第3章微分中值定理與導數(shù)的應用第五節(jié)

1、第三章第三章 oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x一、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值函數(shù)的極值與最大值最小值設設函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x的的某某個個鄰鄰域域),(0 xu有有定定義義, ,且且當當),(0 xux 時時, ,恒恒有有)()(0 xfxf , ,則則稱稱)(0 xf為為)(xf的的一一個個極極大大值值；如如果果當當),(0 xux 時時, ,恒恒有有)()(0 xfxf , ,則則稱稱)(0 xf為為)(xf的的一一個個極極小小值值. . 定義定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱

2、為極值極值,使函數(shù)取得極值使函數(shù)取得極值的點稱為的點稱為極值點極值點.注注：極值是局部性的概念：極值是局部性的概念, ,極大值不一定比極小值大極大值不一定比極小值大. . oxy0 xoxy0 x定理定理1 1( (必要條件必要條件) )由費馬引理可知，由費馬引理可知，若若)(xf在在極極值值點點0 x .0)( 0 xf處處可可導導，則則導數(shù)等于零的點稱為導數(shù)等于零的點稱為駐駐點點. . 對可導函數(shù)來講對可導函數(shù)來講, ,極值點必為駐點極值點必為駐點, , 但駐點只是極值點的必要條件但駐點只是極值點的必要條件, ,不不是充分條件是充分條件. . 如如3xy 的的駐駐點點為為0 x, ,但但它

3、它不不是是極極值值點點. . 如如xy 在在0 x處處不不可可導導, ,但但卻卻是是極極小小值值點點. . 另一方面另一方面, , 不可導點不可導點也可能是極值點也可能是極值點, , x yo3xy x yoxy 這就是說這就是說, ,極值點要么是駐點極值點要么是駐點, ,要么是不可要么是不可導點導點, ,兩者必居其一兩者必居其一. . 我們把駐點和孤立的不可導點統(tǒng)稱為我們把駐點和孤立的不可導點統(tǒng)稱為極值極值嫌疑點嫌疑點. . 下面給出兩個充分條件下面給出兩個充分條件, ,用來判別這些嫌疑用來判別這些嫌疑點是否為極值點點是否為極值點. . 定理定理2(2(極值存在的第一充分條件極值存在的第一充

4、分條件) )xyoxyo0 x0 x 設設函函數(shù)數(shù))(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù), ,在在0 x的的某某去去心心鄰鄰域域),(0 xu內內可可導導. . (1) (1) 若若),(00 xxx 時時, ,0)( xf, , ),(00 xxx時時, ,0)( xf, , 則則0 x為極大值點；為極大值點； ( (2 2) ) 若若),(00 xxx 時時, ,0)( xf, , ),(00 xxx時時, ,0)( xf, , 則則0 x為極為極小小值點；值點； ( (3 3) ) 如如果果在在上上述述兩兩個個區(qū)區(qū)間間內內)(xf 同同號號, ,則則 0 x不不是是極極值值點點. . xyoxy

5、o0 x0 x 一階導數(shù)一階導數(shù)變號法變號法例例1 1解解.593)(23的的極極值值求求函函數(shù)數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點得駐點列表討論列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 ,)3)(1(3 xx593)(23 xxxxfmm圖形如下圖形如下例例2 2解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時時當當xfx 時，時，當當2 x; 0)( xf時，時

6、，當當2 x. 0)( xf.)(1)2(的極大值的極大值為為xff .)(在該點連續(xù)在該點連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xfm定理定理3(3(極值存在的第二充分條件極值存在的第二充分條件) )設設函函數(shù)數(shù))(xf在在它它的的駐駐點點0 x處處二二階階可可導導, ,則則 ( (1 1) ) 如如果果0)(0 xf, ,則則 0 x為為極極小小值值點點； ( (2 2) ) 如如果果0)(0 xf, ,則則 0 x為為極極大大值值點點； ( (3 3) ) 如如果果0)(0 xf, ,則則無無法法判判斷斷. . 稱為稱為“二階導數(shù)非零法二階導數(shù)非零法”(1)(1)記憶記憶: :幾何直觀；幾何直觀； ( (3

7、3) )當當0)(0 xf時時, ,失失效效, ,如如: :32, xx在在0 x處處 . . xyo0 x xyo0 x 說明說明：(2) (2) 此此法只適用于駐點法只適用于駐點,不能用于判斷不能用于判斷不可導點；不可導點； 例例3 3解解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得駐點得駐點, )2)(4(3 xx,66)( xxf )4(f, 018 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f, 018 )2(f故極小值故極小值.48 mm20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如下(1) 確定函數(shù)的定

8、義域；確定函數(shù)的定義域； (4) 用極值的第一或第二充分條件判定用極值的第一或第二充分條件判定. .注意注意 第二充分條件只能判定駐點的情形第二充分條件只能判定駐點的情形. . 求極值的步驟求極值的步驟: :);(2)xf 求導數(shù)求導數(shù)(3) 求定義域內部的極值嫌疑點求定義域內部的極值嫌疑點(即駐點或即駐點或 一一階導數(shù)不存在的點階導數(shù)不存在的點) )； oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上上的的最最大大值值與與最最小小值值存存在在上上連連續(xù)續(xù)，則則在在若若函函數(shù)數(shù)baxfbaxf二、函數(shù)的最大值、最小值問題二、函數(shù)的最大值、最小值問題極值是局部性的極值是局部性的, ,而最值是全

9、局性的而最值是全局性的. . 具體求法：具體求法： ( (1 1) ) 求求出出定定義義域域內內部部的的極極值值嫌嫌疑疑點點( (駐駐點點和和不不可可導導點點) ) kxx,1, ,并并算算出出函函數(shù)數(shù)值值), 2 , 1()(kixfi ； (2) (2) 求出端點的函數(shù)值求出端點的函數(shù)值)(),(bfaf； ( (3 3) ) 最最大大值值 )(),(),(,),(max1bfafxfxfmk 最最小小值值 )(),(),(,),(min1bfafxfxfmk . 14123223 xxxy例例4 4解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最小值上的最大值與

10、最小值的在的在求函數(shù)求函數(shù) xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx計算計算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f，最大值最大值142)4( f比較得比較得. 7)1( f最小值最小值1 1）如如果果)(xf在在,ba上上單單調調, ,則則它它的的最最值值必必在在端端點點處處取取到到； 2 2）如果）如果)(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù), ,且在且在 ),(ba內可導內可導, ,且有惟一駐點且有惟一駐點, , 更進一步更進一步, ,若若實際問題實際問題中有最大中有最大( (小小) )值值, ,且有且有惟一駐點惟一駐點, ,則不必判斷極大還是極小則不

11、必判斷極大還是極小, ,立即可以斷立即可以斷定該駐點即為最大定該駐點即為最大( (小小) )值點值點. . 則則若為極小值點必為最小值點，若若為極小值點必為最小值點，若為極大值點必為最大值點；為極大值點必為最大值點； 說明說明: :axa2x 將邊長為將邊長為a的正方形鐵皮的正方形鐵皮,四角各截去相同的小四角各截去相同的小正方正方形形, ,折成一個無蓋方盒折成一個無蓋方盒, ,問如何截問如何截, ,使方盒的容使方盒的容積最大？為多少？積最大？為多少？ 設小正方形的邊長為設小正方形的邊長為x，則方盒的容積為則方盒的容積為 例例5 5解解a2x 將邊長為將邊長為a的正方形鐵皮的正方形鐵皮,四角各截

12、去相同的小四角各截去相同的小正方正方形形, ,折成一個無蓋方盒折成一個無蓋方盒, ,問如何截問如何截, ,使方盒的容使方盒的容積最大？為多少？積最大？為多少？ 求導得求導得設小正方形的邊長為設小正方形的邊長為x，則方盒的容積為則方盒的容積為 例例5 5解解，2)2(xaxv ， 2, 0ax，)6)(2(xaxav x惟惟一一駐駐點點 6ax , , 所所以以當當6ax 時時, ,v有有最最大大值值 32726aav . . ，axv824 ，046 aav 將邊長為將邊長為a的正方形鐵皮的正方形鐵皮,四角各截去相同的小四角各截去相同的小正方正方形形, ,折成一個無蓋方盒折成一個無蓋方盒, ,

13、問如何截問如何截, ,使方盒的容使方盒的容積最大？為多少？積最大？為多少？ 求導得求導得設小正方形的邊長為設小正方形的邊長為x，則方盒的容積為則方盒的容積為 解解，2)2(xaxv ， 2, 0ax，)6)(2(xaxav 例例5 5 要做一個容積為要做一個容積為v的圓柱形罐頭筒，怎樣設計的圓柱形罐頭筒，怎樣設計才能使所用材料最??？才能使所用材料最??？hr設底半徑為設底半徑為r, 高為高為h，總的表面積為總的表面積為例例6 6解解即表面積最小即表面積最小. . 則則容容積積 hrv2 ，2 rvh rhrs 222 ，rvr222 ), 0( r得得惟惟一一駐駐點點 32 vr , 即高與底面

14、直徑相等即高與底面直徑相等. . ，令令024 2 rvrs 由實際問題由實際問題, ,此時表面積最小此時表面積最小. . ，此此時時rrvrrvh2 32 設設10 x, ,1 p, ,證證明明不不等等式式: :1)1 (211 pppxx. . 設設 ppxxxf)1()( , ,則則 比比較較得得)(xf在在 1 , 0上上的的最最大大值值為為 1 1, ,最最小小值值為為121 p, , 例例7 7解解利用最值證明不等式。利用最值證明不等式。11)1 ()( ppxppxxf，令令0.21 x,1) 1 ()0( ff,21)21(1 pf，故故1)(211 xfp.1)1(211 pppxx即即例例8解解, 0)(e0 xfx時時，, 0)(e xfx時時，之之一一，是是故故所所求求的的最最大大項項只只可可能能又又33,2,71828. 2e 是是所所求求的的最最大大項項。故故33.的的最最大大項項求求數(shù)數(shù)列列nn分析分析 數(shù)列是離散函數(shù)數(shù)列是離散函數(shù), ,不能求導不能求導, ,應把應把n改為改為x, ,轉化為連續(xù)轉化為連續(xù)函數(shù)函數(shù), ,再求導再求導. . 設設xxxxxf1)(