第2節(jié)多元函數(shù)的概念56910

1、1第二節(jié)第二節(jié) 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念一、二元函數(shù)的定義與幾何意義一、二元函數(shù)的定義與幾何意義例例1 1設(shè)長方體的長、寬、高分別為設(shè)長方體的長、寬、高分別為x, ,y, ,z， 則長方體的體積則長方體的體積 xyzzyxv )0, 0, 0( zyx 當(dāng)當(dāng)x, ,y, ,z的值分別給定時，按這個公式，的值分別給定時，按這個公式，v 就有一就有一個確定的值與之相對應(yīng)，這時我們就稱個確定的值與之相對應(yīng)，這時我們就稱v是是x, ,y, ,z的三的三元函數(shù)元函數(shù). . 2一、二元函數(shù)的定義與幾何意義一、二元函數(shù)的定義與幾何意義例例2 2在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，著名的在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，著名的cobbdoug

2、las生產(chǎn)函數(shù)為生產(chǎn)函數(shù)為, laky l0 0，k0 0分別表示投入的勞力數(shù)量和資本數(shù)量，分別表示投入的勞力數(shù)量和資本數(shù)量，y表示產(chǎn)量表示產(chǎn)量. .當(dāng)當(dāng)k, ,l的值給定時，的值給定時，y就有一確定值與就有一確定值與之對應(yīng)，因此稱之對應(yīng)，因此稱y是是k, ,l的二元函數(shù)的二元函數(shù). . 以上是多元函數(shù)的實例，下面給出二元函數(shù)的定義以上是多元函數(shù)的實例，下面給出二元函數(shù)的定義. . 這里這里 為常數(shù)，為常數(shù)， ,a3 設(shè)設(shè) d 是平面上的一個點(diǎn)集，如果對于每個點(diǎn)是平面上的一個點(diǎn)集，如果對于每個點(diǎn)dyxp ),(， 變量， 變量z按照一定的法則總有確定的值按照一定的法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱

3、和它對應(yīng)，則稱z是變量是變量yx,的二元函數(shù)，記為的二元函數(shù)，記為 當(dāng)當(dāng)2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù) 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念變量等概念. . 定義定義( , )( ) ,zf x yf pdyx ),(一、二元函數(shù)的定義與幾何意義一、二元函數(shù)的定義與幾何意義4二元函數(shù)的圖形通常是一張二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面曲面.二元函數(shù)的圖形二元函數(shù)的圖形5xyzoxyzsin 再如再如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,球面球面.|

4、 ),(222ayxyxd 222yxaz 222yxaz 單值分支單值分支:6解解 01|3|222yxyx 22242 yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxd 求求222)3arcsin(),(yxyxyxf 的定義域的定義域例例3 3xyo227二、二元函數(shù)的極限二、二元函數(shù)的極限設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000yxp的的某某一一去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義, ,如如果果存存在在常常數(shù)數(shù)a，對對0 , ,0 , ,只只要要 2020)()(0yyxx, ,恒恒有有 定義定義， |),(|ayxf則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz

5、當(dāng)當(dāng)),(),(00yxyx時以時以a為極為極限限, ,記為記為 .),(lim),(),(00ayxfyxyx 8證證證明證明 .01sin)(lim2222)0 , 0(),( yxyxyx|01sin)( |2222 yxyx|1sin|2222yxyx ，22yx , 0 , ，時時當(dāng)當(dāng) )0()0(022 yx， |01sin)( |2222yxyx證畢證畢* *例例4 4恒有恒有無窮小乘以有界變量仍為無窮小無窮小乘以有界變量仍為無窮小. .9例例5 52222)0,0(),(cos1limyxyxyx 2222)0,0(),(2/ )(limyxyxyx .21 在二元極限中，變量

6、替換、等價無窮小替換在二元極限中，變量替換、等價無窮小替換等方法仍然可以使用等方法仍然可以使用. .10例例6 6求求 .lim222)0 , 0(),(yxyxyx 解解由基本不等式由基本不等式, )(21|22yxxy 知知22222221()|22x yx xyxxyxy|0,2x|02x)0 , 0(),(yx由夾逼定理，由夾逼定理，.0lim222)0 , 0(),( yxyxyx222|,22xx yxxy11 在一元函數(shù)的極限中在一元函數(shù)的極限中, ,0 xx 的方式可以任意； 同理的方式可以任意； 同理, ,在二元函數(shù)的極限中在二元函數(shù)的極限中, ,),(),(000yxpyx

7、p的方式更為的方式更為復(fù)雜復(fù)雜, ,它要求它要求p以任何方式趨于以任何方式趨于0p時時, , ),(yxf均趨于均趨于a. .因此因此, ,假如假如p以不同的方式趨于以不同的方式趨于0p時時, ,),(yxf趨于不趨于不同的極限同的極限, ,則說明則說明),(yxf當(dāng)當(dāng)0pp 時無極限時無極限. . (1) 令令),(yxp沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxp, 若若極極限限值值與與 k 有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在； 確定二重極限確定二重極限不存在不存在的方法：的方法：(2) 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使 存在存在, 但兩者不相等但兩者不相等, 此時也

8、可斷言此時也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxp處處極限不存在極限不存在 ),(lim),(),(00yxfyxyx12考考察察22),(yxxyyxf 當(dāng)當(dāng))0 , 0(),(yx時時的的極極限限. . 但但如如果果沿沿射射線線)0( kkxy, ,則則 因因此此, ,當(dāng)當(dāng))0 , 0(),(yx時時, ,22yxxy 無無極極限限. . 例例7 7解解沿沿 x 軸考察軸考察, , ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfyyx沿沿 y 軸考察軸考察, , ，0),(lim0 )0 , 0(),( yxfxyx22 )0 , 0(),(limyxxykxyyx 22220li

9、mxkxkxx ，012 kk13設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000yxp的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義, ,若若 三、二元函數(shù)的連續(xù)性三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義定義，),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 則則稱稱),(yxfz 在在),(00yx處處連連續(xù)續(xù). . 一切二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的一切二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.例如，例如，函函數(shù)數(shù)221yxz 在在1| ),( 22 yxyxd 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). . 14討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性例例8 8故

10、在故在)0 , 0(處不連續(xù)處不連續(xù). . 15在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù). . 注意比較：注意比較： 0, 00,),(2222222yxyxyxyxyxf( (見例見例6)6)討論函數(shù)討論函數(shù)在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性例例8 8 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf16xyxyyx11lim)0 , 0(),( )11(11lim)0 , 0(),( xyxyxyyx111lim)0 , 0(),( xyyx.21 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.例例9 9所以對多元初等函數(shù)來說所以對多元初等函數(shù)來說, , 可以用可以用“代入法代入法”求極求極限限. .yxxyyx elim)1 ,0(),(.1 例例101017二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（3 3）最值定理）最值定理 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域d上的多元連續(xù)函數(shù)，上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在必定在d上有界，且能取得它的最大值和最小值上有界，且能取得它的最大值和最小值（4 4）介值定理）介值定