導數(shù)的幾何意義75720

1、 一條直線與一條曲線有兩個公共點，我們就說這條直線是這條曲線的割線割線，當這兩個點不斷靠近，并重合為一個點時，這條直線就變成了這條曲線的切線。 回顧回顧平均變化率平均變化率割線割線的斜率的斜率oabxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y1212)()(xxxfxfxy1212)()(xxxfxfxyk回顧回顧我們把物體在某一時刻的速度稱為我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度瞬時速度.從函數(shù)從函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是: 由導數(shù)的意義可知由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點在點x0處處的導數(shù)的基本方法是的

2、導數(shù)的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函數(shù)的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均變化率00(3)()lim.xyfxx 取極限，得導數(shù)注意注意:這里的增量不是一般意義上的增量這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負它可正也可負. 自變量的增量自變量的增量x的形式是多樣的的形式是多樣的,但不論但不論x選擇選擇 哪種形式哪種形式, y也必須選擇與之相對應的形式也必須選擇與之相對應的形式.回顧回顧y=f(x)pqmxyoxypy=f(x)qmxyoxy如圖：如圖：pq叫做曲線的割線叫做曲線的割線 那么，它們的那么，它們的 橫坐標相差（橫坐標相差（ ） 縱坐標相差

3、（縱坐標相差（ ） yx請問：是割線pq的什么?xy斜率斜率當當q點沿曲線靠近點沿曲線靠近p時，割線時，割線pq雜么變化？雜么變化？x呢？呢？y呢？呢？pqoxyy=f(x)割割線線切線切線t 我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn),當點當點q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點p即即x0時時,割線割線pq如果有一個極限位置如果有一個極限位置pt.則我則我們把直線們把直線pt稱為曲線在點稱為曲線在點p處的處的切線切線. 設切線的傾斜角為設切線的傾斜角為,那那么當么當x0時時,割線割線pq的斜的斜率率,稱為曲線在點稱為曲線在點p處的處的切切線的斜率線的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf

4、xykf xxx 切線這個概念這個概念: 提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法; 切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=x0處的導數(shù)處的導數(shù).pqoxyy=f(x)割割線線切切線線t例例1:求曲線求曲線y=f(x)=x2+1在點在點p(1,2)處的切線方程處的切線方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切線方程為切線方程為y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲線在某點處的切線方程求曲線在某點處的切線方程的基本步驟的基本步驟

5、:求出求出p點的坐標點的坐標;利用切線斜率的定義求利用切線斜率的定義求 出切線的斜率出切線的斜率;利用點斜式求切線方程利用點斜式求切線方程.:如圖已知曲線如圖已知曲線 ,求求:(1)點點p處的切線的斜率處的切線的斜率; (2)點點p處的切線方程處的切線方程.)38, 2(313pxy上上一一點點 yx-2-112-2-11234op313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即點點p處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4. (2)在點在點p處的切線

6、方程是處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致發(fā)生混淆時，在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)導函數(shù)也簡稱也簡稱導數(shù)導數(shù)000( )()( )()( ).yfxxfxfxfxx 函 數(shù)在 點處 的 導 數(shù)等 于 函 數(shù)的 導 函 數(shù)在 點處 的函 數(shù) 值 由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到處求導數(shù)的過程可以看到,當當時時,f(x0) 是一個確定的數(shù)是一個確定的數(shù).那么那么,當當x變化時變化時,便是便是x的一個函數(shù)的一個函數(shù),我們叫它為我們叫它為f(x)的導函數(shù)的導函數(shù).即即: 如何求函數(shù)

7、如何求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)的導數(shù)?(1)()( );yf xxf x 求函數(shù)的增量(2):()( );yf xxf xxx 求函數(shù)的增量與自變量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求極限，得導函數(shù).yxy例4.已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx （3），即，即 。這也是。這也是 求函數(shù)在點求函數(shù)在點x0處的導數(shù)的方法之一。處的導數(shù)的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf （2），是指某一區(qū)間內(nèi)任意點，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的而言的, 。)(xf （1），就是在該點的函數(shù)的改，就是在該點的函數(shù)的改 變量與自變量的改變量之比的極限，變量與自變量的改變量之比的極限，不是變數(shù)。，不是變數(shù)。1、弄清、弄清“函數(shù)函數(shù)f(x)在點在點x0處的導數(shù)處的導數(shù)”、“導函導函數(shù)數(shù)”、“導數(shù)導數(shù)” 之間的區(qū)別與聯(lián)系。之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）求出函數(shù)在點）求出函數(shù)在點x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線，得到曲線 在點在點(x0,f(