第9講初等函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)fxf

1、第九講連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1 高等數(shù)學(xué)第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性 二、反函數(shù)的連續(xù)性 三、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 四、初等函數(shù)的連續(xù)性第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性2 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性 tan,cotxx在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)定理定理1則它們的則它們的設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )f x和和( )g x在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù),積積,fg 和和(差差)(當(dāng)當(dāng)fg 及商及商fg0()0g x 時(shí)時(shí)) 都在點(diǎn)都在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù).例如例如sin,cosxx在在(,) 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù).

2、第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性3 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)二、反函數(shù)的連續(xù)性 定理定理2sinyx 在在,22 上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)arcsinyx 在在 1, 1 上也單調(diào)增加且連續(xù)上也單調(diào)增加且連續(xù)如果函數(shù)如果函數(shù)( )yf x 在區(qū)間在區(qū)間xi上單調(diào)增加上單調(diào)增加( 或單調(diào)減少或單調(diào)減少)且連續(xù)且連續(xù), 那么它的反函數(shù)那么它的反函數(shù)1( )yfx 增加增加( 或單調(diào)減少或單調(diào)減少)且連續(xù)且連續(xù).也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間 ( ),yxiy yf xxi 上單調(diào)上單調(diào)例如例如第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性4 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)三、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性000lim)lim

3、( )().xxuuf g xf uf u 定理定理30().f gu xd 00lim),xxg xu 復(fù)合而成復(fù)合而成 若若函數(shù)函數(shù)( )yf u 0u在在連續(xù)連續(xù) 則則 例例1 求下列各極限：求下列各極限： 01(1)limsin()xxex (2) lim sin(1)xxx0log (1)(3)limaxxx 000lim )()lim)xxxxf g xf ufg x ( )yf g x ( )yf u ( )ug x 由函數(shù)由函數(shù)與函數(shù)與函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)000lim),lim( ),uuxxf ug xua , 0 00 000lim)lim( ).xxuuf g xf ua 若

4、若當(dāng)當(dāng)且存在且存在時(shí)時(shí), ,有有 (,)xu x o0 00 00),g xu 則則 ( )yf g x ( )ug x 0().f gu xd 定理定理6 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)由函數(shù)由函數(shù)與函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成復(fù)合而成 ( )yf u (p48)第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性5 高等數(shù)學(xué)( )ug x 0 xx 00(),g xu ( )yf g x 0 xx 定理定理4（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）若若函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)連續(xù), ,且且而函數(shù)而函數(shù)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)000lim)().xxf g xf uf g x 也連續(xù)也連續(xù) 即即 ( )yf u 在點(diǎn)在點(diǎn)0uu (

5、 )yf g x ( )ug x 0().f gu xd 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)由函數(shù)由函數(shù)與函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成復(fù)合而成 ( )yf u 連續(xù)連續(xù), ,第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性6 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例2 求下列各極限：求下列各極限： 3sin0(1)lim(1 2 )xxx (1) 若若0lim( )0,xxu x 則有則有 0( )lim1( )v xxxu x0lim ( ),xxv x e 0lim ( )ln 1( )xxv xu x (2) 若若0lim ( )0,xxu xa 則有則有0( )lim ( )v xbxxu xa 0lim ( ),xxv xb ( )( )(

6、( )0, ( )1)v xyu xu xu x 冪指函數(shù)冪指函數(shù)cos0(2)lim(1 2 )xxx 第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性說(shuō)明說(shuō)明: :7 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)四、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)21yx的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為 1,1 lnsinyx 的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為(2,(21) ),nnnzcos1yx 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?,xnnz 第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性8

7、 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)二、零點(diǎn)定理與介值定理 一、有界性與最值定理閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第十節(jié)第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)9 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)一、有界性與最值定理0( )()f xf x 1最大(小)值定義：,xi 總有總有( )f xi0,xi 在區(qū)間在區(qū)間上有定義上有定義, ,若有若有使得使得設(shè)設(shè)0()f x( )f xi則稱則稱是是在區(qū)間在區(qū)間 上的最大值上的最大值( (最小值最小值),),0( ( )(),f xf x 簡(jiǎn)稱最值簡(jiǎn)稱最值. .第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)10 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)2. 最值定理定理定理1 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定即

8、即: 設(shè)設(shè)( ) ,f xc a b xoyab( )yf x 1 2 則則12, ,a b使使1()min( )axbff x 2()max( )axbff x 取得它的最大值和最小值取得它的最大值和最小值. .第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)11 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué),(0,1)yx xxoy111, 01( )1,13 , 12xxf xxxx xoy1122第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)12 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)bxoya)(xfy 12mm推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)13 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)定理定理2 ( 零點(diǎn)定

9、理零點(diǎn)定理 )xyoab)(xfy ( )0 .f 二、零點(diǎn)定理與介值定理( )f x設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間 ,a b異號(hào)異號(hào)(即即( )( ) 0),f a f b 上連續(xù)上連續(xù), 且且( )f a( )f b與與那么在開(kāi)區(qū)間那么在開(kāi)區(qū)間使使, ( ,)a b內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn)第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)14 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)定理定理3 (介值定理介值定理)及及( )f aa ( )f bb 則對(duì)則對(duì) a 與與 b 之間的任意一個(gè)數(shù)之間的任意一個(gè)數(shù) c ,在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間abxoya)(xfy bc( ).fc ( )f x設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間

10、,a b上連續(xù)上連續(xù), 且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值, 使得使得內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn)( ,)a b推論推論在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值大值之間的任何值 .第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)15 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例1 證明方程證明方程32410 xx一個(gè)根一個(gè)根 .說(shuō)明說(shuō)明: :1,2x 11( )0,28f內(nèi)必有方程的根內(nèi)必有方程的根1(,1)2取取1 ,12的中點(diǎn)的中點(diǎn)3,4x 3( )0,4f 內(nèi)必有方程的根內(nèi)必有方程的根1 3(,)2 4二分法二分法4321x01在區(qū)間在區(qū)間(0,1)內(nèi)

11、至少有內(nèi)至少有則則則則取取0,1的中點(diǎn)的中點(diǎn)第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)16 高等數(shù)學(xué)( , ),a b 例例2 設(shè)設(shè)試證：試證： ( ), ( ),f xg xc a b , ,( )( ),( )( ),f ag af bg b且且( )( )fg 使得使得例例3 任給一張面積為任給一張面積為 a 的紙片的紙片(如圖如圖), 證明必可將它證明必可將它一刀剪為面積相等的兩片一刀剪為面積相等的兩片.xoy)(s第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)17 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)初等函數(shù)在初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)說(shuō)明說(shuō)明: : 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性左、右連續(xù)性.1. .連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性內(nèi)容小結(jié)18 高等數(shù)學(xué)在在1.( )f x上達(dá)到上達(dá)到最大值與最小值最大值與最小值;上上可取最大與最小值之間的任何可取最大與最小值之間的任何值值; ;4. 當(dāng)當(dāng)( ) ( )0f a f b 時(shí)時(shí),