強度確定壓力機的最大許可壓力P。立柱的截面尺寸如圖，其中O為形心，z0=7.5cm，Iy=5310cm3，面積A=15×10-3 cm2。                

66、;           圖10.3.2 立柱的受力分析及應(yīng)力圖解：（1）外力分析：由于外力P與床身立柱的軸線平行但不重合，故立柱受偏心拉伸作用。  （2）內(nèi)力分析：如圖10.3.2所示，由截面法可得：可見,立柱實質(zhì)上承受軸向拉伸和彎曲組合變形。   （3）應(yīng)力分析：如圖10.3.2所示，由軸力N引起的正應(yīng)力沿橫截面均勻分布，其值為：由彎矩My引起的正應(yīng)力沿y方向分布如圖所示。其值分別為：   （拉）   （壓）  與

67、疊加后得到總應(yīng)力,仍在截面內(nèi)側(cè)有最大拉應(yīng)力，外側(cè)有最大壓應(yīng)力，其值分別為：   （拉）   （壓）（4）由強度條件確定許可載荷：由抗拉強度條件    得：由抗壓強度條件    得：P為使立柱同時滿足抗拉和抗壓強度條件,壓力P不應(yīng)超過45kN。第四節(jié)  梁的彎曲變形及剛度計算 梁與其它受力桿件一樣，除了要滿足強度條件外，還要滿足剛度條件。使其工作時變形不致過大，否則會引起振動，影響機器的運轉(zhuǎn)精度，甚至導(dǎo)致失效。例如圖10.4.1所示，齒輪軸的彎曲變形過大，就會影響齒輪的正常嚙合

68、，加速齒輪的磨損，并使軸與軸承配合不好，造成傳動不穩(wěn)定，減少壽命。另一方面，彎曲變形也有可利用的一面。如車輛上的鋼板彈簧，需要足夠大變形以緩和車輛受到的沖擊和震動，為了限制和利用梁的變形，就必須掌握梁的變形計算。           圖10.4.1 齒輪軸                     &

69、#160;                    圖10.4.2 梁的撓曲線一、彎曲變形的撓度與轉(zhuǎn)角直梁在平面彎曲時，其軸線將在加載平面內(nèi)彎成一條光滑的平面曲線，該曲線稱為梁的撓曲線。如圖10.4.2所示。梁任意橫截面形心沿y軸方向的線位移，稱為撓度，用y表示，通常規(guī)定：向上為正，向下為負。由于彎曲變形屬于小變形，梁橫截面形心沿x軸方向的位移很小，可忽略不計。在彎曲過程中，梁任一橫截面相對于原來位置所轉(zhuǎn)過的

70、角度，稱為轉(zhuǎn)角，用表示，通常規(guī)定：逆時針為正，順時針為負。二、梁的撓曲線方程為了表達梁的撓度與轉(zhuǎn)角隨著截面位置不同而變化的規(guī)律，取梁變形前的軸線為x軸，與x軸垂直向上的軸為y軸，如圖10.4.2所示。則撓曲線方程可表示為：                       （10.4.1）在忽略剪力對變形影響的情況下，橫截面在變形后仍垂直于撓曲線。這樣，任一截面的轉(zhuǎn)角也等于撓曲線在該

71、截面處的切線與X軸的夾角。由于很小，所以有                  (10.4.2)式(10.4.2)稱為梁的轉(zhuǎn)角方程，它反映了撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系。由上可知，如果知道了梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，梁各截面的撓度和轉(zhuǎn)角也就知道了。三、用疊加法求梁的變形在梁服從胡克定律的條件下，梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程均與載荷成線性關(guān)系。因此，梁在復(fù)雜載荷作用下的變形，可將其看成是幾種簡單載荷分別作用下的疊加。用疊加法可計算復(fù)雜載荷作用下梁

72、的變形。即先分別計算每一種載荷單獨作用時引起的梁的撓度和轉(zhuǎn)角，然后，再把同一截面的轉(zhuǎn)角和撓度代數(shù)相加，就得到這些載荷共同作用下的該截面的撓度和轉(zhuǎn)角。為簡化計算，工程技術(shù)人員已經(jīng)把梁在各種典型的簡單載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角計算公式求出并列在相應(yīng)的計算表中，如表10.4.1，實際應(yīng)用時只需查表選用即可。                          

73、      圖10.4.3例10.4.1  等直梁AB，已知分布載荷q，集中力P，長度及抗彎剛度。試求C點的撓度。解：用疊加法求C點的撓度，分別畫出均布力q和集中力P單獨作用時的計算簡圖。查表10.4.1，當(dāng)均布載荷q單獨作用時，C點的撓度為：        （負號說明撓度向下）當(dāng)F單獨作用時，C點的撓度為：根據(jù)疊加原理得q和P共同作用時的撓度： 四、梁的彎曲剛度條件  為了保證受彎梁能安全工作，必須限制梁上最大撓度和最大轉(zhuǎn)角不超過許用值，即梁的剛度條件為

74、：                                           （10.4.3）式中， y 為許可撓度；為許可轉(zhuǎn)角。有關(guān)數(shù)據(jù)可參考有關(guān)規(guī)范及手冊來確定y 值和值。設(shè)計

75、時，通常根據(jù)強度條件，結(jié)構(gòu)要求，確定梁的截面尺寸，然后，校核其剛度，對于剛度要求高的軸，其截面尺寸往往由剛度條件決定。例10.4.2    如圖10.4.4（a）所示為一電動機軸，已知,跨度,材料彈性模量，許用應(yīng)力,C截面的許用撓度 y =0.4mm，試設(shè)計軸的直徑d。解：1）按強度條件設(shè)計軸徑。先畫出彎矩圖，如圖10.4.4（b）所示，求得最大彎矩為    根據(jù)強度條件求得          計算得    

76、0; 取d=40mm,則有                                         圖10.4.4      

77、60;      2）軸的剛度進行較核。如圖10.4.4（c）、(d)所示，由疊加法求C截面的撓度得              因此，軸徑取d=40mm可同時滿足強度、剛度要求。 五、提高梁的承載能力由前面分析可知，梁的變形與跨度的高次方成正比，與截面慣性矩成反比；又由強度條件（式10.2.6）可知，梁的彎曲強度與梁的最大彎矩和彎曲截面系數(shù)有關(guān)，所以，降低最大彎矩或增大抗彎截面模量，均能提高強度。由此可見，為提高梁的承載能力，

78、除合理地施加載荷和安排支承位置，以減小彎矩和變形外，主要應(yīng)從增大和，以及減小跨度等方面采取措施，以使梁的設(shè)計經(jīng)濟合理。工程上可采用以下幾項措施。 （1）采用合理的截面形狀在截面面積即材料重量相同時，應(yīng)采用和較大的截面形狀，即截面積分布應(yīng)盡量遠離中性軸。因離中性軸較遠處正應(yīng)力較大，而靠近中性軸處正應(yīng)力很小，這部分材料沒有被充分利用。若將靠近中性軸處的材料移到離中性軸較遠處，如將矩形改為工字形截面，則可提高慣性矩和抗彎截面模量，即提高抗彎能力。同理，實心圓截面若改為面積相等的圓環(huán)形截面也可提高承載能力。此外，合理的截面形狀應(yīng)使截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時達到相應(yīng)的許用應(yīng)力值。對于抗

79、拉和抗壓強度相等的塑性材料，宜采用中性軸是對稱軸的截面(工字形)。對于抗拉和抗壓強度不相等的脆性材料，宜采用中性軸不對稱的截面(如T字形或槽形)。(2)采用變截面梁除上述材料在梁的某一截面合理安排外，還有一個材料沿梁的軸線如何合理安排問題。等截面的截面尺寸是由最大彎矩決定的。故除最大彎矩所在截面外，其余部分材料未被充分利用。為了節(jié)省材料和減輕重量，可采用變截面梁，即在彎矩較大的部位采用較大的截面，在彎矩較小的部位采用較小的截面。（3）、減小跨度或增加支承因梁的變形與梁的跨度l高次方成正比，故減小跨度是提高梁抗彎強度和抗彎剛度的有效措施。如在車床車工件時在工件的自由端加裝尾架頂針即為此目的。&#

80、160;第五節(jié)  疲勞破壞   一、動載荷和交變應(yīng)力（一）動載荷的概念在研究直桿的拉（壓）、梁的彎曲和圓軸的扭轉(zhuǎn)等的變形和強度時，都是把外載荷的大小和方向看成是不隨時間變化來對待的。這種大小和方向不隨時間而變化的載荷稱為靜載荷。然而在工程實際中，大多數(shù)零件工作時所受到的載荷并不是靜載荷。如互相嚙合的齒輪、內(nèi)燃機的連桿、高速旋轉(zhuǎn)的砂輪等等，在工作中所受的載荷明顯要隨時間而變化，或者是短時間內(nèi)有突變，這種載荷稱為動載荷。（二）交變應(yīng)力工程中許多構(gòu)件處于隨時間作周期性變化的應(yīng)力下工作，成周期性變化的應(yīng)力稱為交變應(yīng)力。例如齒輪的輪齒每嚙合一次，齒根A點的彎曲應(yīng)力就由零變化到某一最大值，然后再回到零（如圖10.5.1）。齒輪連續(xù)轉(zhuǎn)動時，A點的應(yīng)力即作周期變化。又如圖10.5.2(a)中的轉(zhuǎn)軸，雖然所受載荷F的大小和方向并不隨時間變化，但由于軸的轉(zhuǎn)動，截面A 的彎曲應(yīng)力也隨時間作周期變化（圖b），其變化規(guī)律如圖c所示。這種隨時間作周期性變化的應(yīng)力，稱為交變應(yīng)力。交變應(yīng)力每重復(fù)變化一次稱為一個應(yīng)力循環(huán)，如圖10.5.3所示，重復(fù)變化的次數(shù)稱為循環(huán)次數(shù)。圖中表示應(yīng)力變化的曲線稱為應(yīng)力循環(huán)曲線。為了能直觀地反