第四章4344泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)

1、12. 冪級數(shù)的分析性質(zhì)冪級數(shù)的分析性質(zhì)即即 110.)()(nnnzznazf(3) 在收斂圓內(nèi)可以在收斂圓內(nèi)可以逐項積分逐項積分，即即)(zf(1) 函數(shù)函數(shù)在收斂圓在收斂圓 內(nèi)內(nèi)解析解析。rzz |0設(shè)設(shè)性質(zhì)性質(zhì),|,)()(000rzzzzazfnnn 則則(2) 函數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)可由其冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可由其冪函數(shù)逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo)得到，得到，)(zf三、三、冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)p87 .)(1010 nnnzzna zzdzzfzf0)()(2解解利用逐項求導(dǎo)性質(zhì)利用逐項求導(dǎo)性質(zhì))(11)1(12 zz)1(2 zz,)1(3212 nznzz.1| z把函數(shù)把函數(shù)例例表示成形如表示成

2、形如 0nnnza2)1(1z 的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。3解解利用逐項求導(dǎo)性質(zhì)利用逐項求導(dǎo)性質(zhì)把函數(shù)把函數(shù)例例表示成形如表示成形如 0)(nnniza2)1(1z 的冪級數(shù)。的冪級數(shù)。nniizi 0111 z11(1)iizi 11111,)1()(01 nnniiz.2| iz(2) zz11)1(12 111)1()(nnniizn,)()1(102nnnizin .2| iz)()1(1izi 44.3 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法方法5z0dc一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理,)(

3、)(00 nnnzzazf則當(dāng)則當(dāng) 時，有時，有rzz |0定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 d 內(nèi)解析，內(nèi)解析，)(zfc 為為 d 的邊界，的邊界，,0dz , |min0zzrcz . )(!10)(zfnann 其中，其中，r p88定理定理 4.6 注注 (1) 對于一個給定的函數(shù)，在給定點處的泰勒展開式對于一個給定的函數(shù)，在給定點處的泰勒展開式是唯一的。是唯一的。6z0dc一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理,)()(00 nnnzzazf則當(dāng)則當(dāng) 時，有時，有rzz |0定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 d 內(nèi)解析，內(nèi)解析，)(zfc 為為 d 的邊界，的邊界

4、，,0dz , |min0zzrcz . )(!10)(zfnann 其中，其中，r p88定理定理 4.6 注注 (2) 解析函數(shù)解析函數(shù)在圓域在圓域 上上展開為冪級數(shù)，展開為冪級數(shù)，rzz |0而不是在整個解析區(qū)域而不是在整個解析區(qū)域 d 上。上。7z0dc一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理,)()(00 nnnzzazf則當(dāng)則當(dāng) 時，有時，有rzz |0定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 d 內(nèi)解析，內(nèi)解析，)(zfc 為為 d 的邊界，的邊界，,0dz , |min0zzrcz . )(!10)(zfnann 其中，其中，r p88定理定理 4.6 注注 (3) 函數(shù)在

5、一點解析的充要條件是它在這點的領(lǐng)域內(nèi)函數(shù)在一點解析的充要條件是它在這點的領(lǐng)域內(nèi)可以展開為冪級數(shù)?？梢哉归_為冪級數(shù)。8z0dc一、泰勒一、泰勒( (taylor) )定理定理,)()(00 nnnzzazf則當(dāng)則當(dāng) 時，有時，有rzz |0定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 d 內(nèi)解析，內(nèi)解析，)(zfc 為為 d 的邊界，的邊界，,0dz , |min0zzrcz . )(!10)(zfnann 其中，其中，r p88定理定理 4.6 注注 (4)在區(qū)域在區(qū)域若函數(shù)若函數(shù))(zfd內(nèi)有奇點，內(nèi)有奇點，)(zf則則顯然，該奇點正好在收斂圓周上。顯然，該奇點正好在收斂圓周上。|,|0zr 其中，

6、其中， 為為0z的奇點中的奇點中距離展開點距離展開點最近的一個奇點最近的一個奇點。 p89說明說明(2) 9二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法方法1. 直接展開法直接展開法.!)0()(nfann 利用泰勒定理，直接計算展開系數(shù)利用泰勒定理，直接計算展開系數(shù)將函數(shù)將函數(shù) 在在 點展開為冪級數(shù)。點展開為冪級數(shù)。例例zzfe)( 0 z解解,1)0(0)(e zznf,!1!)0()(nnfann .| zp90 例例4.6 ,! 212 nzzzn 0!e)(nnznzzf10二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法方法1. 直接展開法直接展開法.!)0()

7、(nfann 利用泰勒定理，直接計算展開系數(shù)利用泰勒定理，直接計算展開系數(shù) 02)!2()1(cosnnnnzz 012)!12()1(sinnnnnzz 同理可得同理可得.| z,! 4! 2142 zz,! 5! 353 zzz.| z11二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的二、將函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的方法方法2. 間接展開法間接展開法 根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開式，通過有理運算、根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開式，通過有理運算、代換運算、逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法展開。代換運算、逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法展開。 兩個重要的已知展開式兩個重要的已知展開式,! 3! 21!032e nnzzzznz.|

8、z,111320zzzzznn .1| z12zzfzd)(0 )0()(fzfzzf 11)(1)解解將函數(shù)將函數(shù) 分別在分別在 點展開為冪級數(shù)。點展開為冪級數(shù)。)1(ln)(zzf 例例1,0 zz)(11z ,)1(0 nnnz.1| z,d)1(00 nznnzz 01,1)1()(nnnznzf.1| z00p92 例例4.11 修改修改 01,1)1(nnnzn13zzfzd)(0 011,)1(112)1()1()(nnnnznfzfzzf 11)(2)解解將函數(shù)將函數(shù) 分別在分別在 點展開為冪級數(shù)。點展開為冪級數(shù)。)1(ln)(zzf 例例1,0 zz)1(21 z.2| 1|

9、 z,d)1(2)1(001 nznnnzz 02)1()1(21nnnnz2/ )1(1121 z,) 1(2) 1(01 nnnnz11 011,)1(112)1(2ln)(nnnnznzf.2| 1| zp92 例例4.11 修改修改 14(1)21 z21121z ,201 nnnz.2| z解解12)(2 zczbzazf,12212 zzz122 zz(2)(122zz ,)1()2(02 nnnzz.1| z,)1()1(22)(0120201 nnnnnnnnnzzzzf.1| z將函數(shù)將函數(shù)例例在在0 z)1)(2(32)(22 zzzzf點展開為冪級數(shù)。點展開為冪級數(shù)。15

10、,4sin!)2()(0 nnnznnzf 00!)1 (21!)1 (21nnnnnnzniiznii解解izfz iz iz2)(eee )(21)1()1(eezizii .| z 0!)1()1(21nnnnzniii.| z將函數(shù)將函數(shù)例例在在0 zzzfzsin)(e 點展開為冪級數(shù)。點展開為冪級數(shù)。 0!ennznz164.4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)一、含有負冪次項的一、含有負冪次項的“冪級數(shù)冪級數(shù)”二、洛朗二、洛朗( (laurent) )定理定理三、將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的三、將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的方法方法17一、含有負冪次項的一、含有負冪次項的“冪級數(shù)冪級數(shù)”1. 問題分析問題分析

11、設(shè)想設(shè)想 這樣一來，在整個復(fù)平面上就有這樣一來，在整個復(fù)平面上就有若若 ，,1|1 z1| z有有 從而可得從而可得zzz111111 .11132 zzz; )1| (,1112 zzzz. )1| (,1111132 zzzzz18一、含有負冪次項的一、含有負冪次項的“冪級數(shù)冪級數(shù)”1. 問題分析問題分析啟示啟示 如果如果不限制不限制一定要展開為只含正冪次項的冪級數(shù)的話，一定要展開為只含正冪次項的冪級數(shù)的話，即如果引入負冪次項，那么就有可能將一個函數(shù)在整個即如果引入負冪次項，那么就有可能將一個函數(shù)在整個復(fù)平面上展開復(fù)平面上展開( (除了奇點所在的圓周上除了奇點所在的圓周上) )。 在引入了

12、負冪次項以后，在引入了負冪次項以后，“冪級數(shù)冪級數(shù)”的收斂特性如何呢？的收斂特性如何呢？ 下面將討論下列形式的級數(shù)下面將討論下列形式的級數(shù):.)()(202010 zzazzaa101202)()( zzazza nnnzza)(0洛朗洛朗級數(shù)級數(shù)19一、含有負冪次項的一、含有負冪次項的“冪級數(shù)冪級數(shù)”分析分析2. 級數(shù)級數(shù) 的收斂特性的收斂特性 nnnzza)(0將其分為兩部分：將其分為兩部分：正冪次項部分正冪次項部分與與負冪次項部分負冪次項部分。;)()(202010 zzazzaa 00)(nnnzza(a) 10)(nnnzza.)()(202101 zzazza(b)(1) 對于對于

13、 (a) 式，其收斂域的形式為式，其收斂域的形式為;|20rzz (2) 對于對于 (b) 式，其收斂域的形式為式，其收斂域的形式為;|10rzz 根據(jù)上一節(jié)的討論可知：根據(jù)上一節(jié)的討論可知：20一、含有負冪次項的一、含有負冪次項的“冪級數(shù)冪級數(shù)”結(jié)論結(jié)論2. 級數(shù)級數(shù) 的收斂特性的收斂特性 nnnzza)(0(1) 如果級數(shù)如果級數(shù) 收斂，收斂， nnnzza)(0.|201rzzr 則其收斂域則其收斂域“一定一定”為環(huán)域：為環(huán)域： 如果只含如果只含正正冪次項冪次項( (或者加上有限個負冪次項或者加上有限個負冪次項) )，特別地特別地則其收斂域為：則其收斂域為：rzz |00.|00rzz

14、或或 如果只含如果只含負負冪次項冪次項( (或者加上有限個正冪次項或者加上有限個正冪次項) )，則其收斂域為：則其收斂域為：.|0 zzr21一、含有負冪次項的一、含有負冪次項的“冪級數(shù)冪級數(shù)”結(jié)論結(jié)論2. 級數(shù)級數(shù) 的收斂特性的收斂特性 nnnzza)(0(1) 如果級數(shù)如果級數(shù) 收斂，收斂， nnnzza)(0.|201rzzr 則其收斂域則其收斂域“一定一定”為環(huán)域：為環(huán)域：而且具有與冪級數(shù)同樣的而且具有與冪級數(shù)同樣的運算性質(zhì)運算性質(zhì)和和分析性質(zhì)分析性質(zhì)。(2) 級數(shù)級數(shù) 在收斂域內(nèi)其在收斂域內(nèi)其和函數(shù)和函數(shù)是是解析解析的的, nnnzza)(0下面定理將給出如何將一個函數(shù)在其解析環(huán)域內(nèi)

15、展開下面定理將給出如何將一個函數(shù)在其解析環(huán)域內(nèi)展開為上述形式的級數(shù)。為上述形式的級數(shù)。22r2z0r1d二、洛朗二、洛朗( (laurent) )定理定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在圓環(huán)域在圓環(huán)域定理定理)(zf,)()(0 nnnzzazfc 為在圓環(huán)域內(nèi)繞為在圓環(huán)域內(nèi)繞 的任何一條簡單閉曲線。的任何一條簡單閉曲線。0z解析解析,201|:rzzrd 內(nèi)內(nèi)在此在此圓環(huán)域中展開圓環(huán)域中展開為為則則 一定能一定能)(zf,d)()(2110 cnnzfia , ),2,1,0( n其中，其中，證明證明 ( (略略) ) c p94定理定理 4.7 23注注 (1) 洛朗級數(shù)中的洛朗級數(shù)中的正冪次項正冪次項和

16、和負冪次項負冪次項分別稱為洛朗級數(shù)分別稱為洛朗級數(shù)二、洛朗二、洛朗( (laurent) )定理定理的的解析部分解析部分和和主要部分主要部分。(2) 一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正負冪次項一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正負冪次項的級數(shù)的級數(shù)是唯一的是唯一的。(3) 若函數(shù)若函數(shù) 在圓環(huán)在圓環(huán) 內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則 在在rzz |00)(zf)(zf在此圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開式就是在此圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開式就是泰勒展開式泰勒展開式。24三、將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的三、將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的方法方法1. 直接展開法直接展開法 根據(jù)洛朗定理，在根據(jù)洛朗定理，在指定指定的解析環(huán)上的解析環(huán)上.d)()

17、(2110 cnnzfia r2 z0r1cd直接計算展開系數(shù)：直接計算展開系數(shù)： 有點繁！有點煩！有點繁！有點煩！25三、將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的三、將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的方法方法 根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開式，通過有理運算、根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開式，通過有理運算、代換運算、逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法展開。代換運算、逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法展開。 兩個重要的已知展開式兩個重要的已知展開式,! 3! 21!032e nnzzzznz.| z,111320zzzzznn .1| z2. 間接展開法間接展開法26解解)(e432313! 41! 31! 2111 zzzzzzz,! 41!

18、 31! 223 zzzz在在 內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。例例 把函數(shù)把函數(shù)zzzf13e)( | z |0.0 | z |27三、將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的三、將函數(shù)展開為洛朗級數(shù)的方法方法都都需要根據(jù)函數(shù)的奇點位置需要根據(jù)函數(shù)的奇點位置，將復(fù)平面，將復(fù)平面( (或者題目指定或者題目指定無論是無論是直接展開法直接展開法還是還是間接展開法間接展開法，在求展開式之前，在求展開式之前，注意注意的展開區(qū)域的展開區(qū)域 ) )分為若干個解析環(huán)。分為若干個解析環(huán)。比如比如 設(shè)函數(shù)的奇點為設(shè)函數(shù)的奇點為,321zzz展開點為展開點為,0z則復(fù)平面則復(fù)平面被分為四個解析環(huán)：被分為四個解析環(huán)：0z1z2z

19、3zr1r2r3;|010rzz ;|201rzzr .|03 zzr;|302rzzr 2812函數(shù)函數(shù) 有兩個奇點：有兩個奇點：)(zf,2,1 zz以展開點以展開點 為中心，為中心，0 z將復(fù)平面分為三個解析環(huán)：將復(fù)平面分為三個解析環(huán)：解解 (1) 將復(fù)平面分為若干個將復(fù)平面分為若干個解析環(huán)解析環(huán);1|0 z;2|1 z.|2 z(2) 根據(jù)需要將函數(shù)進行適當(dāng)?shù)姆纸庾冃胃鶕?jù)需要將函數(shù)進行適當(dāng)?shù)姆纸庾冃?2( )1(1)( zzzf.2111zz p97 例例4.13 將函數(shù)將函數(shù)例例在在0 z)2)(1(1)( zzzf點展開為洛朗級數(shù)。點展開為洛朗級數(shù)。29解解12 當(dāng)當(dāng) 時，時，1|

20、0 z(3) 將函數(shù)在每個將函數(shù)在每個解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開內(nèi)分別展開zzzf 2111)(21121z z 11.21101)( nnnz 0221nnnz 0nnz將函數(shù)將函數(shù)例例在在0 z)2)(1(1)( zzzf點展開為洛朗級數(shù)。點展開為洛朗級數(shù)。p97 例例4.13 30解解12 當(dāng)當(dāng) 時，時，2|1 z(3) 將函數(shù)在每個將函數(shù)在每個解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開內(nèi)分別展開zzzf 2111)(21121z zz1111 011nnzz 0221nnnz.210101 nnnnnzz將函數(shù)將函數(shù)例例在在0 z)2)(1(1)( zzzf點展開為洛朗級數(shù)。點展開為洛朗級數(shù)。p97 例例4.13 31解解12 當(dāng)當(dāng) 時，時， |2z(3) 將函數(shù)在每個將函數(shù)在每個解析環(huán)解析環(huán)內(nèi)分別展開內(nèi)分