北京郵電大學(xué)高等數(shù)學(xué)習(xí)題課一zh

1、1第一次習(xí)題課第一次習(xí)題課 一、內(nèi)容及要求一、內(nèi)容及要求 1 理解多元函數(shù)、多元函數(shù)的極限、連續(xù)、理解多元函數(shù)、多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)及全微分的定義偏導(dǎo)數(shù)及全微分的定義. 2 會(huì)求一些二元函數(shù)的極限、能判別函數(shù)的會(huì)求一些二元函數(shù)的極限、能判別函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性.4 理解多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系理解多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系 3 能利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算多元函數(shù)能利用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算多元函數(shù)的一階二階偏導(dǎo)，會(huì)求多元函數(shù)的全微分的一階二階偏導(dǎo)，會(huì)求多元函數(shù)的全微分.2 5 熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（重點(diǎn)）的計(jì)算（重

2、點(diǎn)）注：多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)注：多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，),(),(),(yxvyxuvufz ),(),(yxyxfz 變量關(guān)系圖變量關(guān)系圖 uvzxy則有則有 xvxuffxvvzxuuzxz yvyuffyvvzyuuzyz 鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t“連線相乘，分線相加連線相乘，分線相加”（1）3（2）幾種變形幾種變形 )(),(),(),(tztytxzyxfu dtdzzudtdyyudtdxxudtdu uxyzt(i)多個(gè)中間變量，一個(gè)自變量多個(gè)中間變量，一個(gè)自變量uzxy(ii)一個(gè)中間變量，多個(gè)自變量：一個(gè)中間變量，多個(gè)自變量： ,)(xufxududzxz ),(),(yxuufz

3、yufyududzyz )( 4(iii)中間變量與自變量混合存在中間變量與自變量混合存在:xuffxzux yuffyzuy xyuzxy（3）全微分形式的不變性）全微分形式的不變性: z=f (u，v)， u，v 不管是自變量還是中間變不管是自變量還是中間變量，有量，有dvvzduuzdz ),(),(yxuuuyxfz （4）復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算）復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(難點(diǎn)難點(diǎn)),(),(),(yxvyxuvufz 求求zxx , zxy ,zyy 時(shí)應(yīng)該注意到時(shí)應(yīng)該注意到fu , , fv仍是復(fù)合函數(shù)仍是復(fù)合函數(shù).56 熟練掌握隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算熟練掌握隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)

4、算（2）方程組的情形）方程組的情形(i)(i)公式法；公式法； (ii)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；(iii) 一階全微分形式的不變性一階全微分形式的不變性 。 求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法：確定自變量及因變量，各方程對(duì)某確定自變量及因變量，各方程對(duì)某一個(gè)自變量求偏導(dǎo)，解方程組求得各因變量對(duì)這個(gè)一個(gè)自變量求偏導(dǎo)，解方程組求得各因變量對(duì)這個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)自變量的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù)或?qū)?shù)) . 一般：變量個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù)一般：變量個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù)=自變量個(gè)數(shù)自變量個(gè)數(shù) （1）單個(gè)方程的情形）單個(gè)方程的情形 理論基礎(chǔ)是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，具體計(jì)算有理論基礎(chǔ)是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，具體計(jì)算有三種方法三種方法: 6二

5、、典型例題分析二、典型例題分析 1 、填充、填充 001(1)lim()cosxyxyxy(2) lim(1)yxkyxy0ke7(5)arctan,xyyzzx(6),yzxdz 013201),3sin()7(yxxuxzyzzzyu求求確定，確定，由由22222)(yxxy xdyxdxyxyyln1 3cos8）偏導(dǎo)連續(xù)？）偏導(dǎo)連續(xù)？（）可微？）可微？（）偏導(dǎo)是否存在？）偏導(dǎo)是否存在？處（處（在在討論討論321)0 , 0()0 , 0(),(0)0 , 0(),(1sin)(),(2222 yxyxyxyxyxfxfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 01s

6、inlim220 xxxx 0)0 , 0( yf同理同理220)0 , 0()0 , 0(limyxyfxfzyxx 例例解解92222221cos21sin2),(yxyxxyxxyxfx 2222221cos21sin2),(yxyxyyxyyxfy 不存在不存在)21cos121sin2(lim),(lim2200 xxxxyxfxxyxxxy 處偏導(dǎo)不連續(xù)處偏導(dǎo)不連續(xù)在在)0 , 0(),(yxfx01sin)(lim2222220 yxyxyxx 處可微處可微在在)0 , 0(),(yxf10例例3 3解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)

7、數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè))1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx 11xyzyxz 22)(2214fxfxx 3411112224()2yx fxf yfxfx)(222212xyfyfx .2422114213f yf yxfxfx ),(3xyxyfxz 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)閒12)(312fefyyxzy )(333231312yuffefeyuffyy )(333231312yyyyxeffefexeff 3323231312fxefefefxefyyyy 例

8、例4 設(shè)設(shè)z=f (x，y，u)，u=xey，f 具有二階連續(xù)偏具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，求 yxz 2xuffxz 31解解zxyuxy,31fefy yfefeyfyy 331132222(),zzf xyfx 設(shè)設(shè)其其中中 具具有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，求求xfxz2 22222zfxfxx fxf 242例例5解解1423,23),(tsytsxyxfu 而而的所有二階偏導(dǎo)連續(xù)，的所有二階偏導(dǎo)連續(xù)，設(shè)設(shè)21,23,23,21 tytxsysxsyyusxxusu yuxu 2321222222222222)uuuuxystuuuuxyst證證明明（及及例例6證明證明15yyyxxxuuu

9、432341 yxuutu2123 同理：同理：yyxyxxuuutu41234322 代入得證。代入得證。221322xxxyyxyyuxyxyuuuusssss232123232121yyyxxyxxuuuu 16例例7 可可微微，證證明明，設(shè)設(shè)fxyfxz)11(11 .222zyzyxzx 證明：證明：2221)( 11xufxxzz 兩端求對(duì)兩端求對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，得的偏導(dǎo)數(shù)，得 兩端同乘以兩端同乘以x2z2：)1()( 222ufzxzxz 兩端求對(duì)兩端求對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)：的偏導(dǎo)數(shù)： )1()( 122yufyzz 兩端同乘以兩端同乘以y2z2：)2()( 22ufzyzy ( (1) )

10、式式+( (2) )式式 222zyzyxzx 即即得得17例例8 可微，求可微，求設(shè)設(shè)fxzyyzxf, 0),( ,xz .,dzyz 解：解：方程兩端求對(duì)方程兩端求對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，有的偏導(dǎo)數(shù)，有0)1()11(221 xzxxzfxzyf解得解得 2112211fxfyfxzfxz 1222111)(fyfxfyzfyz dyfyfxfyzf1222111)( dxfxfyfxzfdz2112211 方程兩端求對(duì)方程兩端求對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，有的偏導(dǎo)數(shù)，有18或利用全微分形式的不變性求偏導(dǎo)或利用全微分形式的不變性求偏導(dǎo) 0)()(21 xzydfyzxdf0)()(2221 xzdxxdzdyf

11、yzdyydzdxf整理可得整理可得dyyzffdxxzffdzfxfy)()()11(21222121 由此可求得由此可求得 19)(221xzffx 221)(fyzfy 也可利用公式，令：也可利用公式，令：)()(xzyzyxfzyx ， xfyfz1121 于是于是2122111fxfyfxzfxzzx 2112211fxfyfyzfyzzy 20例例9 9 . 設(shè)設(shè) ，其中，其中f、g具有一階連續(xù)偏數(shù)，具有一階連續(xù)偏數(shù)， ),(),(2yvxugvyvuxfu.xvxu ，求求解解所給方程兩端對(duì)所給方程兩端對(duì)x求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得 xvvygxugxvxvfxuxufxu21,212

12、1整理可得整理可得 )12()1(121121gxvvygxugufxvfxuxf2112212121)12)(1(121gfgvyfxgvygffxj 122112212121)12)(1()12(121gfgvyfxgfgvyfugvygffujxu 12211111111)12)(1()1(11gfgvyfxfufxgggfufxjxv 22例例10. 設(shè)設(shè)y=f (x，t)，而，而t是由方程是由方程f(x，y，t)=0所確所確定的定的x、y的函數(shù)，其中的函數(shù)，其中f，f都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證明數(shù)，試證明tfyftfxftftfxfdxdy 證法一證法一：首先分析一

13、下變量間的關(guān)系。：首先分析一下變量間的關(guān)系。由式（由式（1）可確定一元函數(shù)）可確定一元函數(shù)y=y(x)。（1）式兩端對(duì)）式兩端對(duì)x求導(dǎo)得求導(dǎo)得 t是由方程是由方程f(x，y，t)所確定的所確定的x、y的函數(shù)，的函數(shù)，t=t(x，y)，于是有于是有 y=f x，t(x，y) (1)23t是是f(x，y，t)=0確定的確定的x、y 的函數(shù)，由隱函數(shù)的函數(shù)，由隱函數(shù)求導(dǎo)法知求導(dǎo)法知 ,tfxfxt )3(.tfyfyt 將（將（3）式代入（）式代入（2）式，并從中解出）式，并從中解出dxdy即得所欲證之等式。即得所欲證之等式。 )2( dxdyytxttfxfdxdy24證法二：證法二： 將所給兩方

14、程聯(lián)立：將所給兩方程聯(lián)立： , 0),(, 0),(tyxftxfy方程組中含兩個(gè)方程、三個(gè)變量，可確定兩個(gè)一元方程組中含兩個(gè)方程、三個(gè)變量，可確定兩個(gè)一元函數(shù)函數(shù)y=y(x)，t=t(x)。方程組中的兩個(gè)方程兩端分別對(duì)。方程組中的兩個(gè)方程兩端分別對(duì)自變量自變量x求導(dǎo)，有求導(dǎo)，有 . 0, 0dxdttfdxdyyfxfdxdttfxfdxdy解上面的方程組解上面的方程組tfyftfxftftfxfdxdy 25證法三證法三：利用全微分形式不變性：利用全微分形式不變性 0dtfdyfdxfdtfdxfdytyxtx dy解出解出dxtfyftfxftftfxf tfyftfxftftfxfdxdy 26).1(),1(),(,(),)1 , 1(,)1 , 1(, 1)1 , 1(),( 求求（又記又記可微，可微，設(shè)函