第一章、第六節(jié)極限運(yùn)算法則

1、第六節(jié)第六節(jié) 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則 一、極限運(yùn)算法則一、極限運(yùn)算法則 二、求極限方法舉例二、求極限方法舉例 三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題一、極限的四則運(yùn)算法則一、極限的四則運(yùn)算法則定理定理則則設(shè)設(shè),)(lim,)(limbxgaxf baxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)1(baxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)2(則則若若, 0)3( bbaxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim一、極限的四則運(yùn)算法則一、極限的四則運(yùn)算法則定理定理則則設(shè)設(shè),)(lim,)(limbxgaxf baxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)

2、1(baxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)2(證明：僅證明結(jié)論（證明：僅證明結(jié)論（3），并考慮極限過程為），并考慮極限過程為由極限與無窮小的關(guān)系，要證明由極限與無窮小的關(guān)系，要證明 baxgxf)()(0lim0 xx其中其中 baxgxf)()(或或0 xx 則則若若, 0)3( bbaxgxfxgxf )(lim)(lim)()(limbaxgxf )()(baba )( bbab,)( bbab令令,)(lim0axfxx ,)( axf0lim0 xx其中其中,)( bxg,)(lim0bxgxx 又又0lim0 xx其中其中0)(limlim00 bbabxxxx

3、只只要要證證明明0)(lim0 abxx有有界界即即可可僅僅需需證證明明)(1 bb證明：僅證明結(jié)論（證明：僅證明結(jié)論（3），并考慮極限過程為），并考慮極限過程為由極限與無窮小的關(guān)系，要證明由極限與無窮小的關(guān)系，要證明 baxgxf)()(0lim0 xx其中其中 baxgxf)()(或或0 xx ,21)(2bbb ,2)(12bbb 故故有界。有界。, 0, 0 b又又, 0 ,00時時當(dāng)當(dāng) xx,2b bbbb21 b21 ,2| b 對于對于baxgxf )()(baba )( bbab,)( bbab令令0)(limlim00 bbabxxxx只只要要證證明明0)(lim0 abxx

4、有有界界即即可可僅僅需需證證明明)(1 bb定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim bbaxgxfbaxgxfbaxgxfbxgaxf其中其中則則設(shè)設(shè)推論推論1 1則則為常數(shù)為常數(shù)而而存在存在如果如果,)(limcxf常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果,)(limnxf推論推論2 2).(lim)(limxfcxcf .)(lim)(limnnxfxf 定理定理,)(lim,)(lim),()(bxaxxx 而而如果如果說明說明： （1）上述關(guān)于函數(shù)極限的四則運(yùn)算法

5、則）上述關(guān)于函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則對數(shù)列極限同樣成立對數(shù)列極限同樣成立.ba 則有則有證明：令證明：令)()()(xxxf , 0)( xf則則由極限的保號性有由極限的保號性有, 0)(lim xf而由極限的四則運(yùn)算性質(zhì)有而由極限的四則運(yùn)算性質(zhì)有)(limxf)()(limxx )(lim)(limxx ba ., 0baba （2）上述運(yùn)算法則可推廣到多個函數(shù)的情形）上述運(yùn)算法則可推廣到多個函數(shù)的情形.二、求極限方法舉例二、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xx

6、xxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小結(jié)小結(jié): :則有則有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110000limlim)(limnnnaxaxa 10100).(0 xf nnxxnxxaxaxa 110)lim()lim(00即當(dāng)即當(dāng) f (x) 是一個關(guān)于是一個關(guān)于 x 的多項(xiàng)式時，有的多項(xiàng)式時，有)()(lim00 xfxfxx 其中其中設(shè)設(shè),)()()(. 2xqxpxf )(lim)(lim)(lim000 xqxpxfxxxxxx )()(00 xqx

7、p ).(0 xf , 0)(0 xq若若nnnaxaxaxp 110)(mmmbxbxbxq 110)(0)(0 xq且且則有則有注意：注意：則上述商的運(yùn)算法則不能用則上述商的運(yùn)算法則不能用.解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的關(guān)系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不

8、為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再求極限再求極限分出無窮小分出無窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 無窮小分出法無窮小分出法: :以分子和分母中自變量的最高次以分子和分母中自變量的最高次冪除分子冪除分子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后

9、再求極限然后再求極限.小結(jié)小結(jié): :為非負(fù)整數(shù)時有為非負(fù)整數(shù)時有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是無限多個無窮小之和是無限多個無窮小之和時時, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.解解,1,為無窮小為無窮小時時當(dāng)當(dāng)xx .sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x例例.sinlimxxx 求求. 0sinlim xxxxxysin xxxsinlim xx

10、xxsinlim1lim 0sinlim0 xx 不存在不存在因?yàn)橐驗(yàn)閤xsinlim 正解正解:, 01lim xx例例6 6).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設(shè)設(shè)yox1xy 112 xy解解兩個單側(cè)極限為兩個單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點(diǎn)是函數(shù)的分段點(diǎn),0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故)(xu 運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)運(yùn)算法則）設(shè)函數(shù)定理（復(fù)合函數(shù)的極限定理（復(fù)合函數(shù)的極限)(lim0 xfxx )(limufau)(xu 令令)(lim0

11、 xaxx 意義：意義：，即，即時的極限存在且等于時的極限存在且等于當(dāng)當(dāng)axaxxxx )(lim00 ，又，又的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)但在點(diǎn)但在點(diǎn)aufaxxau )(lim)(0 ，時的極限也存在時的極限也存在當(dāng)當(dāng)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)0)(xxxf .)(lim)(lim0aufxfauxx 且且例例7 7.11sinlim20 xxxx求求解解, 11sin)(,)(2 xxxxguuuf令令)11sin(lim)(lim200 xxxxgxx由于由于1 11sinlimlim020 xxxxx11sinlim20 xxxx所以所以uu1lim 11 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則的其它幾種形

12、式：復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則的其它幾種形式：設(shè)設(shè) y = f (u) , u = g(x)，,)(lim)1(0 xgxx若若則則而而,)(limaufu aufxgfuxx )(lim)(lim0,)(lim)2( xgx若若則則而而,)(limaufu aufxgfux )(lim)(lim三、小結(jié)三、小結(jié)1、極限的四則運(yùn)算法則及其推論、極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2、極限求法、極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;3、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.思考題思考題1 在某個過程中，若在某個過程中，若 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考題解答思考題解答沒有極限沒有極限假設(shè)假設(shè) 有極限，有極限，)