第一型線積分與面積分

1、第六節(jié)第六節(jié)第一型線積分第一型線積分第一型面積分第一型面積分 第一型線積分與面積分第一型線積分與面積分 我們將把積分概念推廣到積分范圍為一段曲線弧或我們將把積分概念推廣到積分范圍為一段曲線弧或一片曲面的情形。一片曲面的情形。曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（第一型線積分第一型線積分）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（第二型線積分第二型線積分）對(duì)面積的曲面積分（第一型面積分第一型面積分 ）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分（第二型面積分第二型面積分 ）本節(jié)討論：本節(jié)討論：1.1.引例引例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l分割分割121,nm mmln用用點(diǎn)點(diǎn)

2、分分 成成 個(gè)個(gè)小小段段，,),(iiis 取取.),(iiiism 求和求和.),(1 niiiism 取極限取極限.),(lim10 niiiism 近似值近似值精確值精確值一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念 一曲線形構(gòu)件在一曲線形構(gòu)件在x o y平面內(nèi)所平面內(nèi)所占位置是一段曲線弧占位置是一段曲線弧l，l上任一上任一點(diǎn)處的線密度點(diǎn)處的線密度(x,y)在在l上連續(xù)上連續(xù).計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量. .10121,.iiinsmm inmamb記記（， ，），= = ，= =,( , ).lxoyf x yl設(shè)設(shè) 為為面面內(nèi)內(nèi)一一條條光光滑滑曲曲線線弧弧 函函數(shù)數(shù)在在

3、 上上有有界界2.定義定義oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l010,lim(,),niiiifs 令令 小小弧弧段段長(zhǎng)長(zhǎng)度度的的最最大大值值若若極極限限存存在在( , ).lf x y ds 記記作作121,.nlm mmln在在 上上任任意意插插入入點(diǎn)點(diǎn)把把 分分成成 個(gè)個(gè)小小段段,iis 設(shè)設(shè)第第 個(gè)個(gè)小小段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為1( ,),( ,),niiiiiiifsfs 作作乘乘積積并并作作和和(,),iii 在在第第 個(gè)個(gè)小小段段上上任任意意取取定定的的一一點(diǎn)點(diǎn)( , )f x yl函函數(shù)數(shù)在在曲曲線線弧弧 上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的曲曲線線積積分分也也叫叫第第一一型型線線

4、積積分分. .( , ),f x yl則則稱稱此此極極限限是是函函數(shù)數(shù)在在曲曲線線弧弧 上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的曲曲線線積積分分01( , )lim(,).niiilif x y dsfs 積分弧段積分弧段類似地可定義類似地可定義( , , )f x y z 函函數(shù)數(shù)在在空空間間曲曲線線弧弧 上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的曲曲線線積積分分為為.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 注意：注意：12(1).(),()llll若或是分段光滑的.),(),(),(2121 lllldsyxfdsyxfdsyxf(2).( , )( , ).lf x ylf x y ds 函數(shù)在閉曲線上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積

5、分記為01( , )lim(,).niiilif x y dsfs 存在條件：存在條件：( , ),( , ).lf x ylf x yds當(dāng)當(dāng)在在 光光 滑滑 曲曲 線線 弧弧 上上 連連 續(xù)續(xù) 時(shí)時(shí)對(duì)對(duì) 弧弧 長(zhǎng)長(zhǎng) 的的 曲曲 線線 積積 分分存存 在在( , )f x yl今今后后總總假假定定在在 上上是是連連續(xù)續(xù)的的. .定理定理 ( ,),( ),(),( ),f x yllxttyt 設(shè)設(shè)在在光光滑滑曲曲線線弧弧上上連連續(xù)續(xù)的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為則則二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn) 化求曲線積分22( , ) ( ), ( )

6、( )( )()lf x y dsftttt dt ( )( )iiiitt設(shè)，上的一個(gè)分割。上的一個(gè)分割。為為證：設(shè)證：設(shè),10 ntttisttii 上上的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)為為相相應(yīng)應(yīng)曲曲線線有有一一分分割割，記記,11iiitttdtttsiitti 1)()(22 iiittt )()(22 連連續(xù)續(xù)上上連連續(xù)續(xù)，在在因因?yàn)闉?()(),(22ttlyxf 2201lim ( ),( )( )( )niiiiiiftttttdtttttf )()()(),(22oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l可積可積)()()(),(22ttttf niiiisf10),(lim max

7、is記( , )lf x y ds 注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定積分的下限定積分的下限特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyl .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbal )(ba .)(:)3( rrl.sin,cos),(22 drrrrfdsyxfl .)(:)2(dycyxl .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcl )(dc 推廣推廣:)().(),(),(: ttztytx222( , , ) ( ),( ),( )( )( )( )f x y z dsftttttt dt 例例1,:liydsl 求求其其 中中 2)(1,0)(1,1

8、).oabab折折線線，其其中中， 21)4 ,(1,2)(1, 2);yxab點(diǎn)點(diǎn)到到一一段段例例2. 計(jì)算曲線積分計(jì)算曲線積分 ,d)(222szyx其中其中 為螺旋線為螺旋線的一段弧的一段弧.)20(,sin,costtkztaytax三、幾何與三、幾何與物理意義物理意義1 ( )( , ),當(dāng)當(dāng)表表示示 的的線線密密度度時(shí)時(shí)f x yl( , );lmf x y ds;,1),()2( ldslyxf弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)3( )( , )( , ),當(dāng)當(dāng)表表示示以以 為為準(zhǔn)準(zhǔn)線線的的柱柱面面在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的高高時(shí)時(shí)f x ylx y.),( ldsyxfs柱柱面面面面積積sl),(yxfz

9、 4xy( ) 均均勻勻曲曲線線弧弧對(duì)對(duì) 軸軸及及 軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量.22xylli =yds,i =xds5( ) 曲曲線線弧弧的的質(zhì)質(zhì)心心坐坐標(biāo)標(biāo),.llllx dsy dsxydsds 26.319y2 2x x例例 （柱柱面面的的側(cè)側(cè)面面積積） 設(shè)設(shè)橢橢圓圓柱柱面面被被5 5平平面面z=yz=y與與z=0z=0所所截截。求求位位于于第第一一、二二卦卦限限內(nèi)內(nèi)所所截截下下部部分分的的側(cè)側(cè)面面積積. .6.4 例例設(shè)設(shè) 有有 半半 圓圓 形形 的的 金金 屬屬 絲絲 ， 質(zhì)質(zhì) 量量 均均 勻勻 分分 布布 ，求求 它它 的的 質(zhì)質(zhì) 心心 和和 對(duì)對(duì) 直直 徑徑 的的 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 動(dòng)動(dòng) 慣

10、慣 量量 。三、對(duì)面積的曲面積分的概念三、對(duì)面積的曲面積分的概念引例引例: 求求具有連續(xù)面密度 的曲面形構(gòu)件的質(zhì)量.( , , )x y zoxyz類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用可得 “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,kkkks),(nk 10limm其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者). ),(kkkks 定義定義記為記為 dszyxf),(.叫被積函數(shù)，叫被積函數(shù)，其中其中),(zyxf.叫叫積積分分曲曲面面 則對(duì)面積的曲面積分存在則對(duì)面積的曲面積分存在.即即),(zyxf若在光滑曲面在光滑曲面 上連續(xù)上連續(xù), 定理定理 對(duì)

11、積分域的可加性.,21則有szyxfd),(1d),(szyxf2d),(szyxfszyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkszyxgkszyxfkd),(d),(21對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似.若 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面四、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法四、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 1.曲面面積的計(jì)算曲面面積的計(jì)算3,rs設(shè)設(shè)空空間間有有一一曲曲面面其其參參數(shù)數(shù)方方程程為為( , )( ( ,( , ), ( , )rr u vx u vy u vz u v）, ,（u,vu,v） d d212300,( , ),(, ),(,),( ,

12、)(,).vcdu vm uu vmuu vvmu vvuv 1 1 我我們們用用微微元元法法來(lái)來(lái)討討論論曲曲面面的的面面積積。用用坐坐標(biāo)標(biāo)線線u u= =c c把把區(qū)區(qū)域域 劃劃分分成成若若干干小小區(qū)區(qū)域域，考考察察其其中中一一個(gè)個(gè)以以點(diǎn)點(diǎn)m m為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的小小矩矩形形，123123( , ),(, ),(,),( ,),u vm uu vmuu vvm u vvsp p p ps 設(shè)設(shè)在在映映射射r r下下,m,m的的像像點(diǎn)點(diǎn)分分別別為為曲曲面面 上上的的所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。oxyzks 由由于于221223(, )( , )( ()() )( ,)( , )( ()() )uu

13、vvppr uu vr u vruouvruppr u vvr u vrvouvrv ,uvru rvsmuv分分別別為為曲曲面面 上上過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)的的u u曲曲線線和和v v曲曲線線的的切切向向量量，當(dāng)當(dāng)，都都很很小小時(shí)時(shí)，有有|uvdsrrdudv| |uvuvsru rvrru v 。00,uv令令取取極極限限，得得|uvdsrrdudvs從從而而曲曲面面 的的面面積積為為24|.dsrrd dr r例例6.5 6.5 求求半半徑徑為為 的的球球面面的的面面積積。解解 球球面面的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為os ,sinsin ,cosrsin cyrzrx=x=0 20( , ) , , d 0

14、(sin ,sinos , ),(cosos ,cossin ,sin )rrsinrcrrcrr 經(jīng)經(jīng)計(jì)計(jì)算算知知，2|sinrrr于于是是22|1.xyxyxyxyddsrrdxdyzz dxdy :( , ),xyzz x yxoydx y 若若曲曲面面在在面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閷⒖纯闯沙蓞?shù)數(shù)，此此曲曲面面的的向向量量方方程程為為, , ( , ) ,r = r(x,y)= (x y z x y )從從而而(1,0,),(0,1,)xxyyrzrz于于是是22|1xyxyrrzz所所以以221;xzxzdyy dxdzds則s=221.yzyzdxx dydzsds則則:

15、( , )若若曲曲面面在在面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閤zyy x zxozd :( , )若若曲曲面面在在y y 面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閥zxx y zozd 2.對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 定理定理: 設(shè)有光滑曲面( , )( ( ,( , ), ( , )rr u vx u vy u vz u v）, ,（u,vu,v） d df (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有szyxfd),(szyxfd),(則曲面積分( ( , ), ( , ), ( , )|uvdf x u vy u vz u vrrdudvoxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面yxd

16、yxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有szyxfd),(yxdyxf),(szyxfd),( , )z x y221d( , )( , )dxyzx yzx yx y則曲面積分yxd),(kkkyxk)(ks 22 , ( , ), 1;xzxzdf x y x zzyy dxdz( , , )f x y z ds則22 ( , ), , 1.yzyzdf x y zy zxx dydz dszyxf),(則則:( , )若若曲曲面面在在面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閤zyy x zxozd :( , )若若曲曲面面在在y y 面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉閥zxx y zozd 2,12dzdsdyzz2 例6.7 計(jì)算其中曲面 是圓錐面z= x上介于與間的部分。yxd例例1. 計(jì)算曲面積分,dzs其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxdyxyxaz),( ,:2222222:hayxdyx221yxzz 222yxaazsd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxdyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha例例2. 計(jì)算dxyz s 其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.