函數(shù)的極限99074

1、第二節(jié) 函數(shù)極限(limits of functions)目的與要求目的與要求v理解函數(shù)極限的定義，能在學(xué)習(xí)過程中逐步加深對(duì)理解函數(shù)極限的定義，能在學(xué)習(xí)過程中逐步加深對(duì) 極限思想的理解極限思想的理解v理解函數(shù)左極限與右極限理解函數(shù)左極限與右極限(right- and left-hand (right- and left-hand limits)limits)的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系之間的關(guān)系 v理解無窮小、無窮大概念。掌握無窮小的比較方法理解無窮小、無窮大概念。掌握無窮小的比較方法 v熟練掌握極限的運(yùn)算，會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限熟練掌握極

2、限的運(yùn)算，會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限 “割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算九章算術(shù)注術(shù)注利用圓內(nèi)接正多邊形計(jì)算利用圓內(nèi)接正多邊形計(jì)算圓面積的方法圓面積的方法 割圓術(shù)割圓術(shù)，就是極限，就是極限思想在幾何上的應(yīng)用。思想在幾何上的應(yīng)用。1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失

3、矣”劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉

4、徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽

5、一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術(shù)：、割圓術(shù)：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入r正六邊形的面積正六邊形的面積1a正十二邊形的面積正十二邊形的面積2a正正 形的面積形的面積126 nna,321naaaas2 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半

6、，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 x第一天截下的杖長(zhǎng)為第一天截下的杖長(zhǎng)為;212122 x為為第二天截下的杖長(zhǎng)總和第二天截下的杖長(zhǎng)總和;2121212nnxn 天截下的杖長(zhǎng)總和為天截下的杖長(zhǎng)總和為第第nnx211 1戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的一部哲學(xué)著作，叫戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的一部哲學(xué)著作，叫莊子莊子 天下篇天下篇，其中有這樣一句話，其中有這樣一句話：二、函數(shù)極限二、函數(shù)極限(limits of functions)(limits of functions)1.自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限(1).1時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx204060801001.

7、21.41.61.82連續(xù)型的變化連續(xù)型的變化1.xxxsin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù)(2).xxxsin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù)(2).xxxsin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù)(2).xxxsin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù)(2).xxxsin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù)(2).xxxsin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù)(2).xxxsin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù)(2).xxxsin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù)(2).xxxsin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)

8、當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù)(2).xxxsin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù)(2). 0sin)(,無限接近于無限接近于無限增大時(shí)無限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察可知通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察可知:1x1xf(x) 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) x( ).lim( )0( )( ),)1(,xxf xf xafyf xxxxxxf xaaa若若函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的無無論論怎怎樣樣小小的的正正數(shù)數(shù) , ,總總存存在在正正數(shù)數(shù), ,時(shí)時(shí)函函數(shù)數(shù)的的或或當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 不不等等式式恒恒成成立立 則則稱稱常常數(shù)數(shù) 為為記記作作限限：定定極極 義義axyoa+ a xx|x| x, xxxx

9、- x. x(1):( ),;,;f xaxxx中中的的 刻刻劃劃與與常常數(shù)數(shù) 的的接接近近程程度度刻刻劃劃充充分分大大的的程程度度 是是任任意意給給定定的的注注意意定定正正數(shù)數(shù)是是隨隨 而而確確定定的的義義(2)x有有時(shí)時(shí)還還要要區(qū)區(qū)分分 趨趨于于無無窮窮大大時(shí)時(shí)的的符符號(hào)號(hào)2、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限考慮函數(shù)考慮函數(shù))2( x242 xxyx024y000000( )lim( )( )( )().0-,(2)xxf xaf xaf xayf xxxx xxaf xxxxx設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 但在 可以沒有定義 若對(duì)于任意給定的一個(gè)義 但在 可以沒

10、有定義 若對(duì)于任意給定的一個(gè)無論多么小的正數(shù) ,總存在一個(gè)正數(shù) ,對(duì)于滿足無論多么小的正數(shù) ,總存在一個(gè)正數(shù) ,對(duì)于滿足的一切 不等式恒成立的一切 不等式恒成立則稱常數(shù) 為函數(shù)當(dāng)時(shí)的則稱常數(shù) 為函數(shù)當(dāng)時(shí)的記作 記作 定定或或義義. .極限極限axyoa+ a x0y = f (x)x0 x0+ 0(1)( ),;:,f xaxx中中的的 刻刻劃劃與與常常數(shù)數(shù) 的的接接近近程程度度刻刻劃劃 與與的的接接近近程程度度是是任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù)是是隨隨 而而注注意意定定義義確確定定的的. .000000000(2)|,0 |,0 |(,)(,).xxxxxxxxxxxxxxx中中的的表表示示

11、與與 的的距距離離小小于于而而表表示示因因此此表表示示定定義義0000(3)0 |,( ),( ).xxxxxxf xf xx中的表示所以時(shí)中的表示所以時(shí)有沒有極限 與在點(diǎn) 是否有定義有沒有極限 與在點(diǎn) 是否有定義義義并無關(guān)系并無關(guān)系定定00000,( ),( )(rightlimlimit(0).( )xxxxf xaaffxxxaf xa若對(duì)任意給定的正數(shù) ,存在正數(shù) ,當(dāng)時(shí) 不等式成立則稱常數(shù) 為在右極限處的記作或義4 定00000,( ),( )(left lliim3mit).( )(0)xxxxf xaaff xaf xxax若對(duì)任意給定的正數(shù) ,存在正數(shù) ,當(dāng)時(shí) 不等式成立則稱常

12、數(shù) 為在左極處的記作 或義限定00000000lim( )lim( )lim( )(0)().0()xxxxxxf xf xf xf xxxaf xf xa函數(shù)當(dāng)時(shí)極限存在的是左極限和右極限同時(shí)存在且相等.即即這也是一種判斷極限存在與否充要條件的方法.yox1xy 112 xy時(shí)時(shí)的的單單側(cè)側(cè)極極限限當(dāng)當(dāng)求求設(shè)設(shè)0)(0, 10,1)(2 xxfxxxxxf解解：1)(lim1)(lim00 xfxfxx例例：0lim.ln)1.xx 沒沒有有極極限限( (極極限限不不存存在在例例010( )00;lim ( )10 xxxf xxf xxx判判斷斷例例2 2. .是是否否存存在在. .020

13、( ),lim ( ).203.xx axf xf xaxx己己知知存存在在求求 的的值值例例二、無窮小量與無窮大量二、無窮小量與無窮大量1、定義、定義:極限為極限為零的變量零的變量稱為稱為無窮小量無窮小量.簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱無窮小稱無窮小, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn注意注意（1）無窮小是變量）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2、無

14、窮小與函數(shù)極限的關(guān)系、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系: 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xaxfaxfxx 其中其中)(x 是當(dāng)是當(dāng)0 xx 時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小.意義意義 （1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小無窮小);).(,)()(20 xaxfxxf 誤差為誤差為式式附近的近似表達(dá)附近的近似表達(dá)在在）給出了函數(shù)）給出了函數(shù)（ 3、無窮小的運(yùn)算性質(zhì)、無窮小的運(yùn)算性質(zhì):性質(zhì)性質(zhì)1 在同一過程中在同一過程中,有限個(gè)有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小的代數(shù)和仍是無窮小無窮小.注意注意無窮多個(gè)無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和無窮小的代數(shù)和未必未必是無窮小是無窮小.

15、.是無窮小，是無窮小，時(shí)時(shí)例如例如nn1, .11不是無窮小不是無窮小之和為之和為個(gè)個(gè)但但nn性質(zhì)性質(zhì)2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例如例如都是無窮小都是無窮小特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxx

16、x或或注意注意（1）無窮大是變量）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim20認(rèn)為極限存在認(rèn)為極限存在）切勿將）切勿將（ xfxx4、無窮大、無窮大絕對(duì)值無限增大的變量稱為絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大量無窮大量，簡(jiǎn)稱無，簡(jiǎn)稱無窮大窮大.xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是無窮大但不是無窮大是一個(gè)無界變量是一個(gè)無界變量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,mxykk 充分大時(shí)充分

17、大時(shí)當(dāng)當(dāng)), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充分大時(shí)充分大時(shí)當(dāng)當(dāng) kkxyk2sin2)(但但.0m 不是無窮大不是無窮大無界，無界，5、無窮小的比較、無窮小的比較例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在觀察各極限觀察各極限型）型）（00；記作記作高階的無窮小高階的無窮小是比是比，就說，就說如果如果)(,0lim)1