空間向量及其加減法

1、 空間向量及其加減法空間向量及其加減法 與數(shù)乘運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算 莆田科技學(xué)校莆田科技學(xué)校童童 斌斌復(fù)習(xí)回顧：平面向量1、定義： 既有大小又有方向的量叫做向量。幾何表示法:用有向線段表示字母表示法：用小寫字母表示，或者用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示。相等向量：長度相等且方向相同的向量abcd2、平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算向量加法的三角形法則向量加法的平行四邊形法則向量減法的三角形法則a ba ba (k0)ka (k0)k向量的數(shù)乘aaabbcaabbdcaabbca b3、平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算律加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：abba)()(cbacbababa )(

2、 推廣:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量；nnnaaaaaaaaaa11433221（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量。01433221aaaaaaaan新課講授閱讀教材閱讀教材p p26 26 ，研究空間向量與平面向量的關(guān)系研究空間向量與平面向量的關(guān)系, ,回答回答下面的問題：下面的問題：（1 1） 試說出：空間向量與平面向量有何共同之處？試說出：空間向量與平面向量有何共同之處？（2） 如何理解空間的一個(gè)如何理解空間的一個(gè)“平移平移”就是一個(gè)向量？就是一個(gè)向量？（3） 空間任意兩個(gè)向量是否都可以空間任意兩個(gè)向量是否都可以將

3、它們平移到同將它們平移到同 一個(gè)平面當(dāng)中一個(gè)平面當(dāng)中？（4）把平面向量的運(yùn)算推廣到空間向量，）把平面向量的運(yùn)算推廣到空間向量， 怎么定義空間向量的加法，減法及數(shù)乘向量運(yùn)算？怎么定義空間向量的加法，減法及數(shù)乘向量運(yùn)算？（5）空間向量的運(yùn)算律有哪些？）空間向量的運(yùn)算律有哪些？（6）從平面和空間兩個(gè)角度驗(yàn)證向量加法結(jié)合律）從平面和空間兩個(gè)角度驗(yàn)證向量加法結(jié)合律?在空間，具有在空間，具有大小大小和和方向方向的量叫做向量；用的量叫做向量；用有向線段有向線段表示；并且同向且等長的有向線段表示；并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量表示同一向量或相等的向量。（1 1） 試說出：空間向量與平面向量有

4、何共同試說出：空間向量與平面向量有何共同 之處？之處？abcd（2） 如何理解空間的一個(gè)如何理解空間的一個(gè)“平移平移”就是一個(gè)向量？就是一個(gè)向量？因?yàn)榭臻g的一個(gè)因?yàn)榭臻g的一個(gè)“平移平移”有有大小大小和和方向方向，所以是，所以是一個(gè)向量。一個(gè)向量。例如：例如：“平行四邊形平行四邊形abcd自西向東平移自西向東平移4個(gè)單個(gè)單位長度位長度”到達(dá)到達(dá)a1b1c1d1的位置。的位置。dcabc1d1b1a1a 這個(gè)這個(gè)“平移平移”就就 是一個(gè)向量。是一個(gè)向量。a=“自西向東平移自西向東平移4個(gè)單位長度個(gè)單位長度”（3） 空間任意兩個(gè)向量是否都可以空間任意兩個(gè)向量是否都可以將它們將它們 平移到同一個(gè)平面當(dāng)

5、中？平移到同一個(gè)平面當(dāng)中？ 由由o、a、b、三點(diǎn)確定一個(gè)平面、三點(diǎn)確定一個(gè)平面或共線可知，或共線可知，已知空間兩個(gè)任意向量已知空間兩個(gè)任意向量、a, b.obb ,oaa 作作oaabbab 空間任意兩個(gè)向量都空間任意兩個(gè)向量都 可用同可用同 一平面內(nèi)的有向線段表示。一平面內(nèi)的有向線段表示。ababoabb結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問題，平面向量中有因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。關(guān)結(jié)論仍適用于它們。

6、思考：它們確定的平面是否唯一？思考：它們確定的平面是否唯一？思考：空間任意兩個(gè)向量是否可能異面？思考：空間任意兩個(gè)向量是否可能異面？abbaoacb（4）與平面向量運(yùn)算一樣，我們定義）與平面向量運(yùn)算一樣，我們定義 空間空間 向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下：向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下：,oboaabab ,caoaocab .o par aaa加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律： （5）同樣，空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)同樣，空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn) 算滿算滿 足如下運(yùn)算律：足如下運(yùn)算律：abba)()(cbacbabkakbak )(abcobcab+abcobcbc+(平面向量)

7、()(cbacba（6）平面向量加法結(jié)合律：）平面向量加法結(jié)合律：ab+c+()ab+c+()aaabcoabcab+abcoabcbc+（6）空間向量加法結(jié)合律：）空間向量加法結(jié)合律：)()(cbacba(空間向量)ab+c+()ab+c+()例1：已知平行六面體abcd-aabcd-a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，化簡下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。(如圖)abcda1b1c1d11)2()1 (aaadabbcab;)1 (acbcab解：1)2(aaadab1aaac 1ccac 1ac1121)4()(31) 3(ccadabaaadababcda1b1c1d1m

8、(4)設(shè)設(shè)m是線段是線段cc1的中點(diǎn)的中點(diǎn),則則)(311aaadab121ccadabaccm am (3)設(shè)設(shè)g是線段是線段ac1的三等分點(diǎn)的三等分點(diǎn),則則113ac agg1121)4()(31)3(ccadabaaadababmcgd)(21 )2()(21 ) 1 (acabagbdbcab練習(xí)1在空間四邊形在空間四邊形abcdabcd中中, ,點(diǎn)點(diǎn)m m、g g分別是分別是bcbc、cdcd邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn), ,化簡化簡mgbmab原式) 1 (agagam (2)原式=mg 平面向量概念加法減法數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算律定義 表示法 相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka