投資的效益和風(fēng)險(xiǎn)

1、市場(chǎng)上有 n 種資產(chǎn)（如股票、債券、）si ( i=1,n)供投資者選擇，某公司有數(shù)額為 m 的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對(duì)這 n 種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買(mǎi) si的平均收益率為ir并預(yù)測(cè)出購(gòu)買(mǎi) si的風(fēng)險(xiǎn)損失率為iq。考慮到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購(gòu)買(mǎi)若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的 si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。投資的效益和風(fēng)險(xiǎn)投資的效益和風(fēng)險(xiǎn)(1998年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽a題題) 購(gòu)買(mǎi) si要付交易費(fèi)，費(fèi)率為ip，并且當(dāng)購(gòu)買(mǎi)額不超過(guò)給定值iu時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買(mǎi)iu計(jì)算（不買(mǎi)當(dāng)然無(wú)須付費(fèi)） 。另外，假

2、定同期銀行存款利率是0r, 且既無(wú)交易費(fèi)又無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。 （0r=5%） 已知 n = 4 時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下： 試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金 m，有選擇地購(gòu)買(mǎi)若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。問(wèn)題分析問(wèn)題分析優(yōu)化問(wèn)題決策決策每種資產(chǎn)的投資額（投資組合）目標(biāo)目標(biāo)凈收益最大整體風(fēng)險(xiǎn)最小 在一定風(fēng)險(xiǎn)下收益最大的決策 在一定收益下風(fēng)險(xiǎn)最小的決策 收益和風(fēng)險(xiǎn)按一定比例組合最優(yōu)的決策一組解(如在一系列風(fēng)險(xiǎn)值下收益最大的決策)二者矛盾 冒險(xiǎn)型投資者從中選擇高風(fēng)險(xiǎn)下收益最大的決策 保守型投資者則可從低風(fēng)險(xiǎn)下的決策中選取模型建立模型建立用數(shù)學(xué)符號(hào)和式子表述決策變量、構(gòu)造目

3、標(biāo)函數(shù)、確定約束條件。xi i對(duì)si(i=0,1,n)的投資,s0表示存入銀行.目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 總收益投資si的凈收益減去交易費(fèi)，對(duì)i求和 總體風(fēng)險(xiǎn)投資si的風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)i求最大值對(duì)si的投資xi i加交易費(fèi)，對(duì)i求和，不超過(guò)給定資金m.決策變量決策變量約束條件約束條件f xxc xiiiii( )( )0uixicipiuiiiiiiiiiiiiuxxpuxupxxc, 0, 0, 0)(1）投資si的交易費(fèi)、凈收益、風(fēng)險(xiǎn)、資金表達(dá)式交易費(fèi)凈收益)( )(iiiiiixcxrxr(收益率ri)風(fēng)險(xiǎn)資金iiiixqxq)(風(fēng)險(xiǎn)損失率qi)0)(, 1 , 0000qxcni2）投資方案總收益、總

4、體風(fēng)險(xiǎn)、資金表達(dá)式投資方案),(10nxxxxr xr xiiin( )() 0總收益)( )(max0iinixqxq總體風(fēng)險(xiǎn)f xf xiiin( )() 0資金3）兩目標(biāo)（總收益、總體風(fēng)險(xiǎn)）優(yōu)化模型0,)( )()( minxxmxfxrxq4）單目標(biāo)優(yōu)化模型0,)()(.s.t)(maxxmxfkxqxr模型m1：確定風(fēng)險(xiǎn)水平q，記 kqm，模型 m2：確定盈利水平r，記hrm，0,)()(.s.t)(minxmxfhxrxq0,)(.s.t)()1 ()( )(minxmxfxrxqxs 模型m3：確定投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)收益的相對(duì)偏好參數(shù) 0模型簡(jiǎn)化模型簡(jiǎn)化iiiiiiiiiiiuxxpu

5、xupxxc, 0, 0, 0)(交易費(fèi)iiiixpxc)(ui很小m很大資金約束設(shè)m=1nixpyiii, 1, 0,)1 (投資si的比例f xxc xiiiii( )( )f xfxiiin( )() 0mxf)(mxpinii)1 (0)( )(max0iinixqxqiiiixqxq)(r xr xiiin( )() 0)( )(iiiiiixcxrxriiixpr)( mxpinii)1 (0設(shè)m=1線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型lp1模型模型m1的簡(jiǎn)化的簡(jiǎn)化0,)()(.s.t)(maxxmxfkxqxrm1iiniixpr)(max0nikxqt sii, 2, 1,. .0, 1)

6、1 (0 xxpinii模型模型m2的簡(jiǎn)化的簡(jiǎn)化0,)()(.s.t)(minxmxfhxrxqm21minnxnixxqt snii, 1,. .1hxpriinii)(00, 1)1 (0 xxpinii極大極小規(guī)劃模型)(maxmin1iinixqhxprt siinii)(. .00, 1)1 (0 xxpinii線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型lp2引入人工變量引入人工變量 xn+1模型模型m3的簡(jiǎn)化的簡(jiǎn)化0,)(.s.t)()1 ()( )(minxmxfxrxqxsm30, 1)1 (. .0 xxpt siniiiiniinxprxxl)()1 ()(min01nixxqnii, 11

7、線性規(guī)劃線性規(guī)劃模型模型lp3模型求解模型求解lp1,lp2,lp3都很容易用軟件lingo9.0求解iiniixpr)(max0nikxqt sii, 2, 1,. .0, 1)1 (0 xxpinii線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型lp1iiiiiiiiiipqapprcxpy11)1(0, 14, 1 , 0,. .max4040iiiiiiiiyyikyatsycbaxtscx. .min風(fēng)險(xiǎn) k(%)收益 r(%)y0y1y2y3y405.00001.000000000.17.55280.83160.04040.06800.01900.04100.210.10550.66330.08080.

8、13600.03800.08190.312.65830.49490.12120.20400.05700.12290.415.21100.32660.16160.27200.07600.16380.517.76380.15820.20200.34000.09500.20480.620.190800.24240.40800.11400.23560.720.660700.28280.47600.13300.10820.821.124300.32320.54400.132800.921.552000.36360.61200.024401.021.902000.40400.5960001.523.539

9、200.60600.3940002.025.176500.80800.1920002.125.503900.84840.1516002.225.831400.88880.1112002.326.158800.92920.0708002.426.486300.96960.0304002.526.732701.0000000lp1的結(jié)果的結(jié)果風(fēng)險(xiǎn)水平取風(fēng)險(xiǎn)水平取k=02.5%, 得投資比例得投資比例y0y400.511.522.551015202530k(%)r(%)(k*,r*)lp1的結(jié)果的結(jié)果lp1 風(fēng)險(xiǎn) k 和收益 r 的關(guān)系對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒(méi)有特殊偏好的投資者來(lái)說(shuō)，應(yīng)該選擇圖中曲線的拐點(diǎn)（k*, r*） ，大約是 k*=0.6%, r*=20%lp3的結(jié)果的結(jié)果偏好系數(shù)取 0.760.97風(fēng)險(xiǎn)k(%)收益r(%)y0y1y2y3y40.762.475226.732701.00000000.770.922521.648200.37270.6273000.810.922521.648200.37270.6273000.820.784921.059900.31710.53380.149100.830.594020.162400.24000.40390.11290.24320.960.594020.162400.24000.40390.11290.24320.970.00005.0